山东省济南市平阴县第一中学2026届数学高二上期末统考试题含解析

山东省济南市平阴县第一中学2026届数学高二上期末统考试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知椭圆的长轴长为10，焦距为8，则该椭圆的短轴长等于（）A.3 B.6C.8 D.122．曲线为四叶玫瑰线，这种曲线在苜蓿叶型立交桥的布局中有非常广泛的应用，苜蓿叶型立交桥有两层，将所有原来需要穿越相交道路的转向都由环形匝道来实现，即让左转车辆行驶环道后自右侧切向汇入高速公路，四条环形匝道就形成了苜蓿叶的形状.下列结论正确的个数是()①曲线C关于点(0，0)对称；②曲线C关于直线y＝x对称；③曲线C的面积超过4π.A.0 B.1C.2 D.33．某校去年有1100名同学参加高考，从中随机抽取50名同学总成绩进行分析，在这个调查中，下列叙述错误的是A.总体是：1100名同学的总成绩 B.个体是：每一名同学C.样本是：50名同学的总成绩 D.样本容量是：504．已知，，，则的大小关系是（）A. B.C. D.5．若点在椭圆上，则该椭圆的离心率为（）A. B.C. D.6．若倾斜角为的直线过，两点，则实数（）A. B.C. D.7．饕餮纹是青铜器上常见的花纹之一，最早见于长江中下游地区的良渚文化陶器和玉器上，盛行于商代至西周早期．将青铜器中的饕餮纹的一部分画到方格纸上，如图所示，每个小方格的边长为一个单位长度，有一点从点出发，每次向右或向下跳一个单位长度，且向右或向下跳是等可能的，那么点经过3次跳动后恰好是沿着饕餮纹的路线到达点的概率为（）A. B.C. D.8．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤”意思是：“现有一根金杖，长5尺，头部1尺，重4斤；尾部1尺，重2斤；若该金杖从头到尾每一尺重量构成等差数列，其中重量为，则的值为（）A.4 B.12C.15 D.189．直线与直线的位置关系是（）A.相交但不垂直 B.平行C.重合 D.垂直10．方程表示的曲线经过的一点是（）A. B.C. D.11．直线分别与轴，轴交于A，B两点，点在圆上，则面积的取值范围是（）A. B.C D.12．若，则（）A.1 B.0C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．过抛物线的准线上任意一点做抛物线的切线，切点分别为，则A点到准线的距离与点到准线的距离之和的最小值为___________14．设，则动点P的轨迹方程为________15．双曲线的右焦点到C的渐近线的距离为，则C渐近线方程为______16．若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则实数m的值为______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知等差数列满足：，（1）求数列的通项公式，以及前n项和公式；（2）若，求数列的前n项和18．（12分）已知双曲线（1）若，求双曲线的焦点坐标、顶点坐标和渐近线方程；（2）若双曲线的离心率为，求实数的取值范围19．（12分）已知点A（1，2）在抛物线C∶上，过点A作两条直线分别交抛物线于点D，E，直线AD，AE的斜率分别为kAD，kAE，若直线DE过点P（-1，-2）（1）求抛物线C的方程；（2）求直线AD，AE的斜率之积.20．（12分）已知：，椭圆，双曲线.（1）若的离心率为，求的离心率；（2）当时，过点的直线与的另一个交点为，与的另一个交点为，若恰好是的中点，求直线的方程.21．（12分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的参数方程为（θ为参数），直线l的参数方程为（t为参数）（Ⅰ）写出椭圆C的普通方程和直线l的倾斜角；（Ⅱ）若点P（1，2），设直线l与椭圆C相交于A，B两点，求|PA|·|PB|的值22．（10分）某港口船舶停靠的方案是先到先停，且每次只能停靠一艘船.（1）若甲乙两艘船同时到达港口，双方约定各派一名代表猜拳：从1，2，3，4，5中各随机选一个数，若两数之和为奇数，则甲先停靠；若两数之和为偶数，则乙先停靠，这种方式对双方是否公平？请说明理由；（2）若甲、乙两船在一昼夜内到达该码头的时刻是等可能的.如果甲船停泊时间为1h，乙船停泊时间为2h，求它们中的任意一艘都不需要等待码头空出的概率.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】根据椭圆中的关系即可求解.【详解】椭圆的长轴长为10，焦距为8，所以，，可得，，所以，可得，所以该椭圆的短轴长，故选：B.2、C【解析】根据图像或解析式即可判断对称性①②；估算第一象限内图像面积即可判断③.【详解】①将点(－x，－y)代入后依然为，故曲线C关于原点对称；②将点(y，x)代入后依然为，故曲线C关于y＝x对称；③曲线C在四个象限的图像是完全相同的，不妨只研究第一象限的部分，∵，∴曲线C上离原点最远的点的距离为显然第一象限内曲线C的面积小于以为直径的圆的面积，又∵，∴第一象限内曲线C的面积小于，则曲线C的总面积小于4π.故③错误.故选：C.3、B【解析】采用逐一验证法，根据总体，个体，样本的概念，可得结果.【详解】据题意：总体是1100名同学的总成绩，故A正确个体是每名同学的总成绩，故B错样本是50名同学的总成绩，故C正确样本容量是：50，故D正确故选：B【点睛】本题考查总体，个体，样本的概念，属基础题.4、B【解析】利用微积分基本定理计算,利用积分的几何意义求扇形面积得到,然后比较大小.【详解】,表示以原点为圆心，半径为2的圆在第二象限的部分的面积，∴；，∵e=2.71828…>2.7,，，,故选：5、C【解析】根据给定条件求出即可计算椭圆的离心率.【详解】因点在椭圆，则，解得，而椭圆长半轴长，所以椭圆离心率.故选：C6、C【解析】根据直线的倾斜角和斜率的关系得到直线的斜率为，再根据两点的斜率公式计算可得；【详解】解：因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率为，所以，解得；故选：C7、B【解析】利用古典概型的概率求解.【详解】解：点从点出发，每次向右或向下跳一个单位长度，跳3次，则样本空间{（右，右，右），（右，右，下），（右，下，右），（下，右，右），（右，下，下），（下，右，下），（下，下，右），（下，下，下）}，记“3次跳动后，恰好是沿着饕餮纹的路线到达点B”为事件，则{（下，下，右）}，由古典概型的概率公式可知故选：B8、C【解析】先求出公差，再利用公式可求总重量.【详解】设头部一尺重量为，其后每尺重量依次为，由题设有，，故公差为.故中间一尺的重量为所以这5项和为.故选：C.9、C【解析】把直线化简后即可判断.【详解】直线可化为，所以直线与直线的位置关系是重合.故选：C10、C【解析】当时可得，可得答案.【详解】当时可得所以方程表示的曲线经过的一点是，且其它点都不满足方程，故选：C11、A【解析】把求面积转化为求底边和底边上的高，高就是圆上点到直线的距离.【详解】与x，y轴的交点，分别为，，点在圆，即上，所以，圆心到直线的距离为，所以面积的最小值为，最大值为.故选：A12、C【解析】由结合二项式定理可得出，利用二项式系数和公式可求得的值.【详解】，当且时，，因此，.故选：C.【点睛】关键点睛：本题考查二项式系数和的计算，解题的关键是熟悉二项式系数和公式，考查学生的转化能力与计算能力，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、8【解析】设，，，，由可得，根据导数的几何意义求得两切线的方程，联立求得点的坐标，再根到准线的距离转化为到焦点的距离，三点共线时距离最小，进而求出最小值【详解】解：设，，，，由可得，所以，所以直线，的方程分别为：，，联立，解得，即，，又有在准线上，所以，所以，设直线的方程为：，代入抛物线的方程可得：，可得，所以可得，即直线恒过点，即直线恒过焦点，即直的方程为：，代入抛物线的方程：，，所以，点到准线的距离与点到准线的距离之和，所以当时，距离之和最小且为8，这时直线平行于轴故答案为：814、【解析】根据双曲线的定义可得答案.【详解】因为，所以动点P的轨迹是焦点为A，B，实轴长为4的双曲线的上支．因为，所以，所以动点P的轨迹方程为故答案为：.15、【解析】根据给定条件求出双曲线渐近线，再用点到直线的距离公式计算作答【详解】双曲线的渐近线为：，即，依题意，，即，解得，所以C渐近线方程为.故答案为：16、【解析】分别求出椭圆和抛物线的焦点坐标即可出值.【详解】由椭圆方程可知，，，则，即椭圆的右焦点的坐标为，抛物线的焦点坐标为，∵抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，∴，即，故答案为：.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1），（2）【解析】（1）由，，列出方程组，求得，即可求得数列的通项公式，利用公式可得.（2）由（1）求得，结合“裂项法”求和，即可求解.【详解】（1）设等差数列的公差为，因为，，可得，解得，所以数列的通项公式.（2）由（1）知，可得，所以数列的前项和：.【点睛】关键点睛：本题主要考查了等差数列的通项公式的求解，以及“裂项法”求和的应用，解答本题的关键是将的通项裂成两项的差，利用裂项相消求和，属于中档题.18、（1）焦点坐标为，，顶点坐标为，，渐近线方程为；（2）.【解析】（1）根据双曲线方程确定，即可按照概念对应写出焦点坐标、顶点坐标和渐近线方程；（2）先求（用表示），再根据解不等式得结果.【详解】（1）当时，双曲线方程化为，所以，，，所以焦点坐标为，，顶点坐标为，，渐近线方程为.（2）因为，所以，解得，所以实数的取值范围是【点睛】本题根据双曲线方程求焦点坐标、顶点坐标和渐近线方程，根据离心率求参数范围，考查基本分析求解能力，属基础题.19、（1）（2）【解析】（1）代入点即可求得抛物线方程；（2）联立方程后利用韦达定理求出，，，，然后代入即可求得斜率的积.【小问1详解】解：点A（1，2）在抛物线C∶上故【小问2详解】设直线方程为：联立方程，整理得：由题意及韦达定理可得：，20、（1）（2）或【解析】（1）有椭圆的离心率可以得到，的关系，在双曲线中方程是非标准的方程，注意套公式时容易出错.（2）联立方程分别解得P,Q两点的横坐标，利用中点坐标公式即可解得斜率值.【小问1详解】椭圆的离心率为，，在双曲线中因为，.【小问2详解】当时,椭圆，双曲线.当过点的直线斜率不存在时，点P,Q恰好重合，坐标为，所以不符合条件；当斜率存在时，设直线方程为，，联立方程得，利用韦达定理，所以；同理联立方程，韦达定理得，所以由于是的中点，所以,所以，即，化简得，所以直线方程为或.21、(I)见解析；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）利用平方法消去θ得到椭圆C的普通方程为，根据直线参数方程的几何意义求出直线的斜率，从而可得结果；（Ⅱ）把直线的方程，代入中，利用直线参数方程的几何意义求出直线的斜率结合韦达定理