2026年高考数学二轮复习专题06 圆锥曲线（高频考点）（天津）（解析版）

专题06圆锥曲线内容概览01命题探源·考向解密（分析近3年高考考向与命题特征）02根基夯实·知识整合（核心知识必备、常用结论与技巧等）03高频考点·妙法指津（4大命题点+6道高考预测题，高考必考·（20-25）分）考点一圆锥曲线基本性质命题点1双曲线基本性质命题点2抛物线基本性质高考预测题3道考点二圆锥曲线综合问题命题点1轨迹方程命题点2存在性/定点/定值/定直线/最值问题高考预测题3道04好题速递·分层闯关（精选15道最新名校模拟试题+10道高考闯关题）考点考向命题特征圆锥曲线基本性质（3年3考）1.范围：

2.对称性：关于

轴对称3.顶点：原点

；焦点

，准线

4.离心率：

5.定义性质：抛物线上点到焦点距离=到准线距离1.

分层设题，梯度清晰选择/填空题：前半部分考查基础性质（离心率、渐近线），难度低；后半部分考查定义应用或小综合（如椭圆与圆的交汇），难度中等。2.

侧重代数运算，强调逻辑严谨性核心方法是“设线→联立→判别式→韦达定理→代换化简”，对计算能力要求高，需避免计算失误。含参问题需分类讨论，如直线斜率存在与否、参数取值范围对交点个数的影响。3.

注重定义与几何性质的灵活应用部分题目用定义解题更简便（如抛物线的焦半径、椭圆的焦点三角形），可简化运算步骤，避免复杂联立。圆锥曲线综合问题（3年3考）1.

直线与圆锥曲线的位置关系2.

定点、定值问题3.

最值与范围问题4.

向量与圆锥曲线的交汇5.

轨迹方程求解1.

梯度分明，层层递进解答题分2-3问，第一问多为求曲线方程或直线方程，考查基础性质，属于送分题；第二、三问考查定点定值、最值范围，需综合运用韦达定理、代数变形，区分度强。2.

重运算，轻技巧，强调通性通法命题不依赖特殊技巧，核心方法是“设线→联立→判别式→韦达定理→代换化简”，对计算的准确性和耐心要求高，避免因计算失误丢分。3.

注重几何性质与代数方法的结合部分题目用几何定义（如抛物线的焦半径、椭圆的焦点三角形性质）可简化运算，减少联立方程的复杂度，体现“几何优先”的解题思路。4.

考法稳定，创新点集中在条件呈现天津高考圆锥曲线综合题命题套路固定，创新多体现在条件的包装（如结合新定义、几何图形），但解题的核心逻辑不变，仍以韦达定理为核心工具。【圆锥曲线基本性质常用结论】在椭圆的定义中条件不能少，这是根据三角形中的两边之和大于第三边得出来的．否则：①当时，其轨迹为线段；②当时，其轨迹不存在．利用椭圆定义求距离和差的最值的两种方法：（1）抓住|PF1|与|PF2|之和为定值，可联系到利用基本不等式求|PF1|·|PF2|的最值；（2）利用定义|PF1|＋|PF2|＝2a转化或变形，借助三角形性质求最值1、利用待定系数法求椭圆标准方程的步骤（1）定位：确定焦点在那个坐标轴上；（2）定量：依据条件及确定的值；（3）写出标准方程；2、求椭圆方程时，若没有指明焦点位置，一般可设所求方程为；3、当椭圆过两定点时，常设椭圆方程为，将点的坐标代入，解方程组求得系数。一般利用椭圆的定义、余弦定理和完全平方公式等知识，建立AF1+AF2，性质1：AF1+拓展：∆AF1∆ABF1性质2：4c1、求椭圆离心率的3种方法（1）直接求出a，c来求解e.通过已知条件列方程组，解出a，c的值．（2）构造a，c的齐次式，解出e.由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解．（3）通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．2、求椭圆离心率范围的2种方法（1）几何法：利用椭圆的几何性质，设P(x0，y0)为椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)上一点，则|x0|≤a，a－c≤|PF1|≤a＋c等，建立不等关系，或者根据几何图形的临界情况建立不等关系，适用于题设条件有明显的几何关系；（2）直接法：根据题目中给出的条件或根据已知条件得出不等关系，直接转化为含有a，b，c的不等关系式，适用于题设条件直接有不等关系。（1）在双曲线定义中若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件：（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；若（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；（2）若常数满足约束条件：，则动点轨迹是以F1、F2为端点的两条射线（包括端点）；（3）若常数满足约束条件：，则动点轨迹不存在；（4）若常数，则动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线。1、由双曲线标准方程求参数范围（1）对于方程，当时表示双曲线；当时表示焦点在轴上的双曲线；当时表示焦点在轴上的双曲线.（2）对于方程，当时表示双曲线；当时表示焦点在轴上的双曲线；当时表示焦点在轴上的双曲线.（3）已知方程所代表的曲线，求参数的取值范围时，应先将方程转化为所对应曲线的标准方程的形式，再根据方程中参数取值范围的要求，建立不等式（组）求解参数的取值范围。2、待定系数法求双曲线方程的五种类型（1）与双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1有公共渐近线的双曲线方程可设为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝λ(λ≠0)；（2）若已知双曲线的一条渐近线方程为y＝eq\f(b,a)x或y＝－eq\f(b,a)x，则可设双曲线方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝λ(λ≠0)；（3）与双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1共焦点的双曲线方程可设为eq\f(x2,a2－k)－eq\f(y2,b2＋k)＝1(－b2＜k＜a2)；（4）过两个已知点的双曲线的标准方程可设为eq\f(x2,m)－eq\f(y2,n)＝1(mn＞0)或者eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,n)＝1(mn＜0)；（5）与椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)有共同焦点的双曲线方程可设为eq\f(x2,a2－λ)－eq\f(y2,λ－b2)＝1(b2＜λ＜a2)求双曲线中的焦点三角形面积的方法（1）=1\*GB3①根据双曲线的定义求出；=2\*GB3②利用余弦定理表示出、、之间满足的关系式；=3\*GB3③通过配方，利用整体的思想求出的值；=4\*GB3④利用公式求得面积。（2）利用公式求得面积；（3）若双曲线中焦点三角形的顶角，则面积，结论适用于选择或填空题。1、求双曲线的离心率或其范围的方法（1）求a，b，c的值，由eq\f(c2,a2)＝eq\f(a2＋b2,a2)＝1＋eq\f(b2,a2)直接求e.（2）列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助b2＝c2－a2消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解，注意e的取值范围．（3）因为离心率是比值，所以可以利用特殊值法．例如，令a＝1，求出相应c的值，进而求出离心率，能有效简化计算．（4）通过特殊位置求出离心率．2、双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的渐近线的斜率k与离心率e的关系：当k>0时，k＝eq\f(b,a)＝eq\f(\r(c2－a2),a)＝eq\r(\f(c2,a2)－1)＝eq\r(e2－1)；当k<0时，k＝－eq\f(b,a)＝－eq\r(e2－1).解决中点弦问题的两种方法：1、根与系数关系法：联立方程，消元，利用根与系数的关系进行舍而不求，从而简化运算；2、点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入双曲线方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：直线(不平行于轴)过双曲线上两点、，其中中点为，则有.证明：设、，则有，上式减下式得，∴，∴，∴.1、利用抛物线的定义解决问题，应灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价转化．即“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”．2、注意灵活运用抛物线上一点P(x，y)到焦点F的距离|PF|＝|x|＋eq\f(p,2)或|PF|＝|y|＋eq\f(p,2).与抛物线有关的最值问题的转换方法(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解．(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为该点到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决．1、定义法：根据抛物线的定义，确定p的值(系数p是指焦点到准线的距离)，再结合焦点位置，求出抛物线方程．标准方程有四种形式，要注意选择．2、待定系数法（1）根据抛物线焦点是在x轴上还是在y轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于p的方程，解出p，从而写出抛物线的标准方程；（2）当焦点位置不确定时，有两种方法解决．一种是分情况讨论，注意要对四种形式的标准方程进行讨论，对于焦点在x轴上的抛物线，若开口方向不确定需分为y2＝－2px(p>0)和y2＝2px(p>0)两种情况求解．另一种是设成y2＝mx(m≠0)，若m>0，开口向右；若m<0，开口向左；若m有两个解，则抛物线的标准方程有两个．同理，焦点在y轴上的抛物线可以设成x2＝my(m≠0)．设直线与曲线的两个交点、，中点坐标为，代入抛物线方程，，，将两式相减，可得，整理可得：1、一般弦长：设为抛物线的弦，，，（为直线的斜率，且）.2、焦点弦长：如图，是抛物线过焦点的一条弦，设，，的中点，过点，，分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为点，，，根据抛物线的定义有，，故.又因为是梯形的中位线，所以，从而有下列结论；（1）以为直径的圆必与准线相切.（2）(焦点弦长与中点关系)（3）.（4）若直线的倾斜角为，则.（5），两点的横坐标之积，纵坐标之积均为定值，即，.（6）为定值.【圆锥曲线综合问题常用结论】1、解析几何中的定值问题是指某些几何量（线段长度，图形面积，角度，直线的斜率等）的大小或某些代数表达式的值和题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的值，求定值问题常见的解题方法有两种：法一、先猜后证（特例法）：从特殊入手，求出定值，再证明这个定值与变量无关；法二、引起变量法（直接法）：直接推理、计算，并在计算推理过程中消去参数，从而得到定值。2、直接法解题步骤第一步设变量：选择适当的量当变量，一般情况先设出直线的方程：或、点的坐标；第二步表示函数：要把证明为定值的量表示成上述变量的函数，一般情况通过题干所给的已知条件，进行正确的运算，将需要用到的所有中间结果（如弦长、距离等）用引入的变量表示出来；第三步定值：将中间结果带入目标量，通过计算化简得出目标量与引入的变量无关，是一个常数。1、参数无关法：把直线或者曲线方程中的变量，当作常数看待，把方程一端化为零，既然是过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时的参数的系数就要全部为零，这样就得到一个关于，的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点。2、特殊到一般法：根据动点或动直线、动曲线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关。3、关系法：对满足一定条件上的两点连结所得直线定点或满足一定条件的曲线过定点问题，可设直线（或曲线）上两点的坐标，利用坐标在直线（或曲线）上，建立点的坐标满足方程（组），求出相应的直线（或曲线），然后再利用直线（或曲线）过定点的知识求解。解决圆锥曲线中动点在定直线问题的解题步骤：1、联立直线与圆锥曲线的方程消元；2、挖掘图形中的对称性，解出动点横坐标或纵坐标；3、将动点的横纵坐标分别用参数表示，再消去参数；4、设点，将方程变形解出定直线方程。圆锥曲线最值问题的解题步骤：1、设参数：依题意设出相关的参数，如设点坐标，设比例式的参数，设直线的方程等；2、联立方程：常把直线方程与曲线方程联立，转化为关于x（或y）的一元二次方程；3、建函数：根据题设条件中的关系，建立目标函数的关系式；4、求最值：利用配方法、基本不等式法、单调性法等求其最值。圆锥曲线几何证明问题的解题策略：1、圆锥曲线中的证明问题，主要有两类：一是证明点、直线、曲线等几何元素中的位置关系，如某点在某直线上、某直线经过某点、某两条直线平行或垂直等；二是证明直线与圆锥曲线中的一些数量关系（相等与不等）；（2）解决证明问题时，主要根据直线、圆锥曲线的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等，通过相关的性质应用、代数式的恒等变形以及必要的数值计算等进行证明。考点一圆锥曲线基本性质《解题指南》解题步骤与技巧：1.求曲线方程（1）待定系数法（已知曲线类型）步骤：①设标准方程（椭圆分焦点在x/y轴，双曲线同理，抛物线分开口方向）；②列a,b,p的关系式；③解方程求参数；④写方程。技巧：椭圆/双曲线若焦点位置不确定，可设统一方程：椭圆mx2+ny2=1(m>0,n>0,)；双曲线mx2-ny2=1(mn>0)。（2）定义法（已知动点满足的几何条件）步骤：①分析动点到两定点/定点与定直线的距离关系；②匹配椭圆、双曲线、抛物线的定义；③求a,c,p；④写方程。技巧：双曲线需注意“差的绝对值”，抛物线需找准定点（焦点）和定直线（准线）。2.离心率计算步骤：①找a,b,c的关系式（利用几何性质，如三角形边角、渐近线斜率等）；②消去b（椭圆用b2=a2-c2，双曲线用b2=c2-a2）；③转化为关于e的方程；④解方程求e（注意e的范围）。技巧：①椭圆双曲线可结合渐近线斜率快速计算；②遇到焦点三角形，优先用余弦定理+定义列方程。3.渐近线相关问题命题点01双曲线基本性质【典例01】（2025·天津武清·模拟预测）双曲线的右焦点为，设A、B为双曲线上关于原点对称的两点，AF的中点为M，BF的中点为N，若原点O在以线段MN为直径的圆上，直线AB的斜率为，则双曲线的离心率为（

）A． B．2 C． D．【答案】B【分析】设，运用中点坐标公式表示点，由，以及斜率公式解方程组可得，将点A的坐标代入双曲线的方程，结合的关系，求得，即可得离心率.【详解】由题意，，设，则，，因为原点O在以线段为直径的圆上，可得，所以，即①，又直线的斜率，可得②，联立①②可得，即，又点在双曲线上，可得，又，解得，所以.故选：B.【典例02】（2025·天津北辰·三模）已知双曲线的右焦点､左顶点分别为，过点且倾斜角为的直线交的两条渐近线分别于点.若为等边三角形，则双曲线的离心率为（

）A．2 B． C． D．【答案】A【分析】利用直线与渐近线求交点，再利用等边三角形找到一个垂直关系，然后通过斜率来进行坐标运算，即可求出离心率.【详解】设过点且倾斜角为的直线为，与双曲线的渐近线联立可得:,,同理与双曲线的渐近线联立可得:,,由为等边三角形，则的中点坐标为，由题意可得：，即，，，，,所以解得,故选：A.命题点02抛物线基本性质【典例01】（2025·天津·二模）已知抛物线（）的焦点F是双曲线（）的一个顶点，两条曲线的一个交点为A，过A作抛物线准线的垂线，垂足为B，若是正三角形，则p的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据抛物线的基本性质，和正三角形的基本性质，用参数表示出各点坐标，代入求得参数的值.【详解】如图所示，设双曲线线的另一个顶点为，依题意，可知，，可知，，不妨设A在第一象限，则在双曲线上，所以，解得，故选：A．【典例02】（2025·天津·二模）已知抛物线的焦点为F，准线l交x轴于点D，过D的直线与抛物线交于A，B两点，且B在线段AD上，点P为A在l上的射影.若P，B，F共线，则的值为（

）A．1 B．2 C．3 D．【答案】B【分析】求出抛物线的焦点坐标及准线方程，设出点的坐标，结合向量共线的坐标表示求出点的坐标，再利用抛物线定义求出比值.【详解】抛物线的焦点，准线，，由对称性，不妨令点在第一象限，设，则，由B在线段AD上，得，整理得，而，则，由P，B，F共线，得，整理得，解得，于是，过作于，所以.

故选：B高考预测题1．已知抛物线的焦点为，倾斜角为的直线过点．若与相交于两点，则以为直径的圆被轴截得的弦长为．【答案】【分析】首先求出抛物线方程及直线的方程，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理得到，再由抛物线的定义、中点公式求圆的半径和圆心横坐标，最后应用几何法求弦长.【详解】因为抛物线的焦点为，所以，解得，则抛物线，直线的方程为，由，则，显然，所以，故，所以以为直径的圆的圆心的纵坐标为，半径为，故以为直径的圆被轴截得的弦长为.故答案为：2．过点且斜率为1的直线与抛物线交于A，B两点，已知直线经过抛物线的焦点，则以线段AB为直径的圆的标准方程为.【答案】【分析】根据已知条件先求得直线和抛物线的方程，联立求得交点坐标，然后求得圆心和半径，进而写出标准方程.【详解】已知直线过点且斜率为1，因此其方程为.抛物线的方程为（），其焦点坐标为.由于直线经过抛物线的焦点，代入焦点坐标得到，解得，因此抛物线的方程为，焦点为.将直线方程代入抛物线方程得到：,展开并整理得：,解得，对应的值为，因此交点和的坐标分别为和.以线段为直径的圆的圆心为的中点，坐标为：,,,半径为，因此圆的标准方程为：,故答案为：.3．已知双曲线的左、右焦点分别为，点为双曲线右支上一点，以坐标原点O为圆心，以为半径的圆与双曲线的渐近线在第一象限内交于点P，同时点P在线段中垂线上，则该双曲线的标准方程为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意可知是等边三角形，进而可知双曲线浙近线的倾斜角为，进而得到的关系，再将点代入双曲线方程求解即可.【详解】如图，根据圆的性质可知．又点在线段中垂线上，则，则是等边三角形，故双曲线浙近线的倾斜角为．所以，即，则双曲线方程为．将点代入双曲线方程，得，解得，则双曲线方程为，故选：C．考点二圆锥曲线综合问题《解题指南》解题步骤与技巧：圆锥曲线综合大题（天津高考常为解答题第19/20题）核心解法是“代数化几何问题”，通用流程为设线→联立→判别式→韦达定理→转化求解，以下分步骤拆解并附专项技巧。一、通用解题步骤（必背流程）1.审题定模型，设参化简约第一步：确定曲线类型（椭圆/双曲线/抛物线），写出已知条件（如焦点、顶点、渐近线、过定点等），若曲线方程含参数，先根据条件求曲线方程。第二步：设直线方程（关键避坑点）若直线过定点P(x0,y0)：斜率存在时设y-y0=k(x-x0)；斜率不存在时单独讨论（设x=x0）。若直线斜率存在且不为0，或与抛物线联立：优先设x=my+t（避免斜率不存在的讨论，简化计算）。2.联立方程，判别式定范围将直线方程代入圆锥曲线方程，整理成关于x或y的一元二次方程：Ax2+Bx+C=0或Ay2+By+C=0。计算判别式=B2-4AC，根据直线与曲线有两个交点，得判别式>0（后续求参数范围的依据）。3.韦达定理代换，化繁为简设直线与曲线交点为A(x_1,y_1)、B(x_2,y_2)，写出韦达定理结论：x1+x2=-B/A,x1x2=C/A核心原则：不直接解x1,x2，而是将所求几何量转化为x1+x2和x1x2的代数式。4.转化几何条件，代数求解把题目所求（弦长、面积、定点、定值、最值等）转化为坐标表达式，代入韦达定理结论化简。若含参数，结合\Delta>0确定参数范围；若为定值/定点问题，消去参数得到常数或定点坐标。5.检验总结，规范书写检验计算过程中是否忽略斜率不存在的情况，是否满足判别式>0的限制。整理步骤，写出最终结论。二、专项题型解题技巧1.弦长与面积问题2.中点弦问题（点差法优先）3.定点定值问题（消参核心）4.最值与范围问题（转化函数）三、避坑关键技巧1.

斜率不存在必讨论：设y=kx+b时，务必单独验证斜率不存在的情况（直线垂直x轴），避免漏解。2.

判别式不能忘：联立后得到的参数范围（\Delta>0）是最终参数范围的前提，尤其最值问题需结合此条件。3.

优先用定义简化：涉及焦半径、焦点弦时，用椭圆/双曲线/抛物线的定义转化，如抛物线焦半径r=x0+P/2，避免复杂联立。4.

计算分步写，少跳步：联立后的一元二次方程系数、韦达定理结论单独写，代数变形时分步化简，减少计算错误。命题点01轨迹方程【典例01】（2025·天津静海·三模）已知椭圆的离心率为，且经过点，直线与轴交于点，与椭圆交于两点.(1)求椭圆的方程；(2)若点坐标为，线段的垂直平分线分别交直线和于点，若，求直线的斜率.【答案】(1)(2)或.【分析】（1）根据题意得，解出即可求解；（2）当的斜率不存在时，验证是否满足题意，当斜率存在且不为0，设直线的方程为，与椭圆方程联立消元，由韦达定理得，利用弦长公式求弦长和，利用即可求解.【详解】（1）由题意知，椭圆的方程为：.（2）为椭圆的焦点，当的斜率不存在时，显然，，显然，斜率存在且不为0，设直线的方程为，，，，，，所以，，，此时，，，，，，解得或，直线的斜率为或.【典例02】（2025·天津·一模）已知椭圆，过右焦点的直线交于A，两点，过点与垂直的直线交于，两点，其中，在轴上方，，分别为AB，DE的中点.当轴时，，椭圆的离心率为.(1)求椭圆的标准方程；(2)证明：直线过定点，并求定点坐标；(3)设为直线与直线的交点，面积的为，求直线的方程.【答案】(1)；(2)证明见解析；(3)或.【分析】（1）由通径和离心率求出a，b，c的值，得椭圆C的标准方程；（2）设直线AB和DE的方程，与椭圆方程联立，表示出M，N两点坐标和直线MN的方程，由方程确定所过定点；（3）由题意得，利用弦长公式可求得、，从而得到．再根据题意列式求解，即可得直线的方程.【详解】（1）由题意可得，解得，，则椭圆C的标准方程为．（2）B，D在x轴上方，直线l斜率存在且不为0，设直线，联立椭圆，消去x得：，由韦达定理得：，，则中点，由，所以以代替m可得，所以，，化简得，则过定点．当时，取，，则过定点；当时，取，，则过定点；综上直线MN过定点．（3）M，N分别为AB，DE的中点，，由（2）知，以代替m可得，所以，，所以或，解得，，所以直线的方程为：或.命题点02存在性/定点/定值/定直线/最值问题【典例01】（2025·天津宁河·模拟预测）已知椭圆过点，长轴长为，过点且斜率为的直线与椭圆相交于不同的两点、．(1)求椭圆的方程；(2)若线段中点的横坐标是，求直线的斜率；(3)在轴上是否存在点，使是与无关的常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)(3)存在，且点【分析】（1）由已知条件可得出关于、的方程组，解出、的值，即可得出椭圆的方程；（2）设点、，则，利用点差法可得出，结合点在直线上，可得出，代入可得出的值；（3）假设在轴上存在点满足题设条件，设点、，将直线的方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，利用平面向量数量积的坐标运算结合为定值，可得出，求出的值，即可得出结果.【详解】（1）由题意可得，可得，因此椭圆方程为，即.（2）设点、，则，因为，这两个等式作差可得，即，由题意可知，直线的方程为，线段的中点在直线上，所以，，可得，所以，故，故直线的斜率为.（3）在轴上存在点，使是与无关的常数.证明：假设在轴上存在点，使是与无关的常数，因为直线过点且斜率为，所以，直线的方程为，由得.设、，则，，因为，，所以设常数为，则，整理得对任意的恒成立，，解得，即在轴上存在点，使是与无关的常数.【典例02】（2025·天津·二模）椭圆（），过原点的直线与椭圆交于两点，点为椭圆的上顶点，若的最大值为8，面积的最大值为12．(1)求椭圆的方程；(2)是椭圆上异于（不在坐标轴上）的任意两点，且直线相交于点，直线相交于点，直线斜率均存在．求证：直线的斜率与直线的斜率乘积为定值．【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）由题意得到，再结合面积求得，即可求解；（2）设，，，，则，通过点差法，化简求解即可.【详解】（1）依题意，当两点与椭圆的左、右顶点重合时，有最大值，且的面积有最大值，所以，，，．所以椭圆的方程为．（2）证明：设，，，，则，则．因为，，两式相减，得，所以，即．所以．①同理，可得，所以．②，得，则，所以．即直线AB的斜率与直线MN的斜率乘积为定值．高考预测题1．已知椭圆的中心为点，短轴长为，且左焦点到直线的距离为.(1)求椭圆C的方程；(2)若点是椭圆的左､右顶点，且过点作直线交椭圆于（异于）两点，过做垂直于长轴的直线与直线交于点，与直线交于点，设的面积为的面积为，求是否为定值？若是，求出该值，若不是，请说明理由.【答案】(1)(2)是，定值9.【分析】（1）利用题设条件列出方程，求出，即得椭圆的方程；（2）设直线，将直线与椭圆方程联立，写出韦达定理，利用直线的直线方程求出点的坐标，结合图形表示出，化简并代入韦达定理计算即得定值.【详解】（1）由椭圆短轴长为，得，又椭圆C左焦点到直线的距离为，解得则，故椭圆的方程是.（2）设直线，且联立则，即得，且，则，过做垂直于长轴的直线为令，得，同理可得；又，，则，为定值9.

2．已知椭圆C：（）上一动点D到原点O距离的最小值为，最大值为2．(1)求椭圆C方程．(2)设椭圆C的左右焦点分别为，，过作直线l交椭圆于两点，点E满足，线段，OP交于点A，设与的面积分别为，，求的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】(1)利用动点到原点的距离公式，利用二次函数结合动点取值范围，可求最值，从而可得椭圆方程；(2)利用定比分点，结合向量知识，可得交点分线段的比例，然后把三角形面积转化到交点纵坐标表示上来，最后利用韦达定理来求解即可.【详解】（1）设动点，则，所以有，因为，所以，即，当且仅当时取到最小值，又因为，所以，当且仅当时取到最大值，故椭圆C方程为；（2）由图可知：，设，又由则，因为三点共线，可得，则，所以，设直线方程为，与椭圆，消得：，设交点，则有由，令，则，由，可知，根据对勾函数可知：恒成立，所以只需要解，因为，所以，解得，而，因为，所以，即.3．已知椭圆的离心率为，点P为椭圆上的动点，过点P作椭圆的切线，与圆交于A，B两点，线段AB长度的最小值为2.(1)求椭圆的方程；(2)求证：直线OA，OB斜率乘积为定值（其中O为坐标原点）.【答案】(1)；(2)证明见解析.【分析】（1）由离心率得，设点，将椭圆方程化为，利用导数的几何意义求出切线方程，再由圆的弦长公式求出弦长，进而求出即可.（2）利用（1）中信息求出直线与圆的方程，联立求出两根的积即可推理得证.【详解】（1）由椭圆的离心率为，得，解得，椭圆方程为，圆化为圆，设，则，当时，由，得，求导得，直线的斜率；当时，由，得，求导得，直线的斜率，因此当时，直线的方程为，整理得，当时，点，直线的方程为，点，直线的方程为，满足，于是对任意点，直线的方程为，圆的圆心到直线距离，而圆的半径为，，当且仅当时取等号，因此，解得，所以椭圆方程为，即.（2）由（1）知，圆的方程为，直线方程为，由消去得，设，则，消去得，则，当时，点分别为圆与轴的交点，的斜率一个为0，一个不存在；当时，的斜率都存在且不为0，斜率乘积为为定值.好题速递1．（2025·天津静海·三模）已知抛物线的焦点为，倾斜角为的直线过点.若与相交于，两点，则以为直径的圆的方程为.【答案】【分析】首先根据抛物线的焦点坐标求出抛物线的方程，根据直线的斜率和经过的点求出直线的方程，然后联立直线与抛物线方程组，根据韦达定理和中点坐标求出圆心坐标和半径，从而可求出圆的方程.【详解】因为抛物线的焦点为，所以，则.所以抛物线方程为.由题意，直线的斜率为1，则直线的方程为.联立直线与抛物线方程组得：，化简得.所以，，所以.因为圆心位于线段的中点，所以圆心坐标为.而.所以圆的半径为4.所以圆的方程为.故答案为：.2．（2025·天津北辰·三模）已知圆与圆相交的两个公共点所在直线为，若与抛物线交于两点，则.【答案】20【分析】先通过两圆方程相减得到公共弦所在直线方程，再联立直线方程与抛物线方程，利用弦长公式求出.【详解】已知圆，圆，将两式相减消去二次项可得直线的方程：，即.联立直线与抛物线方程联立，将代入可得：，即，设，，由韦达定理可得，.根据弦长公式（其中为直线的斜率），直线的方程为，其斜率，则：故答案为：20.3．（2025·天津武清·模拟预测）已知抛物线，直线l过C的焦点F且与C交于A，B两点，以线段AB为直径的圆与y轴交于M，N两点且圆心为G，则的最小值是.【答案】【分析】作出辅助线，由抛物线的性质，二倍角公式和垂径定理得到，结合即可求解.【详解】显然直线l的方程斜率不为0，因为焦点，所以设直线l的方程为，联立得，故，故，所以，显然G为的中点，过G作y轴的垂线，垂足为H，则H是的中点，设，则，，，而，当且仅当，轴时取等号，则，所以当时，.故答案为：4．（2025·天津宝坻·二模）抛物线的焦点恰好是圆的圆心，过点且倾斜角为的直线与交于不同的A，B两点，则以线段AB为直径的圆的标准方程为．【答案】【分析】根据题意可得：，，联立方程利用韦达定理求，进而得出圆心及半径即可求解．【详解】由题意知，焦点，则抛物线，直线，设，，联立消去y并整理得，则，所以所以．则以线段AB为直径的圆的圆心为，半径为，所以圆的标准方程为故答案为：．5．（2025·天津·一模）已知圆心位于抛物线焦点处的圆，与直线相交于、两点，且，则圆的标准方程为．【答案】【分析】求出抛物线的焦点坐标，并求出圆心到直线的距离，结合勾股定理可求出圆的半径长，即可得出所求圆的标准方程.【详解】易知抛物线的焦点为，且点到直线的距离为，故圆的半径为，因此，所求圆的标准方程为.故答案为：.6．（2025·天津·一模）已知椭圆的离心率为，左顶点为A，上顶点为的面积为．(1)求椭圆C的方程；(2)过点的动直线l与椭圆C交于不同的两点（M在之间），求的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）由离心率的定义，三角形的面积，椭圆中，解方程可得；（2）分直线的斜率存在与否，当斜率存在时，设出直线方程，直曲联立表示出韦达定理，再利用图形化简面积表达式，然后利用非对称韦达定理表示出面积表达式，再设，构造函数，利用单调性求取值范围可得.【详解】（1）由题意可得，又，解得，所以椭圆C的方程为.（2）若直线的斜率不存在，则四点共线，不存在面积比，不符合题意；若直线的斜率存在，如图，设直线的方程为，联立，消去得，，所以，即，所以，因为，，又，所以，因为，，所以，因为，所以，所以，所以，设，由于在之间，所以，即，设，在上单调递增，令，解得，令，解得（舍）或，故，所以.7．（2025·天津·二模）已知圆，抛物线，斜率大于的直线与圆和抛物线都相切，则直线的方程为．【答案】【分析】设直线的方程为，将该直线方程与抛物线的方程联立，由以及圆心到直线的距离等于圆的半径，可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，即可得出直线的方程.【详解】设直线的方程为，联立可得，因为直线与抛物线相切，可得①，又直线与圆相切，得，整理得②，联立①②，得，或．当时，得，不符合题意；当时，得（负值舍去），故直线的方程为．故答案为：．8．（2025·天津·模拟预测）已知集合，，如果有且只有两个元素，则实数a的取值范围为．【答案】【分析】先分析出曲线表示的是双曲线在轴上及上方的所有点，再分情况讨论当取不同值时，表示的不同曲线，及与曲线的交点个数情况即可得到结果.【详解】因为有且只有两个元素，所以曲线与有且只有两个交点.对于曲线变形可得，表示的是双曲线在轴上及上方的所有点，对于曲线，（1）当时，如图所示，表示的是一条直线，与交于，两点，符合题意；（2）当时，，与至多有一个交点，不符合题意；（3）当时，表示的是两条射线，，当时，表示的是和两条射线，与仅有一个交点，如下图所示，所以不符合题意；当时，与轴的交点为，，且的斜率，的斜率，而双曲线的两条渐近线为，斜率分别为和，所以与的左右两支各有一个交点，如下图所示，所以符合题意；当时，，当时，的斜率，当时，的斜率，联立，解得，此时与左支仅有一个交点，如下图所示：当时，与轴的交点为，，且的斜率，的斜率，而双曲线的两条渐近线为，斜率分别为和，所以与的右支没有交点，与左支有两个交点，如下图所示，所以符合题意；当时，与轴的交点为，，且的斜率，的斜率，而双曲线的两条渐近线为，斜率分别为和，所以与的右支没有交点，与左支有两个交点，如下图所示：符合题意；当时，与轴的交点为，且的斜率，的斜率，而双曲线的两条渐近线为，斜率分别为和，所以与的右支没有交点，与左支有两个交点，如下图所示：符合题意；当时，与轴的交点为，，且的斜率，的斜率，而双曲线的两条渐近线为，斜率分别为和，所以与的右支没有交点，与左支有两个交点，如下图所示：符合题意；综上，实数的取值范围为.故答案为：9．（2025·天津河西·一模）已知抛物线上位于第一象限内的点到抛物线的焦点的距离为5，过点作圆的切线，切点为，则．【答案】【分析】先根据抛物线的定义求出点的坐标，再将圆的方程化为标准方程，得到圆心坐标和半径，最后根据切线的性质，利用勾股定理求值.【详解】在抛物线中，，则，所以焦点，准线方程为．设点，根据抛物线的定义，可得，解得．把代入，得，因为，所以，即．圆，圆心为，半径，故．故答案为：．10．（2025·天津河西·模拟预测）已知抛物线的焦点为，圆，过点作直线，当圆心到直线的距离最大时，直线的方程为．【答案】【分析】求出抛物线的焦点以及圆心的坐标，分析可知当时，圆心到直线的距离最大时，求出直线的斜率，结合点斜式可得出直线的方程.【详解】对于抛物线，则，，所以，故其焦点为，圆的标准方程为，圆心为，当时，圆心到直线的距离最大时，因为，此时直线的斜率为，因此，直线的方程为，即.故答案为：.11．（2025·天津·二模）已知圆，过点作圆O的切线l，直线l与双曲线的一条渐近线平行，若双曲线上一点M到双曲线左、右焦点的距离之差的绝对值为，则点M到双曲线两条渐近线的距离之积为.【答案】/0.75【分析】判断出在圆上，得到切线方程，从而，结合双曲线定义得到，求出双曲线方程为，设，则，由点到直线距离公式进行求解，得到答案.【详解】由于，故在圆上，其中，由垂直关系可得切线l的斜率为，由渐近线方程的斜率为得，由双曲线定义可知，解得，故，双曲线方程为，两渐近线方程为，设，则，点M到双曲线两条渐近线的距离之积为.故答案为：12．（2025·天津和平·三模）已知椭圆的左、右焦点分别为和，上顶点为，直线的斜率为．(1)求椭圆离心率；(2)已知直线与椭圆相切于点，过作垂直于直线，交直线于点，若，求线段的长．【答案】(1)(2)【分析】（1）由条件易得，进而可求解；（2）通过和，结合直线方程、椭圆方程求得坐标，通过向量数量积的坐标表示，列出等式求解.【详解】（1），由条件可知，又，可得：，所以.（2）由（1）可知：，椭圆方程为，设，当时，直线，，设夹角为，则，由，所以，所以，所以，当时，设联立椭圆方程：，化简整理得：，由，整理得到：，，，故，又，所以，由垂直关系易知直线的方程为，联立，得，所以，所以由，解得：，所以，所以，综上13．（2025·天津和平·三模）已知抛物线过点；其焦点为，以为直径作圆，圆与圆相交于，两点，则直线的方程为．【答案】【分析】先代入P点求出抛物线方程，则焦点坐标可求，进而可得圆的方程，与圆相减即可得相交弦AB的直线方程.【详解】将P点代入抛物线方程可得，解得，即抛物线方程为，所以抛物线的焦点坐标，PF的中点坐标为，,所以圆的圆心为，半径为2，所以圆，因为，所以圆与圆相交，圆与圆方程相减可得：，即，故答案为：.14．（2025·天津和平·三模）已知双曲线的上，下焦点分别为点，，若的实轴长为1，且上点满足，，则的方程为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据双曲线的定义以及勾股定理，联立方程即可求解.【详解】由题意设双曲线方程为，由题意可知，由于，，故，解得，故，故双曲线方程为，故选：D15．（2025·天津滨海新·三模）已知椭圆的离心率为，，是椭圆的左，右顶点，是椭圆的上顶点，且．(1)求椭圆的标准方程；(2)若过点的直线交于，两点（异于，），直线与交于点．（i）求面积的取值范围；（ii）是否存在点同时满足，若存在求出点的坐标，若不存在说明理由．【答案】(1)；(2)（i）；（ii）存在，点或.【分析】（1）由离心率及已知有求椭圆参数，即可得方程；（2）（i）设直线的方程为，，，联立椭圆并应用韦达定理得，，再应用面积公式求范围；（ii）由题设直线为，直线为，进而得，令得，再设点的坐标，由向量数量积的坐标运算列方程求参数，即可得结论.【详解】（1）由题意，又，解得，椭圆的标准方程为；（2）（i）设直线的方程为，，消得，即，所以，设，，恒成立，，，，令，，则，由在上单调递增，则，故，所以；（ii），，由（i），直线的方程为，直线的方程为，因为，，所以．令∴，∴，，点的横坐标为定值，设点的坐标，因为，，，解得，得出或，所以存在点或满足条件.高考闯关1．已知P为抛物线上一个动点，Q为圆上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先根据抛物线方程求得焦点坐标，根据圆的方程求得圆心坐标，根据抛物线的定义可知到准线的距离等于点到焦点的距离，进而问题转化为求点到点的距离与点到抛物线的焦点距离之和的最小值，根据图象可知当三点共线时到点的距离与点到抛物线的焦点距离之和的最小，为圆心到焦点的距离减去圆的半径.【详解】抛物线的焦点为，圆的圆心为，半径，根据抛物线的定义可知点到准线的距离等于点到焦点的距离，

由图知，当三点共线时，到点的距离与点到抛物线的焦点距离之和的最小值，且最小值为.故选：D2．已知、分别是椭圆（）的左右焦点，A、B是以坐标原点为圆心，以为半径的圆与该椭圆在轴左侧的两个交点，且是等边三角形，则该椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】因为是等边三角形，且、在圆与椭圆的左半部分交点，可求出点坐标，然后代入椭圆，求解离心率.【详解】因为是等边三角形，且、在圆与椭圆的左半部分交点，可得点坐标为.如图：

将代入椭圆方程，结合，得化简为关于离心率的方程为即，解得.由于椭圆离心率，故，即.故选：B3．双曲线的左右焦点分别为，过的直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，且直线倾斜角为若，则双曲线的离心率是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】过点作，垂足为，则，设，则，由直线的倾斜角为，得出，根据三角函数定义得出，在中由余弦定理即可求解．【详解】过点作，垂足为，如图所示：则

因为，所以，设，根据双曲线的定义得：则，，所以，所以，则，因为直线的倾斜角为，所以，所以，在中，，在中，，由余弦定理得：，整理得，，故选：A．4．已知双曲线的右焦点到其中一条渐近线的距离等于，抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则抛物线上的动点到直线和的距离之和的最小值为.【答案】3【分析】根据双曲线的顶点到渐近线的距离求双曲线方程，根据抛物线的定义结合几何关系转化，利用抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等，进行转化求解.【详解】双曲线的渐近线方程，右焦点，到其一条渐近线的距离，解得，所以双曲线的焦点坐标，所以抛物线焦点坐标，准线方程为，即抛物线方程，示意图如下：过点作，垂足为A，作准线的垂线，垂足为，连接MF，根据抛物线定义有：，即动点到直线和距离之和等于，当三点共线时，最小，即点F到直线的距离，所以动点到直线和距离之和最小为.故答案为：35．已知椭圆的离心率，左右焦点分别为，直线过椭圆的右焦点分别交椭圆于两点，周长为(1)求椭圆的方程．(2)若弦长为，求直线的方程．(3)是否存在使为直径的圆过，若存在求出直线方程，若不存在，说明理由．【答案】(1)；(2)或；(3)存在，直线方程为或.【分析】（1）根据椭圆性质和三角形周长解出，进而确定求椭圆方程；（2）假设直线得方程并和椭圆联立，根据韦达定理和弦长公式求解；（3）由以为直径的圆过，得，再根据韦达定理结果解方程求.【详解】（1）由题知椭圆的离心率，周长为，则，所以，即得因为，所以，故椭圆的方程为.（2）椭圆右焦点为，当直线斜率不存在时，直线的方程为，假设交点位于第一象限，则，此时弦长，故直线斜率存在，设直线的方程为，，联立直线和椭圆方程可得，消去得，由韦达定理可得，由弦长公式可知，整理得，解得；所以直线的方程为或.

（3）由以为直径的圆过，可知，即①，又由（2）知当直线斜率不存在时，直线的方程为，假设交点位于第一象限，则，则，故直线的斜率存在，设直线的方程为，则②，③，联立①②③可得，因为，所以，解得，即，故直线存在，直线方程为或.6．已知双曲线的一个焦点在抛物线的准线上，且双曲线的渐近线与圆相切，则双曲线的方程为．【答案】【分析】根据焦点在抛物线上求出双曲线参数c，再根据双曲线渐近线与圆相切列出等式求出b，最后结合求出a，即可得双曲线方程．【详解】抛物线的准线为，故双曲线的一个焦点为，也即，所以，又双曲线渐近线与圆相切，圆心到渐近线距离为半径，所以，解得，所以，双曲线方程为．故答案为：．7．若点在第一象限，且为抛物线上的点，抛物线的焦点坐标为，若，则．【答案】【分析】先根据抛物线的定义求出p的值，进而得到抛物线方程，再将点M的坐标代入抛物线方程求出m的值即可.【详解】因为抛物线的焦点坐标为，则准线方程为，所以，解得：，所以，即：，因此抛物线的方程为，因为点在抛物线上，将其代入抛物线方程：，又因为点在第一象限，所以，则：.故答案为：.8．设是抛物线上的一个动点，点到直线：的距离为，点到直线：的距离为，则的最小值为（）A． B． C．1 D．2【答案】B【分析】因为点在抛物线上，所以（为抛物线的焦点），所以，求得最小值，即可求得，即可求得答案.【详解】因为点在抛物线上，由点到直线的距离为，所以（为抛物线的焦点），点到直线距离为，所以，画出图象：故点作垂直于直线，根据图象可知：，根据点到直线距离公式可得：，所以，故选：B.9．椭圆内有一点，以为圆心的圆与椭圆交于两点，若弦恰为圆的直径，则直线的斜率为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由题知是弦的中点，进而根据点差法求解即可.【详解】将椭圆方程化为标准方程为，设，由题知是弦的中点，所以，，将坐标代入椭圆方程得，两式作差得，即，所以，即直线的斜率为.故选：A10．已知椭圆（）的离心率为，短轴长为.(1)求椭圆的标准方程；(2)过点的直线与椭圆交于、两点，若以为直径的圆恰好过坐标原点，求直线的方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据已知条件求得和，从而求得椭圆的标准方程.（2）以为直径的圆恰好过坐标原点，即，设出直线的方程与椭圆方程联立，整理成关于的二次方程，结合韦达定理，计算，得出直线的斜率，从而求得直线的方程.【详解】（1）由得，又∵短轴长为2，可得，∴，∴椭圆的标准方程为：.（2）易知直线的斜率存在且不为零，设直线的斜率为，设直线的方程为：，则联立，消元得：，，即.设，，∴，，由题意可知，即：，∴，解得，∴，所以直线的方程为：.高频考点01集合与常用逻辑用语内容概览01命题探源·考向解密（分析近3年高考考向与命题特征）02根基夯实·知识整合（核心知识必备、常用结论与技巧等）03高频考点·妙法指津（4大命题点+6道高考预测题，高考必考·（20-25）分）考点一集合之间的关系与运算命题点1集合之间的关系命题点2集合的交并补运算高考预测题3道考点二常用逻辑用语命题点1结合其他知识的充要关系的判断命题点2含量词的命题的相关问题高考预测题3道04好题速递·分层闯关（精选15道最新名校模拟试题+10道高考闯关题）考点考向命题特征集合（3年3考）元素与集合之间的关系；交并补混合运算涉及集合间基本关系的隐性考查1.

题型分值固定：长期以单选题第1题的形式出现，分值稳定为5分，是试卷开篇的基础送分题2.难度极低且稳定：题目侧重对集合基本概念和运算规则的考查，无复杂推导和抽象新定义，运算量小3.题干设定十分常规，多以实数集为背景，给出两个需通过解不等式确定范围的集合，极少出现抽象集合或特殊数集的复杂命题常用逻辑用语（3年3考）充分条件与必要条件判定结合基础知识点不单独考查逻辑用语概念，而是和代数式、函数等基础内容深度绑定1.长期以单选题第2题的形式出现，分值稳定为5分，紧跟在集合考题之后，是试卷前期的基础送分题2.

难度低且无波动：侧重对基础逻辑关系的辨析，无需复杂运算和抽象推导，解题思路多为直接推导或举反例3.

命题情境常规单一：题干设定很常规，均以实数集为背景，无抽象命题、新定义等陌生情境。【集合常用结论】（1）若有限集中有个元素，则的子集有个，真子集有个，非空子集有个，非空真子集有个．（2）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．（3）．（4）,．【常用逻辑用语常用结论】1．从集合与集合之间的关系上看：设.（1）若，则是的充分条件()，是的必要条件；若，则是的充分不必要条件，是的必要不充分条件，即；注：关于数集间的充分必要条件满足：“小大”.（2）若，则是的必要条件，是的充分条件；（3）若，则与互为充要条件.2.常见的一些词语和它的否定词如下表原词语等于大于小于是都是任意（所有）至多有一个至多有一个否定词语不等于小于等于大于等于不是不都是某个至少有两个一个都没有(1)要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合中的每一个元素证明其成立，要判断全称量词命题为假命题，只要能举出集合中的一个，使得其不成立即可，这就是通常所说的举一个反例.(2)要判断一个存在量词命题为真命题，只要在限定集合中能找到一个使之成立即可，否则这个存在量词命题就是假命题.考点一集合之间的关系与运算《解题指南》解题步骤与技巧：第一步：化简集合：先解不等式、方程等，将集合化为具体的数集区间或列举法形式；第二步：用数轴标注集合范围，直观清晰，第三步：判定关系/计算运算：关系判定：对照子集、真子集、相等的定义，结合数轴/韦恩图判断。运算计算：交集取“公共部分”，并集取“全部覆盖部分”，补集取“全集内剩余部分”第四步：4.

含参问题处理：分类讨论：空集优先，端点验证：不等式边界的等号是否可取，代入检验。易错提醒：空集是任何集合的子集，运算时先确认集合是否为空集；命题点01集合之间的关系【典例01】（2025·天津河西·二模）“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】解出两不等式的解集，并根据其包含关系判断即可.【详解】易知不等式的解集为，不等式的解集也为，所以“”是“”的充分必要条件.故选：C【典例02】（2025·天津北辰·三模）对于实数，“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】分析可知，等价于且，再利用包含关系分析充分、必有条件.【详解】因为，等价于且，且是的真子集，所以“”是“”的必要不充分条件.故选：B.命题点02集合的交并补运算【典例01】已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由交集定义求得结果.【详解】由，，则.故选：A.【典例02】（2025·天津·二模）集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】求解一元二次不等式及绝对值不等式，再由交集运算即可求解.【详解】因为集合，，所以，故选：C高考预测题1．已知集合，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先化简集合，再根据交集运算求解.【详解】因为，所以，解得或，所以，又，.故选：C.2．集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出集合、，利用交集的定义可得出集合.【详解】由得，等价于，解得，所以，又因为，故.故选：C.3．已知全集，集合，则（

）A．或 B．或C．或 D．或【答案】D【分析】解不等式化简集合，再利用补集的定义求解.【详解】不等式，解得，即，而，所以或.故选：D考点二常用逻辑用语《解题指南》解题步骤与技巧：第一步：

拆分条件与结论：明确题目中p（条件）和q（结论）对应的代数表达式（如等式、不等式）第二步：推导逻辑关系：正向推导：判断p能否推出q；反向推导：判断q能否推出p；技巧：推导困难时用举反例否定，第三步：匹配条件类型：根据双向推导结果，对应上述4种条件关系得出答案易错提醒：1.

“充分”与“必要”概念颠倒：这是最高频错误。比如误把“p能推出q”说成p是q的必要条件。避错技巧：牢记“谁能推谁，谁就是充分条件”，也可借助集合判断——若p对应集合A，q对应集合B，A是B的子集则p是q的充分条件，B是A的子集则p是q的必要条件，用“小范围推大范围”快速校验。2.

“的”字结构倒装致条件混淆：遇到“p的充分不必要条件是q”这类表述时，易误把p当条件、q当结论。避错技巧：抓标志性词，“的”字结构会颠倒逻辑顺序，正确逻辑是q推出p但p推不出q，可先转化为“q是p的充分不必要条件”再分析。3.

量词命题否定出错：常出现只否定结论、不互换量词的问题。避错技巧：遵循“两步法则”，否定全称命题（∀x∈M，p(x)）时，先把“∀”换为“∃”，再否定结论；否定特称命题（∃x∈M，p(x)）时，先把“∃”换为“∀”，再否定结论。比如“所有x都满足x²>0”的否定是“存在x满足x²≤0”。4.

命题否定与否命题混淆：二者概念易弄混。避错技巧：明确差异，命题的否定仅否定原命题结论，如“若p则q”的否定是“若p则非q”；否命题需同时否定原命题的条件和结论，即“若非p则非q”，且否定与原命题真假相反，否命题真假无固定规律。5.

结合代数知识推导不严谨：判定条件关系时，常因解方程、不等式疏漏导致推导错误。比如判断“a²=b²”与“a=b”的关系时，忽略a=-b的情况。避错技巧：推导正向关系后，务必反向验证，举反例是快速否定推导关系的有效手段，可大幅降低出错率。命题点01结合其他知识的充要关系的判断【典例01】（2025·天津静海·三模）设，，则“”是“”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】结合根式的意义和对数函数性质依次分析充分性和必要性即可求解.【详解】若“”则，所以当时，“”不成立，故充分性不成立；若“”，因为是增函数，所以，所以“”，故必要性成立，“”是“”的必要不充分条件.故选：B【典例02】（2025·天津河东·二模）已知，命题p：，命题q：，则p是q的（

）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件【答案】C【分析】由命题间的必要不充分条件判断即可.【详解】命题p：即，命题q：即，所以命题能推出命题，而命题不能推出命题，所以p是q的必要不充分条件.故选：C命题点02含量词的命题的相关问题【典例01】（2025·天津·模拟预测）若命题“”的否定是真命题，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】得到命题的否定后结合根的判别式计算即可得.【详解】命题“”的否定是“”，则“”是真命题，则有，解得.故选：C.【典例02】（2025·天津·模拟预测）给出下列四个命题：①；②；③；④函数的图象向左平移个单位得到的图象．其中真命题的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根据全称命题和特称命题的真假判断方法，以及导数研究单调性，辅助角公式和函数图象的平移变换等知识来逐一分析这四个命题的真假，进而确定真命题的个数.【详解】对于，因为，所以.根据对数函数的性质，对数函数在上单调递增，所以，故命题①为真命题.若，则，和都是无理数，不存在有理数使得，所以命题②为假命题.令，，对求导，可得.令，即，解得.当时，，，所以，单调递增；当时，，，所以，单调递减.则在处取得极大值，也是最大值，，所以，即，故命题③为真命题.函数的图象向左平移个单位，根据“左加右减”的原则，得到.根据诱导公式，可得.而，所以命题④为假命题.综上，真命题有①③，共个.故选：B.高考预测题1．已知向量，则“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】由向量平行可得或，根据充分条件、必要条件概念判断即可.【详解】已知向量，若，则，解得或，所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A2．“关于x，y的方程表示的曲线是圆”是“”的（

）条件A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要【答案】B【分析】根据方程表示圆求出参数范围，再由充分条件，必要条件的定义判断即可.【详解】化成标准方程，所以，解得或，因为或推不出，可以推出或，所以方程表示圆是的必要不充分条件.故选：B.3．已知向量，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据共线向量的坐标表示，以及充分、必要条件的判定方法，即可求解.【详解】若，则，此时，所以；若，则由向量共线定理可得，解得或.因此，“”是“”的必要不充分条件.故选：B.好题速递1．（2025·天津·二模）已知全集，，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据几何的交补运算即可求解.【详解】，，所以，故选：A.2．（2025·天津和平·三模）命题“，”的否定是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】D【分析】根据特称命题的否定为全称命题即可求解.【详解】命题“，”的否定是“，”，故选：D3．（2025·天津南开·二模）已知，则“”是“”的（

）．A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】求解分式