安徽省宣城市郎溪中学2026届高二数学第一学期期末复习检测试题含解析

安徽省宣城市郎溪中学2026届高二数学第一学期期末复习检测试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．双曲线的渐近线方程是（）A. B.C. D.2．圆心，半径为的圆的方程是（）A. B.C. D.3．已知椭圆与椭圆，则下列结论正确的是（）A.长轴长相等 B.短轴长相等C.焦距相等 D.离心率相等4．直线经过两个定点，，则直线倾斜角大小是（）A. B.C. D.5．已知椭圆：的左、右焦点为，，上顶点为P，则（）A.为锐角三角形 B.为钝角三角形C.为直角三角形 D.，，三点构不成三角形6．某中学的校友会为感谢学校的教育之恩，准备在学校修建一座四角攒尖的思源亭如图它的上半部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥，已知此正四棱锥的侧面与底面所成的二面角为30°，侧棱长为米，则以下说法不正确（）A.底面边长为6米 B.体积为立方米C.侧面积为平方米 D.侧棱与底面所成角的正弦值为7．均匀压缩是物理学一种常见现象.在平面直角坐标系中曲线均匀压缩，可用曲线上点的坐标来描述.设曲线上任意一点，若将曲线纵向均匀压缩至原来的一半，则点的对应点为.同理，若将曲线横向均匀压缩至原来的一半，则曲线上点的对应点为.若将单位圆先横向均匀压缩至原来的一半，再纵向均匀压缩至原来的，得到的曲线方程为（）A. B.C. D.8．抛物线的准线方程是，则实数的值为（）A. B.C.8 D.9．已知双曲线的两个顶点分别为A、B，点P为双曲线上除A、B外任意一点，且点P与点A、B连线的斜率为，若，则双曲线的离心率为（）A. B.C.2 D.310．某中学高一年级有200名学生，高二年级有260名学生，高三年级有340名学生，为了了解该校高中学生完成作业情况，现用分层抽样的方法抽取一个容量为40的样本，则高二年级抽取的人数为（）A.10 B.13C.17 D.2611．如图，在棱长为1的正方体中，M是的中点，则点到平面MBD的距离是（）A. B.C. D.12．已知抛物线上的点到其准线的距离为，则（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知双曲线的两条渐近线的夹角为，则双曲线的实轴长为____14．若，则数列的前21项和___________.15．正四棱柱中，，，点为底面四边形的中心，点在侧面四边形的边界及其内部运动，若，则线段长度的最大值为__________16．已知函数（1）若时函数有三个互不相同的零点，求实数的取值范围；（2）若对任意的，不等式在上恒成立，求实数的取值范围三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数（1）当时，求的单调区间与极值；（2）若不等式在区间上恒成立，求k的取值范围18．（12分）已知圆台的上下底面半径分别为，母线长为．求：（1）圆台的高；（2）圆台的体积注：圆台体积公式：，其中，S分别为上下底面面积，h为圆台的高19．（12分）设集合（1）若，求；（2）设，若是成立的必要不充分条件，求实数a的取值范围20．（12分）如图所示，已知定点为曲线上一个动点，求线段中点的轨迹方程.21．（12分）如图，在正四棱柱中，，，点在棱上，且平面（1）求的值；（2）若，求二面角的余弦值22．（10分）已知抛物线C:（1）若抛物线C上一点P到F的距离是4，求P的坐标；（2）若不过原点O的直线l与抛物线C交于A、B两点，且，求证：直线l过定点

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】先将双曲线的方程化为标准方程得，再根据双曲线渐近线方程求解即可.【详解】解：将双曲线的方程化为标准方程得，所以，所以其渐近线方程为：，即.故选：A.2、D【解析】根据圆心坐标及半径，即可得到圆的方程.【详解】因为圆心为，半径为，所以圆的方程为:.故选：D.3、C【解析】利用，可得且，即可得出结论【详解】∵，且，椭圆与椭圆的关系是有相等的焦距故选：C4、A【解析】由两点坐标求出斜率，再得倾斜角【详解】由已知直线的斜率为，所以倾斜角为故选：A5、A【解析】根据题意求得，要判断的形状，只需要看是什么角即可，利用余弦定理判断，从而可得结论.【详解】解：由椭圆：，得，则，则，所以且为锐角，因为，所以锐角，所以为锐角三角形.故选：A.6、D【解析】连接底面正方形的对角线交于点，连接，则为该正四棱锥的高，即平面，取的中点，连接，则的大小为侧面与底面所成，设正方形的边长为，求出该正四棱锥的底面边长，斜高和高，然后对选项进行逐一判断即可.【详解】连接底面正方形的对角线交于点，连接则为该正四棱锥的高，即平面取的中点，连接，由正四棱锥的性质，可得由分别为的中点，所以，则所以为二面角的平面角，由条件可得设正方形的边长为，则,又则,解得故选项A正确.所以,则该正四棱锥的体积为，故选项B正确.该正四棱锥的侧面积为，故选项C正确.由题意为侧棱与底面所成角，则，故选项D不正确.故选：D7、C【解析】设单位圆上一点为，经过题设变换后坐标为，则，代入圆的方程即可得曲线方程.【详解】由题设，单位圆上一点坐标为，经过横向均匀压缩至原来的一半，纵向均匀压缩至原来的，得到对应坐标为，∴，则，故中，可得：.故选：C.8、B【解析】化简方程为，求得抛物线的准线方程，列出方程，即可求解.【详解】由抛物线，可得，所以，所以抛物线的准线方程为，因为抛物线的准线方程为，所以，解得.故选：B.9、C【解析】根据题意设设，根据题意得到，进而求得离心率【详解】根据题意得到设，因为，所以，所以，则故选：C.10、B【解析】计算出抽样比可得答案.【详解】该校高中学生共有名，所以高二年级抽取的人数名.故选：B.11、A【解析】等体积法求解点到平面的距离.【详解】连接，，则，，由勾股定理得：，，取BD中点E，连接ME，由三线合一得：ME⊥BD，则，故，设到平面MBD的距离是，则，解得：，故点到平面MBD的距离是.故选：A12、C【解析】首先根据抛物线的标准方程的形式，确定的值，再根据焦半径公式求解.【详解】，，因为点到的准线的距离为，所以，得故选：C二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】根据已知条件求得，由此求得实轴长.【详解】由于，双曲线的渐近线方程为，所以双曲线的渐近线与轴夹角小于，由得，实轴长故答案为：14、【解析】利用分组求和法求出答案即可.【详解】故答案为：15、【解析】根据正四棱柱的性质、矩形的性质，线面垂直的判定定理，结合勾股定理进行求解即可.【详解】当位于点时，因为是正方形，所以，由正四棱柱的性质可知，平面，因为平面，所以，因为平面，所以平面，平面，所以，因此当位于点时，满足题意，当点位于边点时，若，在矩形中，,因为，所以，因此，所以有，此时，又平面，所以平面，故点的轨迹在线段上，，所以线段长度的最大值为.故答案为：关键点睛：利用特殊点判断出点的轨迹是解题的关键.16、（1）（2）【解析】（1）将函数有三个互不相同的零点转化为有三个互不相等的实数根，令，求导确定单调性求出极值即可求解；（2）求导确定单调性，结合以及得，由得，结合二次函数单调性求出最小值即可求解.【小问1详解】当时，．函数有三个互不相同的零点，即有三个互不相等的实数根令，则，令得或，在和上均减函数，在上为增函数，极小值为，极大值为，的取值范围是；【小问2详解】，且，当或时，；当时，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为当时，，又，，又，又在上恒成立，即，即当时，恒成立在上单减，故最小值为，的取值范围是三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）在上单调递增，在上单调递减，极大值为﹣1，无极小值（2）【解析】（1）利用导数求出单调区间，即可求出极值；（2）令，利用分离参数法得到，利用导数求出的最大值即可求解.【小问1详解】当时，，定义域为，当时，，单调递增；当时，，单调递减∴当时，取得极大值﹣1所以在上单调递增，在上单调递减极大值为﹣1，无极小值【小问2详解】由，得，令，只需.求导得，所以当时，，单调递增，当时，，单调递减，∴当时，取得最大值，∴k的取值范围为18、（1）；（2）.【解析】（1）作出圆台的直观图，过点A作，垂足为H，由勾股定理可求圆台的高；（2）结合（1），利用圆台的体积公式可求圆台的体积【详解】（1）作出圆台的直观图，如图，设圆台上下底面圆心分别为，为圆台的一条母线，连接，，过点A作，垂足为H，则的长等于圆台的高，因为圆台的上下底面半径分别为，母线长为所以，，则，可得，故圆台高为；（2）圆的面积圆的面积为故圆台的体积为19、（1）（2）【解析】（1）根据不等式的解答求得，当时，求得，结合集合并集的运算，即可求解；（2）由题意得到是的真子集，根据集合间的包含关系，列出不等式组，即可求解.【小问1详解】解：由，解得，即，当时，可得，所以.【小问2详解】解：由集合，因为，且是成立的必要不充分条件，是的真子集，所以且等号不能同时成立，解得，其中当和是满足题意，故实数的取值范围是.20、【解析】设线段的中点的坐标为，点的坐标为，根据中点坐标公式和代入法求得线段中点的轨迹方程.【详解】解设线段的中点的坐标为，点的坐标为，则用代入法求得所求方程为.【点睛】本题考查了中点坐标公式和代入法求动点的轨迹方程，属于容易题.21、（1）答案见解析；（2）.【解析】如图，以点为原点，，，的方向分别为，，轴的正方向，建立空间直角坐标系，（1）设，由平面，可得，从而数量积为零，可求出的值，进而可求得的值；（2）利用空间向量求二面角的余弦值【详解】解：（1）如图，以点为原点，，，的方向分别为，，轴的正方向，建立空间直角坐标系，设，则点，，，则，因为平面，所以，所以，解得或当时，，，；当时，，，（2）因为，由（1）知，平面的一个法向量为设平面的法向量为，因为，，所以令，则所以，由图知，二面角的平面角为锐角，所