上海数学七年级上知识点

进入初中，数学学习的广度和深度都有了新的拓展。七年级上册的数学内容，既是小学知识的延伸与深化，也是整个初中数学学习的基石。为了帮助同学们更好地把握学习重点，理清知识脉络，下面我将对本学期的核心知识点进行梳理与解读。一、有理数有理数是初中数学的入门章节，也是后续代数学习的基础。本章的核心在于建立数系的概念，并掌握其运算规则。1.1有理数的概念我们首先引入了负数，用以表示具有相反意义的量。由此，数的范围从小学学过的正数和零扩展到了正数、负数和零。有理数是整数和分数的统称。整数包括正整数、零和负整数；分数包括正分数和负分数。这里需要注意的是，有限小数和无限循环小数都可以化为分数，因此它们也是有理数。1.2数轴数轴是理解有理数的重要工具，它是规定了原点、正方向和单位长度的直线。任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示，反之，数轴上表示有理数的点所对应的数也是有理数。数轴的引入，使得数与形得以初步结合，为我们提供了直观理解数的大小、相反数、绝对值等概念的途径。1.3相反数与绝对值相反数：只有符号不同的两个数互为相反数。特别地，零的相反数是零。在数轴上，互为相反数的两个数（零除外）位于原点的两侧，且到原点的距离相等。绝对值：数轴上表示一个数的点与原点的距离叫做这个数的绝对值。绝对值的代数意义体现为：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值是零。绝对值具有非负性，即任何数的绝对值都大于或等于零。1.4有理数的大小比较利用数轴比较有理数的大小是最直观的方法：数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大。此外，我们还可以根据数的性质进行比较：正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小。1.5有理数的运算有理数的运算包括加法、减法、乘法、除法和乘方。*加法与减法：有理数加法法则是基础，减法可以转化为加法进行（减去一个数等于加上这个数的相反数）。运算时要注意确定结果的符号和绝对值。*乘法与除法：有理数乘法法则同样关键，除法可以转化为乘法进行（除以一个不为零的数等于乘以这个数的倒数）。特别地，零乘以任何数都得零，零除以任何不为零的数都得零。*乘方：求n个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂。乘方运算中，要注意底数和指数的概念，以及符号的确定（负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数）。*混合运算：有理数的混合运算应遵循“先乘方，再乘除，最后加减；同级运算，从左到右进行；如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行”的顺序。运算律（加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律、分配律）在简化运算中起着重要作用。学习建议：有理数这一章概念较多，运算量大，是初中数学的“敲门砖”。同学们务必吃透概念，熟练掌握运算法则和运算技巧，确保运算的准确性。多做练习，在练习中总结经验，提高运算速度和解决问题的能力。二、整式的加减整式是代数式的基础，整式的加减是代数式运算的入门。本章的重点是理解整式的有关概念，掌握合并同类项和去括号的法则，进而熟练进行整式的加减运算。2.1整式的有关概念*单项式：由数与字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式。单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数，一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。*多项式：几个单项式的和叫做多项式。在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项。多项式里，次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。*整式：单项式和多项式统称为整式。2.2同类项所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项。几个常数项也是同类项。识别同类项是进行整式加减的前提。2.3合并同类项把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。合并同类项的法则是：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变。2.4去括号与添括号*去括号法则：如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反。*添括号法则：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号。2.5整式的加减整式的加减实质上就是合并同类项。进行整式加减运算时，如果有括号，先去括号，再合并同类项。学习建议：整式的加减运算，关键在于准确理解同类项的概念，并能正确运用合并同类项法则和去括号法则。在解题过程中，要养成先观察、再动手的习惯，确保每一步运算的依据和正确性。这部分内容是后续学习整式乘除、分式运算以及方程、函数的基础，务必夯实。三、一元一次方程方程是解决实际问题的重要数学模型，一元一次方程是最简单的代数方程，也是进一步学习其他方程的基础。本章的重点是理解一元一次方程的概念，掌握解一元一次方程的一般步骤，并能运用一元一次方程解决实际问题。3.1一元一次方程的概念含有未知数的等式叫做方程。只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，等号两边都是整式的方程叫做一元一次方程。使方程中等号左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。3.2等式的性质等式的性质是解方程的依据：*等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。*等式两边乘同一个数，或除以同一个不为零的数，结果仍相等。3.3解一元一次方程的一般步骤解一元一次方程的一般步骤包括：1.去分母：在方程两边都乘以各分母的最小公倍数，注意不要漏乘不含分母的项。2.去括号：先去小括号，再去中括号，最后去大括号，注意符号规则。3.移项：把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边（移项要变号）。4.合并同类项：把方程化成ax=b(a≠0)的形式。5.系数化为1：在方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解x=b/a。在具体解方程时，这些步骤不一定都要用到，并且也不是一定要按照这个顺序进行，要根据方程的特点灵活运用。3.4一元一次方程的应用运用一元一次方程解决实际问题，关键在于“找出等量关系，列出方程”。其一般步骤为：1.审：审题，弄清题意和题目中的数量关系。2.设：设未知数，用字母表示题目中的一个未知数。3.列：找出能够表示应用题全部含义的一个等量关系，根据这个等量关系列出方程。4.解：解所列出的方程。5.验：检验方程的解是否符合实际意义。6.答：写出答案（包括单位名称）。常见的实际问题类型有：行程问题、工程问题、利润问题、储蓄问题、和差倍分问题等。学习建议：一元一次方程的解法是基础，必须熟练掌握。而列方程解应用题则是本章的难点和重点，需要同学们在理解题意的基础上，仔细分析数量关系，学会从实际问题中抽象出数学模型。多做不同类型的应用题，总结各类问题的等量关系特点，是提高解题能力的有效途径。四、图形的初步认识本章是平面几何的入门，主要介绍一些基本的几何图形及其性质，培养同学们的空间观念和初步的几何直观能力。4.1多姿多彩的图形我们生活在一个充满图形的世界里。从实物中抽象出来的各种图形统称为几何图形。几何图形包括立体图形和平面图形。立体图形（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等）各部分不都在同一平面内；平面图形（如线段、角、三角形、长方形、圆等）各部分都在同一平面内。从不同方向看立体图形，可以得到不同的平面图形。把立体图形的表面适当剪开，可以展开成平面图形。4.2直线、射线、线段*直线：经过两点有一条直线，并且只有一条直线（两点确定一条直线）。直线没有端点，可以向两方无限延伸，不可度量。*射线：直线上一点和它一旁的部分叫做射线。射线有一个端点，可以向一方无限延伸，不可度量。*线段：直线上两点和它们之间的部分叫做线段。线段有两个端点，可度量。两点之间，线段最短。连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离。4.3角*角的概念：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角。这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边。角也可以看作由一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。*角的度量：角的度量单位是度、分、秒。1度=60分，1分=60秒。*角的比较与运算：可以用量角器量出角的度数来比较大小，也可以通过叠合的方法比较。角的和、差、倍、分的运算，与有理数的运算类似。*角的平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线。*余角和补角：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角；如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角。等角的余角相等，等角的补角相等。4.4相交线（部分教材可能安排在此或后续）*对顶角：两条直线相交形成的四个角中，有公共顶点且两边互为反向延长线的两个角叫做对顶角。对顶角相等。*垂线：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。学习建议：图形的初步认识这一章，需要同学们多观察、多动手、多思考。要学会从实物中抽象出几何图形，理解直线、射线、线段、角等基本图形的概念和性质。对于相交线、垂线等内容，要注意理解其形成过程和性质的应用。培养空间想象能力和几何语言表达能力是学好这部分内容的关键。总结与学习建议七年级上册数学的内容是整个初中数学的基础，有理数的运算、整式的加减、一元一次方程的解法与应用，以及图形的初步认识，这些知识不仅本身重要，更为后续学习打下了坚实的基础。要学好本学期的数学，建议同学们：1.重视概念理解：数学概念是数学推理和运算的基础，务必吃透每个概念的内涵与外延。2.勤于思考总结：不仅要知其然，更要知其所以然。解题后要反思，总结