2026年高等数学整数规划能力评估试题冲刺卷

2026年高等数学整数规划能力评估试题冲刺卷考试时长：120分钟满分：100分班级：__________姓名：__________学号：__________得分：__________试卷名称：2026年高等数学整数规划能力评估试题冲刺卷考核对象：高等院校数学、计算机、经济管理类专业学生及行业从业者题型分值分布：-判断题（总共10题，每题2分）总分20分-单选题（总共10题，每题2分）总分20分-多选题（总共10题，每题2分）总分20分-案例分析（总共3题，每题6分）总分18分-论述题（总共2题，每题11分）总分22分总分：100分---一、判断题（每题2分，共20分）1.整数规划问题的可行解一定是线性规划问题的可行解。2.若整数规划问题的最优解在整数解处取得，则该解一定是唯一最优解。3.割平面法适用于求解混合整数规划问题。4.整数规划问题的松弛变量可以用于判断问题是否为无界解。5.分支定界法在求解纯整数规划问题时，必须从原问题开始逐步分支。6.整数规划问题的目标函数系数变化不会影响最优解的整数性。7.若整数规划问题的某个约束条件为线性不等式，则该约束条件一定可以转化为二元变量约束。8.整数规划问题的对偶问题一定是整数规划问题。9.在分支定界法中，若某个分支节点无法找到可行解，则该分支可以立即剪枝。10.整数规划问题的解空间一定是连续的。二、单选题（每题2分，共20分）1.下列哪种方法不属于整数规划的求解方法？A.分支定界法B.割平面法C.线性规划法D.整数单纯形法2.在整数规划问题中，若某个变量必须取整数值，则该变量称为：A.松弛变量B.割变量C.整数变量D.人工变量3.下列哪种情况会导致整数规划问题从最优解处无法得到整数解？A.目标函数系数为整数B.约束条件为整数约束C.变量取值范围有限D.线性规划最优解非整数4.整数规划问题的割平面法主要基于以下哪个原理？A.对偶理论B.单纯形法C.割平面理论D.分支定界法5.若整数规划问题的某个约束条件为“≥”形式，则该约束条件需要如何转化？A.转化为“≤”形式B.转化为二元变量约束C.直接加入松弛变量D.忽略该约束条件6.在分支定界法中，若某个分支节点无法找到可行解，则该分支称为：A.可行分支B.无界分支C.剪枝分支D.可行解分支7.整数规划问题的对偶问题中，若原问题为纯整数规划问题，则对偶问题的解：A.一定为整数解B.一定为非整数解C.可能是整数解D.无法确定8.整数规划问题的松弛变量主要用于：A.判断问题是否为无界解B.转化不等式约束为等式约束C.增加变量取值范围D.求解对偶问题9.若整数规划问题的某个变量取值必须为0或1，则该变量称为：A.二元变量B.整数变量C.松弛变量D.人工变量10.整数规划问题的对偶单纯形法适用于：A.线性规划问题B.整数规划问题C.混合整数规划问题D.非线性规划问题三、多选题（每题2分，共20分）1.下列哪些方法可以用于求解整数规划问题？A.分支定界法B.割平面法C.整数单纯形法D.线性规划法2.整数规划问题的割平面法需要满足哪些条件？A.线性规划最优解非整数B.割平面必须经过某个整数解C.割平面必须与原可行域相交D.割平面必须与原可行域不相交3.整数规划问题的分支定界法中，分支变量可以是：A.整数变量B.非整数变量C.松弛变量D.人工变量4.整数规划问题的对偶问题中，下列哪些性质成立？A.原问题的最优解是对偶问题的最优解B.原问题的对偶解是对偶问题的最优解C.原问题的对偶问题与对偶问题的对偶问题相同D.原问题的对偶问题与对偶问题的对偶问题不同5.整数规划问题的松弛变量可以用于：A.判断问题是否为无界解B.转化不等式约束为等式约束C.增加变量取值范围D.求解对偶问题6.整数规划问题的分支定界法中，剪枝条件可以是：A.该分支节点无可行解B.该分支节点目标函数值劣于当前最优值C.该分支节点目标函数值优于当前最优值D.该分支节点无法找到整数解7.整数规划问题的对偶单纯形法适用于：A.线性规划问题B.整数规划问题C.混合整数规划问题D.非线性规划问题8.整数规划问题的割平面法中，割平面的构造需要满足哪些条件？A.割平面必须经过某个整数解B.割平面必须与原可行域相交C.割平面必须与原可行域不相交D.割平面必须与原可行域平行9.整数规划问题的分支定界法中，最优解的搜索过程可以是：A.从原问题开始逐步分支B.从某个子问题开始逐步分支C.通过对偶问题寻找最优解D.通过割平面法寻找最优解10.整数规划问题的对偶问题中，下列哪些性质成立？A.原问题的最优解是对偶问题的最优解B.原问题的对偶解是对偶问题的最优解C.原问题的对偶问题与对偶问题的对偶问题相同D.原问题的对偶问题与对偶问题的对偶问题不同四、案例分析（每题6分，共18分）案例1：某公司生产两种产品A和B，每件产品A的利润为3元，每件产品B的利润为5元。生产每件产品A需要1小时机器时间，生产每件产品B需要2小时机器时间，公司每天最多有8小时机器时间可用。此外，产品A每天最多生产4件，产品B每天最多生产6件。若产品A必须生产整数件，产品B可以取非整数件，求公司如何安排生产计划以最大化利润？案例2：某公司需要采购两种原材料X和Y，每单位原材料X的成本为2元，每单位原材料Y的成本为3元。公司需要至少采购10单位原材料，且原材料X的采购量必须是偶数。若原材料X的采购量每增加1单位，原材料的总需求量增加1单位，求公司如何安排采购计划以最小化成本？案例3：某公司需要安排员工加班，加班员工必须为整数人。若加班员工每人每天工资为100元，且加班员工总数不能超过10人。此外，加班员工必须满足以下约束：至少安排3名员工加班，且加班员工总数必须是奇数。求公司如何安排加班计划以最小化加班成本？五、论述题（每题11分，共22分）1.论述整数规划问题的求解方法及其优缺点，并说明在何种情况下应选择分支定界法或割平面法。2.论述整数规划问题的对偶理论及其在求解整数规划问题中的应用，并举例说明如何利用对偶理论简化求解过程。---标准答案及解析一、判断题1.√2.×（最优解可能存在多个整数解）3.√4.×（松弛变量用于判断问题是否为可行解）5.√6.×（目标函数系数变化可能影响最优解的整数性）7.×（并非所有线性不等式都可以转化为二元变量约束）8.×（对偶问题可能是线性规划问题）9.√10.×（整数规划问题的解空间可能是离散的）二、单选题1.C2.C3.D4.C5.B6.C7.C8.B9.A10.B三、多选题1.A,B,C2.A,B,C3.A,B4.A,C5.B,D6.A,B,D7.B8.A,B9.A,B10.A,C四、案例分析案例1：模型建立：设产品A的生产量为\(x_1\)，产品B的生产量为\(x_2\)，则目标函数为：\[\maxZ=3x_1+5x_2\]约束条件为：\[x_1+2x_2\leq8\]\[x_1\leq4\]\[x_2\leq6\]\[x_1\in\mathbb{Z}\]\[x_2\geq0\]求解步骤：1.求解线性规划松弛问题，得到最优解为\(x_1=4,x_2=2\)，目标函数值为22。2.由于\(x_2\)非整数，进行分支，设\(x_2=2\)和\(x_2>2\)两个分支。3.对\(x_2=2\)分支，得到最优解为\(x_1=4,x_2=2\)，目标函数值为22。4.对\(x_2>2\)分支，得到最优解为\(x_1=2,x_2=3\)，目标函数值为21。5.比较两个分支，最优解为\(x_1=4,x_2=2\)，目标函数值为22。案例2：模型建立：设原材料X的采购量为\(x_1\)，原材料Y的采购量为\(x_2\)，则目标函数为：\[\minZ=2x_1+3x_2\]约束条件为：\[x_1+x_2\geq10\]\[x_1\in\{0,2,4,\ldots\}\]\[x_2\geq0\]求解步骤：1.求解线性规划松弛问题，得到最优解为\(x_1=8,x_2=2\)，目标函数值为28。2.由于\(x_1\)非偶数，进行分支，设\(x_1=8\)和\(x_1=6\)两个分支。3.对\(x_1=8\)分支，得到最优解为\(x_1=8,x_2=2\)，目标函数值为28。4.对\(x_1=6\)分支，得到最优解为\(x_1=6,x_2=4\)，目标函数值为30。5.比较两个分支，最优解为\(x_1=8,x_2=2\)，目标函数值为28。案例3：模型建立：设加班员工总数为\(x\)，则目标函数为：\[\minZ=100x\]约束条件为：\[3\leqx\leq10\]\[x\in\{3,5,7,9\}\]求解步骤：1.由于加班员工总数必须是奇数，最优解为\(x=3\)，目标函数值为300。五、论述题1.整数规划问题的求解方法及其优缺点，并说明在何种情况下应选择分支定界法或割平面法。整数规划问题的求解方法主要包括分支定界法、割平面法、整数单纯形法等。-分支定界法：优点：适用于纯整数规划和混合整数规划问题，能够保证找到最优解。缺点：计算量大，尤其是在变量和约束条件较多时。适用情况：当问题规模较小或需要保证找到最优解时。-割平面法：优点：能够有效减少线性规划松弛问题的可行域，提高求解效率。缺点：计算复杂度较高，尤其是在变量和约束条件较多时。适用情况：当问题规模较小或需要快速找到近似最优解时。2.整数规划问题的对偶理论及其在求解整数规划问题中的应用，并举例说明如何利用对偶理论简化求解过程。整数规划问题的对偶理论类似于线性规划的对偶理论，可以用于简化求解过程。对偶理论的应用：-通过对偶问题寻找最优解，可以减少计算量。-对偶问题的解可以提供原问题的影子价格，有助于理解问题结构。举例：设原问题为：\[\maxZ=c^T