基于待定系数法：在特定条件下确定二次函数的表达式（第二课时）

基于待定系数法：在特定条件下确定二次函数的表达式（第二课时）一、教学内容分析  本课隶属于初中数学九年级“二次函数”单元，是“确定二次函数表达式”这一核心技能学习的深化与拓展。从《义务教育数学课程标准（2022年版）》审视，本课位于“函数”主题下，具体要求是“会用待定系数法确定二次函数的表达式”。这绝非孤立的技能操练，而是数学建模思想的关键实践环节。在知识图谱上，它上承学生对二次函数一般式、顶点式概念的理解及一次函数待定系数法的经验，下启利用二次函数模型解决实际问题的综合应用，是连接函数概念理解与函数模型应用不可或缺的桥梁。过程方法上，本课旨在引导学生经历“识别问题情境中的关键条件—选择合适的函数表达式形式—建立关于系数的方程（组）—求解并解释结果”的完整数学化过程，这是将实际问题抽象为数学问题，再利用数学工具解决问题的典型路径，深刻体现了模型思想与方程思想。从素养视角看，这一过程正是发展学生数学抽象、逻辑推理和数学运算等核心素养的绝佳载体。通过对不同现实背景（如抛物线形轨迹、最优值问题）的分析与建模，学生能直观感受数学的工具价值与应用之美，其严谨、求实的科学态度也在步步为营的推理与计算中得到锤炼。  学情研判是精准施教的前提。学生已掌握二次函数的一般式y=ax²+bx+c(a≠0)和顶点式y=a(xh)²+k(a≠0)，并初步体验过用待定系数法求已知图象上任意三点坐标的表达式。可能的认知障碍在于：第一，面对具体问题时，如何依据“顶点”、“与x轴交点”等非普适性条件，灵活、准确地选用最简表达式形式（顶点式或两根式），这需要超越机械记忆，达到策略性理解。第二，建立方程组后的求解过程，尤其是涉及分数或根号的运算，对部分学生的运算韧性是一大考验。基于此，教学将设计前置性诊断问题：“若已知抛物线顶点是(1,2)，且过点(3,4)，你能想到几种方法求其表达式？哪种可能更简便？”以此激活旧知、暴露思维差异。在教学策略上，将采用“脚手架”逐步撤除的方式：从教师引领分析条件与形式的匹配关系，到小组合作辨析不同策略的优劣，最后独立解决变式问题，为不同思维节奏的学生提供可视化思考工具（如条件与表达式形式选择对照表）和分层次的计算支持。二、教学目标  知识目标：学生能够系统性理解，确定二次函数表达式本质上是基于已知条件求解特定系数。他们不仅能准确陈述待定系数法的一般步骤，更能深刻辨析：在已知顶点坐标时，选用顶点式y=a(xh)²+k可简化计算；在已知抛物线与x轴两交点坐标时，选用两根式y=a(xx₁)(xx₂)更为直接。从而建构起“条件特征—表达式形式选择—计算复杂度”之间的策略性知识网络。  能力目标：学生能够从文字描述、图表或实际问题中，精准提取“顶点”、“对称轴”、“最大/小值”、“与x轴交点”等关键条件，并据此独立、正确地选择表达式形式，列出方程或方程组。他们能熟练解出待定系数，并完整写出函数表达式，在这一过程中提升数学建模的初步能力与代数运算的准确性。  情感态度与价值观目标：通过解决来源于拱桥设计、投篮轨迹等现实背景的问题，学生能持续感受到数学建模在理解与刻画现实世界中的力量，激发探究兴趣。在小组讨论“最优解法”的过程中，养成乐于分享思路、倾听他人见解、审慎评估不同策略的理性交流习惯。  科学（学科）思维目标：本课重点发展学生的模型化思维与优化思维。引导学生经历“实际问题→数学条件→数学模型（表达式形式选择）→数学求解→回归验证”的完整思维链条，并在此过程中，有意识地比较不同建模路径（如选用一般式或顶点式）的繁简，学会基于效率与可行性的策略选择与优化。  评价与元认知目标：学生能够运用教师提供的“解题自查清单”（如：条件是否提取齐全？形式选择是否最简？求解过程是否准确？），对自身或同伴的解题过程进行结构化检视。课后能反思在解决不同类型问题时，自己策略选择的倾向性与有效性，初步形成“先分析，再选择，后计算”的元认知策略。三、教学重点与难点  教学重点：根据题目所给条件的特征（特别是顶点坐标或与x轴交点坐标），灵活选用二次函数的顶点式或两根式，并利用待定系数法确定表达式。确立依据源于课标对本学段“模型思想”与“运算能力”的核心要求。从学科知识结构看，这是将函数解析式从“知三求三”的一般情形，推向依据几何特征简化运算的策略性阶段，是知识向能力转化的枢纽。从中考考查视角看，此为核心高频考点，常与函数图象性质、实际应用题结合，直接考察学生分析条件、优化策略的数学素养。  教学难点：难点之一是准确识别条件与表达式形式的匹配关系，尤其是在条件隐含（如“对称轴为直线x=m”、“函数有最大值/最小值k”）或混合（同时给出顶点和一个普通点）时，学生容易陷入盲目套用一般式的思维定式。难点之二是求解所立方程（组）时的代数运算准确性，尤其是当坐标含有分数或根号时。预设依据来自对常见学情的分析：学生往往对程序性步骤（设、代、解、答）记忆清晰，但对“为何选择此形式”的深层逻辑理解不足；同时，运算能力的分化在本环节会明显显现，成为部分学生达成目标的拦路虎。突破方向在于强化条件分析的思维训练，并提供差异化的运算支持工具。四、教学准备清单  1.教师准备  1.1媒体与课件：制作交互式课件，包含问题情境动画（如抛物线形拱桥、投篮抛物线）、条件与表达式形式选择的动态对比图、例题的逐步解析动画。  1.2学习材料：设计并印制《学习任务单》，内含前置诊断题、核心探究任务链、分层巩固练习题及“解题自查清单”。  1.3板书设计预案：规划板书分为左、中、右三栏。左栏记录核心条件类型（顶点、交点等），中栏对应表达式形式（顶点式、两根式）及待定系数方程，右栏用于展示学生不同解法或提炼思想方法。  2.学生准备  2.1知识复习：复习二次函数的一般式、顶点式，回顾待定系数法求一次函数表达式的步骤。  2.2学具准备：携带常规作图工具（直尺、铅笔），以备简单草图辅助分析。  3.环境准备  将教室座位调整为46人一组，便于开展小组合作探究与讨论。五、教学过程第一、导入环节  1.情境创设与认知冲突激发  同学们，上节课我们学会了已知抛物线上的任意三个点，就能求出它的“身份证”——函数表达式。但生活中，关于一条抛物线，我们最先知道的往往不是三个普通点的坐标。请看屏幕：这是一座抛物线形的拱桥，工程师在设计时，首先确定的是桥拱的最高点（也就是顶点）的位置和跨度。如果我把这个拱桥的截面放在坐标系里，已知顶点坐标是(20,5)，桥拱一端在原点(0,0)。现在，你能立刻想到办法求出描述这条抛物线的函数表达式吗？别急着说一般式，想想有没有更“对症下药”的表达式形式？  1.1核心问题提出与学习路径展望  看来有同学想到了顶点式！没错，当“顶点”这个特征非常突出时，我们自然想利用它。这就是我们今天要深入探究的主题：如何像一位精明的“数学侦探”一样，根据题目给出的“线索”（条件特征），智慧地选择最合适的表达式“模板”（一般式、顶点式或两根式），来高效确定二次函数的表达式。本节课，我们将重点攻克“顶点线索”和“交点线索”这两类经典案件。第二、新授环节  本环节将以“支架式教学”展开，通过环环相扣的探究任务，引导学生主动建构策略性知识。任务一：重温旧知——建立条件与形式的初步联系  教师活动：首先，通过提问快速回顾：“我们手上有哪几种二次函数的表达式‘武器库’？”（一般式、顶点式）。随后，展示三个简单条件：①已知三点坐标；②已知顶点坐标和另一点坐标；③已知与x轴两交点坐标和另一点坐标。引导学生分组讨论：“面对这三组不同的‘线索’，你首选哪种‘武器’？理由是什么？”教师巡视，倾听各组的讨论焦点，并邀请代表分享。最后，教师进行精讲：“大家的选择非常符合‘经济原则’——用最少的方程，解最少的未知数。条件①信息分散，用一般式；条件②突出了顶点，用顶点式最直接；条件③暴露了与x轴的交点，两根式是天然的选择。”  学生活动：回顾并列出已学的二次函数表达式形式。在小组内积极讨论教师提出的问题，尝试用语言阐述选择某种形式的理由。倾听其他小组的分享，比较自己思路的异同。  即时评价标准：1.能否准确回忆并写出两种表达式形式。2.讨论时，理由阐述是否基于“简化计算”或“条件匹配”的考量。3.能否认真倾听同伴观点，并进行补充或礼貌地质疑。  形成知识、思维、方法清单：  ★核心策略：条件驱动的表达式选择。确定表达式前，先花30秒分析条件特征。这是提高解题效率和准确率的决定性习惯。“大家记住，先别急着设一般式，看看有没有‘VIP条件’——顶点或交点。”  ★顶点式的识别关键。题目中明确给出“顶点(h,k)”、“对称轴x=h”、“最大(小)值k”等信息，都指向选用顶点式y=a(xh)²+k。  ▲两根式的应用前提。已知抛物线与x轴的交点坐标(x₁,0),(x₂,0)是选用两根式y=a(xx₁)(xx₂)的明确信号。这里x₁,x₂是方程ax²+bx+c=0的根。任务二：典例探究——攻克“顶点条件”型问题  教师活动：出示例1：已知二次函数图象顶点为(1,2)，且经过点(3,4)，求其表达式。首先，带领学生逐句分析条件，标注关键词“顶点”。提问：“根据我们刚才的共识，首选什么形式？”确认选用顶点式。板书设定表达式为y=a(x1)²2。接着，引导学生思考：“如何确定剩下的系数a？”学生易知代入点(3,4)。教师板书代入过程：4=a(31)²2。这里停顿，追问：“大家先别急着算，我们先来‘列方程’，再‘解方程’。这个方程的本质是什么？”（是关于a的一元一次方程）。然后由学生口述求解过程，教师规范板书。得到a=1.5后，强调最终表达式要写成y=1.5(x1)²2或化为一般式。最后，教师设疑：“如果我用一般式y=ax²+bx+c来解，会怎样？”引导学生口头描述需要三个方程，计算更繁琐，从而强化优化策略的意识。  学生活动：跟随教师分析，明确选用顶点式的理由。观察教师板书设定过程。在教师引导下，共同完成代入点坐标建立方程、解方程、写出表达式的全过程。思考并口头回答教师关于一般式解法的提问，直观感受不同方法的计算量差异。  即时评价标准：1.能否跟随分析，准确说出选用顶点式的依据。2.代入点坐标建立方程的过程是否准确无误。3.求解一元一次方程及写出最终表达式是否规范。  形成知识、思维、方法清单：  ★顶点式待定系数法步骤。一设（设顶点式）、二代（代顶点坐标确定h,k；代另一已知点坐标）、三解（解关于a的方程）、四答（写表达式）。口诀：“顶点信息先入式，再找一个点定a值。”  ★易错点提醒。顶点式中的h是减去的数。顶点为(1,2)，则表达式为y=a(x1)²+(2)，即y=a(x1)²2。符号错误是高频失分点。“这里一定要小心，顶点坐标的横纵坐标代入时，符号是相反的。”任务三：变式训练——识别隐含的顶点条件  教师活动：出示例2：已知抛物线对称轴为直线x=2，且函数有最小值3，图象过点(0,1)，求表达式。提问：“这个题目里，有直接给出顶点坐标吗？”引导学生将“对称轴x=2”和“最小值3”这两个条件“翻译”成顶点坐标(2,3)。然后，流程同例1，由学生尝试独立或同桌协作完成。教师巡视，重点关注意义转换有困难的学生，给予个别指导。完成后，请一位学生板演并讲解。  学生活动：独立思考“对称轴”和“最值”与“顶点”的关系，尝试“翻译”出顶点坐标。在理解基础上，模仿例1的步骤，完成求解过程。观察同伴板演，检查自己的步骤与结果。  即时评价标准：1.能否将“对称轴x=h”和“最值k”正确转化为顶点坐标(h,k)。2.独立解题时，步骤是否完整、规范。3.板演讲解时，逻辑是否清晰。  形成知识、思维、方法清单：  ▲条件的等价转换。“对称轴为直线x=h”等价于“顶点的横坐标为h”。“函数有最大（小）值k”等价于“顶点的纵坐标为k”（a<0时最大值，a>0时最小值）。这是挖掘隐含条件的关键。任务四：典例探究——攻克“交点条件”型问题  教师活动：出示例3：已知抛物线与x轴交于A(1,0)，B(3,0)两点，且经过点C(2,3)，求表达式。引导学生分析：“这次最突出的‘线索’是什么？”（与x轴的交点）。提问：“对应的‘武器’是什么？”（两根式）。板书设定表达式为y=a(x+1)(x3)。强调两根式写法：x₁=1，所以因式是(x(1))即(x+1)；x₂=3，因式是(x3)。接着，引导学生代入点C(2,3)建立方程：3=a(2+1)(23)。解出a=1。最后写出表达式y=(x+1)(x3)或展开为一般式。  学生活动：分析条件，明确应选用两根式。观察教师如何根据交点坐标写出两根式的因式部分，注意符号处理。共同完成代入、求解、写表达式的过程。  即时评价标准：1.能否准确根据交点坐标写出两根式的因式部分。2.代入第三个点建立方程时，坐标代入和计算是否准确。  形成知识、思维、方法清单：  ★两根式待定系数法步骤。一设（设两根式，注意因式写法）、二代（代第三个已知点坐标）、三解（解关于a的方程）、四答。口诀：“交点横标变因式，再找一个点定a值。”  ★易混淆点辨析。两根式y=a(xx₁)(xx₂)中的x₁,x₂是抛物线与x轴交点的横坐标，纵坐标必须为0。如果已知的是两个普通的非交点坐标，则不能用两根式。任务五：综合辨析与策略优化  教师活动：呈现一个混合条件问题：已知二次函数图象经过(1,10)、(2,1)、(1,4)三点，但其中(1,4)是顶点。提问：“现在有三种选择：一般式、顶点式、甚至有人想用两根式（但找不到两个交点）。请小组讨论，哪种方法最简捷？为什么？”给学生3分钟讨论。随后引导全班分享，得出结论：虽然已知三点可用一般式，但其中一点是顶点，因此用顶点式y=a(x1)²+4，再代入另一点（如(1,10)）解a，只需一个方程，计算最简。教师总结：“看，这就是‘VIP条件’的优先权！即使信息很多，也要慧眼识别出那个能让我们解题事半功倍的关键特征。”  学生活动：小组热烈讨论，比较不同方法的可行性及计算步骤。尝试用顶点式思路进行简单计算，验证其便捷性。派代表向全班阐述本组观点。  即时评价标准：1.小组讨论是否围绕“计算便捷性”展开。2.能否清晰地论证顶点式在此题中的优越性。3.能否正确运用顶点式完成快速计算。  形成知识、思维、方法清单：  ★策略选择的优先级。当条件中同时包含顶点（或可推导出顶点）和其他点时，优先选用顶点式；当条件中同时包含与x轴的两个交点和其他点时，优先选用两根式；当条件为三个无特殊关联的普通点时，则用一般式。这个思路很清晰，就像侦探破案，先找最特殊的线索。  ▲模型思想的深化。选择表达式形式的过程，就是为实际问题匹配最合适数学模型的过程。最优模型的标准是：既准确反映条件本质，又使求解过程最简化。第三、当堂巩固训练  现在，请大家拿出《学习任务单》，完成巩固练习部分。我们设计了三个梯度的挑战，看看大家能否运用刚才学到的“侦探技巧”。  基础层（全体必做，限时5分钟）：  1.顶点为(2,3)，过点(1,1)，求表达式。  2.与x轴交于(0,0)和(4,0)，且经过点(1,3)，求表达式。（提示：注意原点也是一个交点哦！）  【反馈】：完成后，同桌互换，依据“解题自查清单”互评。教师用投影展示规范答案，重点讲解第2题如何识别交点条件并设两根式。  综合层（大部分学生挑战，限时7分钟）：  3.已知抛物线对称轴为x=1，函数最大值为5，且图象经过点(2,3)，求其表达式。  4.一个二次函数，其图象向下开口，与x轴的一个交点是(5,0)，顶点是(2,9)，求这个函数表达式。（思考：能用两根式吗？）  【反馈】：学生独立完成。教师巡视，收集典型解法（特别是第4题的不同思路）和共性错误。请两位学生分别板演3、4题，并讲解。重点剖析第4题：已知顶点和一根，虽非标准两根式条件，但利用顶点式后，如何利用交点(5,0)解出a。对比若有学生设两根式y=a(x5)(xx₂)再结合顶点条件求x₂和a的复杂解法，突出顶点式的直接性。  挑战层（学有余力者选做）：  5.（跨学科联系）在物理平抛运动模型中，忽略空气阻力，某物体被抛出后，其运动轨迹近似为抛物线。已知抛出点坐标为(0,0)，最高点（顶点）坐标为(4,5)。请求出描述该轨迹的二次函数表达式（以水平方向为x轴，竖直向上为y轴正方向）。你求出的表达式能解释物体最终落回地面（y=0）时的水平距离吗？  【反馈】：作为延伸思考，鼓励学生课后探究。可在课堂最后1分钟简要提示：利用顶点式和原点坐标即可求出表达式，进而解方程y=0求得另一个根（落地点）。第四、课堂小结  今天的数学侦探之旅即将结束，谁来帮我们梳理一下破案的核心工具和心法？鼓励学生自愿发言，从知识（学了哪两种特殊情况下的求法）、方法（待定系数法步骤、如何选择形式）、思想（模型思想、优化思想）等多个维度进行总结。教师适时补充，并用板书右侧区域形成结构化小结图：  已知条件→选择表达式形式→建立方程→求解→作答  (顶点)(顶点式)(关于a的方程)  (与x轴交点)(两根式)(关于a的方程)  (任意三点)(一般式)(关于a,b,c的方程组)  作业布置：  1.基础性作业（必做）：教材对应章节练习题，巩固顶点式和两根式的直接应用。  2.拓展性作业（建议完成）：完成《学习任务单》上的两道应用题，涉及拱桥、喷水池等实际情境，练习从文字中提取关键条件。  3.探究性作业（选做）：尝试解决“挑战层”第5题，并思考：若改变坐标系设定方式，求出的表达式和落地点距离会变化吗？为什么？六、作业设计  基础性作业：  1.根据下列条件，分别求出对应的二次函数表达式：    (1)图象的顶点是(3,1)，且过点(2,0)。    (2)图象与x轴交于(2,0)和(4,0)，且过点(1,6)。  2.已知抛物线y=ax²+bx+c的对称轴为直线x=1，函数最小值为4，且图象经过点(3,0)。求该抛物线的表达式。  拓展性作业：  3.（情境题）某公园要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一根柱子OA，O恰在水面中心。柱子顶端A处装有喷头，向外喷出的水柱呈抛物线形。已知OA高1.25米，水柱在与OA水平距离为1米处达到最高点，高度为2.25米。以O为原点，OA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系。求水柱落地处点B的坐标。  4.已知二次函数图象的一部分如图所示（教师需配简图：顶点在(2,1)，过点(0,3)），求这个二次函数的表达式。  探究性/创造性作业：  5.请你自编两道“确定二次函数表达式”的题目。要求：第一道题适合使用顶点式求解，第二道题适合使用两根式求解。并为你编写的题目附上详细的解答过程。  6.查阅资料，了解二次函数在计算机图形学中的一个应用实例（如贝塞尔曲线），并尝试说明其中确定曲线形状时，是如何利用类似“控制点”（可类比为我们已知的点或顶点）来确定表达式的。七、本节知识清单及拓展  1.★待定系数法本质：通过已知条件列出关于未知系数的方程（组），从而确定函数表达式的方法。它是一种普适的数学方法。  2.★表达式形式选择策略：这是本课核心。见顶点（或对称轴+最值），想顶点式；见与x轴两交点，想两根式；见三个普通点，用一般式。选择原则是使方程数量最少、求解最简单。  3.★顶点式待定系数法：已知顶点(h,k)和另一点(x₀,y₀)。步骤：①设y=a(xh)²+k；②代入(x₀,y₀)：y₀=a(x₀h)²+k；③解出a；④回代写出表达式。  4.▲顶点式中的符号：h,k是顶点坐标，代入时注意y=a(xh)²+k中是“减h”。顶点(1,2)对应y=a(x1)²2。常见错误是符号写反。  5.★两根式待定系数法：已知与x轴交点(x₁,0)、(x₂,0)和另一点(x₀,y₀)。步骤：①设y=a(xx₁)(xx₂)；②代入(x₀,y₀)：y₀=a(x₀x₁)(x₀x₂)；③解出a；④回代写出表达式。  6.▲两根式的写法：交点为(1,0)和(3,0)，则设为y=a(x(1))(x3)=a(x+1)(x3)。务必确保因式展开后常数项符号正确。  7.★隐含条件“翻译”：“对称轴为直线x=m”→顶点横坐标为m。“有最大（小）值n”→顶点纵坐标为n（需结合开口方向判断最大还是最小）。  8.★一般式适用情形：当已知条件为三个任意点的坐标，或无明显的顶点、交点特征时，使用一般式y=ax²+bx+c，代入三点坐标得到三元一次方程组求解。  9.▲混合条件的处理：条件中同时出现顶点（或可推导出顶点）和其他点时，优先使用顶点式，计算量通常远小于一般式。  10.★易错点：概念混淆：两根式要求已知点是与x轴的交点（纵坐标为0）。已知两个纵坐标不为0的普通点，不能使用两根式。  11.▲易错点：求解与检验：解出a（或a,b,c）后，务必代入原表达式。建议将已知点（除用于列方程的之外）代入验证，确保计算无误。  12.★数学思想：模型思想：根据实际问题或条件特征，选择恰当的数学模型（表达式形式），是数学建模的初步体现。  13.★数学思想：方程思想：待定系数法的全过程贯穿着方程思想，将求函数表达式问题转化为解方程（组）问题。  14.▲数学思想：优化思想：比较不同解法路径，选择最简捷、高效的一种，是重要的数学思维品质。  15.▲跨学科联系：二次函数表达式在物理学（抛体运动）、工程学（拱形结构设计）、经济学（利润最优化）等领域有广泛应用。确定表达式的过程，即是建立定量模型的过程。八、教学反思  （一）教学目标达成度分析：本课预设的知识与技能目标达成度较高。通过课堂观察和随堂练习反馈，约85%的学生能准确识别顶点和交点条件，并选用正确形式求解。能力目标方面，大部分学生能完成从条件到表达式的建模过程，但在面对综合层第4题这类条件稍复杂的题目时，约30%的学生表现出犹豫，需要教师或同伴提示才能完成“翻译”。这提示我在后续教学中，需设计更多条件隐含或混合的变式题进行专项训练。情感与价值观目标在小组讨论和现实情境应用中得到了较好的渗透，学生参与度较高。  （二）核心环节有效性评估：“任务二”和“任务四”两个典例探究