2026年数学建模与数据分析考试题目集

2026年数学建模与数据分析考试题目集第一部分：数据分析与处理（共3题，每题15分）题目1（15分）：背景：某电商平台收集了2023年1月至2024年12月全国30个主要城市的月度服装销售数据，数据包含城市名称、销售额（万元）、平均气温（℃）、节假日类型（无、促销、节日）四项指标。要求：（1）绘制销售额的时间序列图，分析销售趋势和季节性；（2）计算各城市销售额与平均气温的相关系数，并解释其经济意义；（3）用K-means聚类算法将城市分为三类，并描述每类城市的特征（如高销量、高气温敏感度等）。题目2（15分）：背景：某银行收集了1000名客户的信用贷款数据，包括年龄、收入、负债率、贷款逾期天数（0表示未逾期）。要求：（1）用箱线图分析年龄和收入的数据分布，识别异常值；（2）建立逻辑回归模型预测客户是否逾期（逾期天数>30天为逾期），并解释模型中收入和负债率的系数含义；（3）计算模型的AUC值，并评估其在实际业务中的应用效果。题目3（15分）：背景：某城市交通管理部门收集了2023年早晚高峰时段的拥堵指数数据，包含路段名称、拥堵指数（1-10）、车流量（辆/小时）、天气状况（晴、阴、雨）。要求：（1）用相关性分析确定影响拥堵指数的关键因素；（2）设计一个时间序列预测模型（如ARIMA）预测未来一周某路段的拥堵指数；（3）提出至少两种缓解拥堵的方案，并量化其预期效果（如减少拥堵指数0.5分）。第二部分：统计建模与分析（共4题，每题20分）题目4（20分）：背景：某农业研究机构种植了10组不同施肥量的水稻，记录了每组的水稻产量（kg/亩）。数据如下表：|施肥量（kg/亩）|产量（kg/亩）||-|--||0|300||10|450||20|600||...|...||100|950|要求：（1）拟合水稻产量与施肥量的关系曲线（如多项式回归）；（2）计算施肥量的边际产量（即每增加1kg施肥量带来的产量增量）；（3）分析过量施肥是否会导致产量下降，并给出最优施肥量建议。题目5（20分）：背景：某医院记录了100名感冒患者的退热药使用情况，数据包括用药剂量（mg）、退热时间（小时）、性别（男/女）。要求：（1）用假设检验比较男性和女性患者的平均退热时间是否存在显著差异；（2）建立剂量与退热时间的非线性回归模型，并验证其显著性；（3）根据模型预测，若要使退热时间缩短至4小时，建议的最低剂量是多少？题目6（20分）：背景：某连锁餐厅收集了20家分店的销售数据，包括每日客流量、客单价、促销活动类型（无、折扣、满减）。要求：（1）用方差分析（ANOVA）检验促销活动类型对客单价的影响是否显著；（2）计算客流量与客单价的协方差矩阵，分析两者是否存在线性关系；（3）若某分店计划开展促销活动，建议选择哪种类型，并给出预期客单价提升比例。题目7（20分）：背景：某共享单车企业记录了2023年全年的骑行数据，包括骑行时长（分钟）、骑行距离（公里）、天气状况、季节。要求：（1）用主成分分析（PCA）提取骑行数据的两个主要影响因素；（2）建立线性回归模型预测骑行时长，并解释季节的系数含义；（3）若天气变差（如雨天），骑行时长预计增加多少分钟？第三部分：机器学习与预测（共3题，每题25分）题目8（25分）：背景：某电商平台需要预测用户的购买转化率（是否购买），数据包含用户年龄、浏览时长（分钟）、点击商品数、是否会员。要求：（1）用决策树算法构建分类模型，并可视化决策树；（2）计算模型的Gini指数和准确率，并优化参数以提升性能；（3）若某用户年龄25岁、浏览时长5分钟、点击商品数10个、非会员，预测其购买转化率。题目9（25分）：背景：某城市自来水公司收集了每日的用水量数据，包含日流量（万吨）、温度（℃）、是否节假日。要求：（1）用LSTM神经网络预测未来3天的用水量，并展示预测结果；（2）分析温度对用水量的影响程度，并解释其背后的生活逻辑；（3）若某日天气高温且为节假日，预测的用水量会是多少万吨？题目10（25分）：背景：某航空公司收集了航班延误数据，包括航班号、出发地、目的地、天气状况、航空公司评分。要求：（1）用随机森林算法预测航班延误时间（分钟），并识别最影响延误的因素；（2）计算模型的RMSE值，并评估其稳定性；（3）若某航班出发地为北京、目的地为上海、天气良好，预计延误时间多少分钟？答案与解析第一部分：数据分析与处理题目1（1）时间序列图显示销售额呈增长趋势，夏季（6-8月）和节假日促销期销量显著高于其他时期；（2）相关系数为0.35，说明气温升高可能带动部分轻装商品销量增长（如夏装）；（3）聚类结果：A类（高销量、低气温敏感）如一线城市；B类（中销量、气温敏感）如三四线城市；C类（低销量、低气温敏感）如偏远地区。题目2（1）箱线图显示年龄分布对称，收入存在异常值（>1.5IQR）；（2）逻辑回归系数显示收入每增加1万元，逾期概率提升12%；负债率每增加10%，逾期概率提升8%；（3）AUC=0.82，模型能有效区分客户信用风险。题目3（1）相关性分析显示车流量（r=0.89）是关键因素；（2）ARIMA模型预测未来一周某路段拥堵指数均值将升至6.5；（3）建议方案：①错峰出行（加价0.5元/次）；②增加高峰期公交运力（减拥堵指数0.3）。第二部分：统计建模与分析题目4（1）多项式回归y=5x+300（R²=0.98）；（2）边际产量=5（即每增1kg施肥量增产5kg）；（3）过量施肥（>80kg/亩）会导致产量下降，最优施肥量60kg/亩。题目5（1）t检验p<0.05，女性退热时间显著短于男性（4.2hvs4.8h）；（2）模型y=0.3x²+2x（R²=0.85）；（3）最低剂量需达到150mg。题目6（1）ANOVAp<0.01，折扣促销显著提升客单价（+15%）；（2）协方差矩阵显示两者正相关（r=0.6）；（3）建议满减促销，预期提升12%。题目7（1）PCA提取“天气影响”和“季节性”两个主成分；（2）季节系数为0.4（冬季客单价更高）；（3）雨天预计时长增加8分钟。第三部分：机器学习与预测题目8（1）决策树可视化显示年龄和浏览时长为关键节点；（2）Gini=0.3，准确率85%；（3）转化率预测为68%。题目9（1）LSTM预测未来3