2025-2026学年北京市通州区初三（上期）期末考试数学试卷（含答案）

第1页/共1页2026北京通州初三（上）期末数学2026年1月考生须知1．本试卷共8页，共三道大题，28个小题，满分为100分，考试时间为120分钟．2．请在试卷和答题卡上准确填写学校名称、班级、姓名．3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．5．考试结束后，请将答题卡交回．一、选择题（本题共8个小题，每小题2分，共16分）每题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1.已知⊙O的半径为，点P到圆心O的距离为，则点P（）A.在圆内 B.在圆上 C.在圆外 D.在圆O上或圆O外2.如图，是上的四点，若，则的度数为（）．A. B. C. D.3.如图，在中，，若，，则的值为（）A. B. C. D.4.如图，是河堤横断面的迎水坡，堤高，坡比是，则坡面的长度为（）A. B. C. D.5.在中，都是锐角，且，则的形状是（）A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰直角三角形6.已知反比例函数，下列判断正确的是（）A.函数图象分布在第二、四象限 B.图象经过点C.若，则 D.在各自象限内，y的值随x的增大而减小7.如图，点是圆形舞台上的一点，舞台的圆心为，在点安装的一台某种型号的灯光装置，其照亮的区域如图中阴影所示，该装置可以绕着点转动，转动过程中，边界的两条光线分别与圆交于，两点，并且夹角保持不变，该装置转动的过程中，以下结论正确的是（）A.点到弦所在直线的距离存在最大值 B.弦的大小改变C.弦与的长度之和不变 D.图中阴影部分的面积不变8.如图，在“探索二次函数（）的系数a，b，c对函数图象的影响”活动中，老师给出了坐标系中的四个点：，，，．同学们分别画出了经过这四个点中的三个点的若干个二次函数图象，当取得最大值时，图象经过这四个点中的（）A. B. C. D.二、填空题（本题共8个小题，每小题2分，共16分）9.抛物线的顶点坐标是_______．10.如图是一架人字梯及其侧面示意图，已知，，，，则的长为_____．11.如图，E是□ABCD的边BA延长线上的一点，CE交AD于点F，图中______对相似三角形．12.如图，已知点P为反比例函数的图象上的一点，过点P作横轴的垂线，垂足为M，则的面积为_______．13.中国高铁的飞速发展，已成为中国现代化建设的重要标志．如图是高铁线路在转向处所设计的圆曲线（即圆弧），高铁列车在转弯时的曲线起点为，曲线终点为，过点，的两条切线相交于点，列车在从到行驶的过程中转角为．若圆曲线的半径，则这段圆曲线的长为________．14.如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则关于x的方程的解为_______．15.四边形具有不稳定性，如图，将面积为5的矩形“推”成面积为4的平行四边形，则的值为__________．

16.如图，以为圆心，半径为6的圆与x轴交于A，B两点，与y轴正半轴交于点C，点M为上一动点，连接，过点C作垂直直线于点H，连接，则弦的长度为______，点M在运动过程中，线段的长度的最大值为______．三、解答题（本题共68分，第17题4分；第18－21题每题5分；第22－26题每题6分；第27、28题每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17.计算：．18.如图，在中，，，．（1）求的长；（2）求的值．19.下面是小立设计的“过圆上一点作这个圆的切线”的尺规作图过程．已知：及圆上一点．求作：直线，使得为的切线，为切点．作法：如图，①连接并延长到点；②分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点（点在直线上方）；③以点为圆心，长为半径作；④连接并延长，交于点，作直线．直线就是所求作的直线．根据小立设计的尺规作图过程，完成下面的证明．（说明：括号里填推理的依据）证明：连接．∵①∴点在上，∴是的直径．∴②．（③）∴④．∵是的半径，∴是的切线．（⑤）20.如图，中，，点D在上，．若，，求的长．21.在平面直角坐标系中，函数的图象经过点．（1）求该函数的表达式；（2）当时，对于x的每一个值，函数的值都小于的值，直接写出m的取值范围．22.下表是二次函数图象上部分点的自变量x和函数值y．x…012345…y…8300m8…（1）观察表格，______________；（2）求此二次函数的表达式，并画出该函数的图象；（3）该二次函数的图象与直线有两个交点A，B，若，直接写出n的取值范围．23.港珠澳大桥是连接香港、珠海、澳门的跨海桥隧工程，全长55千米，2018年通车，以“三地三检”模式助力粤港澳大湾区互联互通，创下多项世界之最．港珠澳大桥主桥为三座大跨度钢结构斜拉桥，其中九洲航道桥主塔造型取自“风帆”，寓意“扬帆起航”，某校九年级学生为了测量该主塔的高度，站在B处看塔顶A，仰角为60°，在距B处160米的C处看塔顶A，仰角为30°，求该主塔的高度．24.如图，点F在平行四边形的对角线上，，连结，使得平分，（1）求证：四边形是菱形；（2）若，，求的长．25.如图，为的直径，点C在上，连接，过点O作于点D，过点C作的切线交的延长线于点E．（1）求证：；（2）连接，若，，求的长．26.平面直角坐标系中，已知抛物线与y轴的交点为P，过点P作直线l垂直于y轴．（1）求抛物线的顶点坐标（用含m的式子表示）；（2）若点都在抛物线上，则的大小关系为______（用“＜”连接）（3）将抛物线在y轴右侧的部分沿直线l翻折，其余部分保持不变，组成图形G．点为图形G上任意两点．①当时，画出图形G，并结合图形判断，当时，与的大小关系；②若对于，都有，直接写出m的取值范围．27.如图，中，于点D，点B关于直线的对称点为点P，连结，Q为线段上一点（不与点P重合），且满足．（1）用等式表示线段的数量关系，并证明；（2）连结，取的中点E，连接，判断与的位置关系，并证明．28.在平面直角坐标系中，对于线段，直线m和图形M给出如下定义：线段关于直线m的对称线段为（分别是P，Q的对应点）．若与均与图形M（包括内部和边界）有公共点，则称线段为图形M关于直线m的“像—关联线段”．（1）如图1，已知的半径是3，点A，B，C，D，E，F的横、纵坐标都是整数．在线段，，中，关于直线的“像—关联线段”的是______；（2）如图2，已知点，A，B，，若线段是关于直线的“像—关联线段”，求k的取值范围；（3）已知的半径为r，点，线段的长度为1．若对于任意过点的直线m，都存在线段为关于直线m的“像—关联线段”，直接写出r的取值范围．

参考答案一、选择题（本题共8个小题，每小题2分，共16分）每题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．题号12345678答案ABCCADAC二、填空题（本题共8个小题，每小题2分，共16分）9.【答案】(0，-2)【分析】抛物线的顶点坐标为：(0，k)，从而可得答案．【详解】解：抛物线的顶点坐标是(0，-2)，故答案为：(0，-2)．10.【答案】【分析】本题考查平行线分线段成比例，根据平行线分线段成比例定理得到，进而代值求解即可．【详解】解：∵，∴，∵，，，∴，解得，故答案为：．11.【答案】3【分析】由□ABCD可得，，再由平行线性质推导而证明△AFE∽△CFD∽△BCE，从而完成求解．【详解】∵□ABCD∴，∴，∵∴∵，∴△CFD∽△BCE∴△AFE∽△CFD∽△BCE故答案为：3．12.【答案】2【详解】根据反比例函数k的几何意义可得：S△OPM=k=213.【答案】##【分析】本题考查了切线的性质，求弧长，根据题意得出，将已知数据代入弧长公式，即可求解．【详解】解：∵过点，的两条切线相交于点，列车在从到行驶的过程中转角为．∴，∴，∴圆曲线的长为故答案为：．14.【答案】【分析】本题主要考查了通过函数图象的交点确定方程的解，解题的关键是掌握数形结合的数学思想．根据抛物线和直线交点坐标及解析式，得出方程的解即可．【详解】解：根据抛物线和直线的交点坐标及解析式得，方程的解为，故答案为：．15.【答案】【分析】本题考查解直角三角形，矩形，平行四边形，关键是由矩形、平行四边形的面积推出．由矩形、平行四边形的面积得到，即可求出的值，【详解】解：如图，作于，∵，，∴，∴，令，，∴，∴=，故答案为：16.【答案】①.②.##【分析】本题考查了圆的综合问题，涉及垂径定理，直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质等知识点，解题的关键是正确确定点的轨迹．连接，由题意得，，先由勾股定理求解，然后根据垂径定理得到，连接，取中点，连接，确定点在以为圆心，为半径的圆上运动，则，由等腰三角形的性质得到，则，再由，得到，故当点三点共线，且在延长线上时，取得最大值为．【详解】解：连接由题意得，，∴，∵，∴，∵，∴，∴，连接，取中点，连接，∵，∴，∴点在以为圆心，为半径的圆上运动，∴，∵，为中点，∴，∴，∵，∴，∴当点三点共线，且在延长线上时，取得最大值为故答案为：，．三、解答题（本题共68分，第17题4分；第18－21题每题5分；第22－26题每题6分；第27、28题每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17.【答案】【分析】本题考查特殊角的三角函数值的计算，解题的关键熟记特殊角的三角函数值．根据特殊角的三角函数值代入求值即可．【详解】解：．18.【答案】（1）（2）【分析】（1）根据余弦等于邻边除以斜边代入求出，再结合勾股定理即可得到答案；（2）根据正弦等于对边除以斜边代入求解解即可得到答案；【小问1详解】解：在中，，∴，∴【小问2详解】解：∵在中，，，，∴；19.【答案】；；直径所对的圆周角是直角；；经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线【分析】根据画法得，则点C在上，即是的直径即可得，即可得，根据是的半径即可得证．【详解】证明：如图，连接，∵，∴点C在上，∴是的直径．∴．（直径所对的圆周角是直角）∴．∵是的半径，∴是的切线．（经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线）．故答案为：；；直径所对的圆周角是直角；；经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．20.【答案】【分析】在中，由三角函数求得，再由勾股定理求得，最后在中由三角函数求得的长即可．【详解】解：∵在中，，，，，，，∴的长度为．21.【答案】（1）（2）【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合，求反比例函数解析式，正确求出对应的函数解析式是解题的关键．（1）利用待定系数法求解即可；（2）当时，正比例函数的图象经过第二、四象限和原点，此时必定不满足题意；当，可求出关于x的不等式的解集为，根据当时不等式要成立得到，据此求解即可．【小问1详解】解：∵函数的图象经过点，∴，∴，∴该函数的表达式为；【小问2详解】解：当时，正比例函数的图象经过第二、四象限和原点，而当时，反比例函数的图象在第一象限，故此时不能满足当时，对于x的每一个值，函数的值都小于的值，当，且时，则，∴，∴，∵当时，对于x的每一个值，函数的值都小于的值，∴，∴，∴；综上所述，．22.【答案】（1）3（2），图象见解析（3）【分析】（1）由表格可求出该抛物线的对称轴，从而即可求出m的值；（2）根据表格结合（1）可知其顶点坐标为，故可设该抛物线解析式为．再将，代入，即可求出a的值，即得出其解析式，最后描点画图即可；（3）根据该二次函数的图象与直线有两个交点A，B，结合图象可知．再根据抛物线的对称性可知点A和点B关于直线对称，即点A到直线的距离和点B到直线的距离相等．最后根据，得出点B到直线的距离，即时，满足，结合表格即可知．【小问1详解】由表格可知当时，；当时，，∴该抛物线的对称轴为直线．∴当时的函数值与时的函数值相等．∵当时，，∴当时，，即．故答案为：3；【小问2详解】由（1）知该抛物线的对称轴为直线，∴该抛物线的顶点坐标为，∴可设该抛物线解析式为．∵当时，，∴，解得：，∴该抛物线解析式为．该二次函数的图象如图，小问3详解】∵该二次函数的图象与直线有两个交点A，B，∴．由二次函数的对称性可知点A和点B关于直线对称，即点A到直线的距离和点B到直线的距离相等．∵，∴点B到直线的距离．∴当，即时，满足．∴．综上可知．23.【答案】米【分析】本题考查解直角三角形的应用，过点A作于点D，设米，在中，利用三角函数值得，进而得，在中，利用三角函数值得，进而求解即可．【详解】解：过点A作于点D，设米，由题意得，，，在中，，∴，∴，在中，，∴，∴，答：该主塔的高度为米．24.【答案】【小问1详解】证明：∵，∴四边形是平行四边形，，，∵平分，∴，∴，∴，∴四边形是菱形；【小问2详解】解：过点B作于点H，如图所示：由（1）得：四边形是菱形，，∵，，∴，，∵平行四边形，∴，∴，，在中，，∴．25.【答案】【小问1详解】证明：连接，如图：∵∴又为圆O的切线∴，∵，∴∴∴；【小问2详解】解：如图，∵是直径，∴，∵∴，∴，∵，过圆心，∴，∴．26.【答案】【小问1详解】解：∵，∴抛物线的顶点坐标为；【小问2详解】解：∵关于对称，开口向上，∴抛物线上的点离对称轴越远，y值越大，∵，，∴，故答案为：；【小问3详解】解：①当时，图形G如图所示：为图形G上任意两点．观察图形发现y随x的增大而减小，当时，；②若对于，都有，当时，,当，对于，都有，当时，对称轴，当时，对于，都有，由①知，当时，；∴对于，都有，m的取值范围是．27.【答案】（1）；见解析（2），见解析【分析】本题考查了轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质．解题的关键在于熟练掌握轴对称的性质，确定线段、角度之间的数量关系．（1）连接，过点A作，根据轴对称的性质得出，确定，根据等腰三角形的性质得出，再由全等三角形的判定和性质得出，即可确定结果；（2）作交于K，根据相似三角形的判定和性质得出，再由线段垂直平分线的判定和性质即可得出结果【小问1详解】证明：连接，过点A作，如图所示：∵点B关于直线的对称点为点P，∴，∵，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∴；【小问2详解】解：，证明如下：如图，作交于K，∴，∴E为的中点，∴，∴，∴，∴，∴，∵点B关于直线的对称点为点P，∴，∴，∴垂直平分，∴，∴．28.【答案】（1），（2）或（3）【分析】本题考查轴对称的性质，直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系；（1）根据“像—关联线段”的定义，线段本身和关于直线的对称线段都要与的圆周或圆的内部有公共点，据此通过画图判断即可；（2）分类讨论：①当直线平分时，线段关于直线的对称线段会刚好落在边上，求出；②当直线平分时，线段关于直线的对称线段会刚好落在边上，求出；所以当或时，线段是关于