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北京大学2026年研究生入学考试概率论与数理统计试题(含答案)一、填空题（每空4分，共32分）1.设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，则P【答案】【解析】P2.设,,…,独立同分布于UE【答案】θ【解析】的密度为(x)E从而E[]=θ，即3.设(Xf则X的边缘密度为―.【答案】/【解析】对y积分时，siny为奇函数，含sin(4.设X~N(0,1)，Y【答案】0【解析】E[X]=0=5.设,,…,独立同分布于NV【答案】【解析】令=(−XV6.设X~BiP【答案】(【解析】X+7.设,,…,P【答案】【解析】min服从Ex8.设X~E【答案】【解析】E二、计算题（共68分）9.（12分）设X,Y独立同分布于Exp(（1）求(U（2）证明U与V独立，并指出各自的分布.【答案与解析】（1）变换(xJ联合密度(（2）边缘密度(即U~(即V~U(0,1)10.（14分）设,,…,独立同分布于N(μ:（1）写出水平α的最优势检验（MP检验）的拒绝域；（2）求该检验的功效函数β(（3）若要求β()≥0.90且【答案与解析】（1）由奈曼–皮尔逊引理，似然比Λ拒绝域为Λ>k，等价于(其中为标准正态上α分位数.（2）功效β（3）令Φ(−代入数值即可得最小n.11.（14分）设,,f（1）求θ的矩估计与最大似然估计；（2）计算的渐近分布；（3）构造θ的一个渐近水平1−【答案与解析】（1）矩估计：E[似然函数L令(θ=（2）费雪信息量I故(（3）由Slutsky定理，±为渐近水平1−12.（14分）设线性模型Y其中X为n×p列满秩矩阵，β为p×（1）证明H为幂等对称矩阵，且ra（2）求残差向量e=（3）证明=为的无偏估计；（4）写出检验:=【答案与解析】（1）直接验证=H，=H；（2）e=（3）E[E（4）令C=T13.（14分）设,,…,独立同分布于NT（1）证明T~（2）利用t分布的对称性，证明E（3）计算E[【答案与解析】（1）经典结果：X¯与独立，~，故T（2）令W==其中Z~N(E相乘即得.（3）取k=E三、证明题（共50分）14.（16分）设,,…为独立同分布随机变量，E[]=→【证明】经典Lindeberg–Lévy中心极限定理：特征函数(即标准正态特征函数，依分布收敛得证.15.（16分）设,,…,独立同分布于U(0（1）证明为θ的充分统计量；（2）证明为θ的完全统计量；（3）求θ的UMVUE.【证明】（1）联合密度(由因子分解定理，为充分统计量.（2）对任意可测函数g，若E[g(g故完全.（3）E[16.（18分）设,,f（1）求θ的最大似然估计；（2）计算的密度，并证明其渐近分布不是正态；（3）证明为θ的强相

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