数列极限考试题及答案

数列极限考试题及答案

一、单项选择题（每题2分，共20分）1.数列$\{a_n\}$收敛是$\{a_n\}$有界的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.若$\lim\limits_{n\to\infty}a_n=A$，则$\lim\limits_{n\to\infty}|a_n|$的值为（）A.一定不存在B.等于$|A|$C.等于$A$D.可能存在也可能不存在3.设$a_n=\frac{2n+1}{n}$，则$\lim\limits_{n\to\infty}a_n$等于（）A.0B.1C.2D.34.若$\lim\limits_{n\to\infty}a_n=0$，$\lim\limits_{n\to\infty}b_n=\infty$，则$\lim\limits_{n\to\infty}a_nb_n$（）A.一定为0B.一定为$\infty$C.为常数但不一定为0D.可能为0，也可能为$\infty$，还可能为常数5.数列$a_n=(-1)^n$的极限是（）A.1B.-1C.0D.不存在6.已知$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{3^n}{3^{n+1}+(a+1)^n}=\frac{1}{3}$，则实数$a$的取值范围是（）A.$(-4,2)$B.$(-4,-2)$C.$(-2,4)$D.$(2,4)$7.若$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{a{n}^{2}+bn-1}{2{n}^{2}-n+2}=\frac{1}{2}$，则$a$，$b$的值为（）A.$a=1$，$b=-1$B.$a=1$，$b=0$C.$a=2$，$b=-1$D.$a=2$，$b=0$8.设数列$\{a_n\}$满足$a_{n+1}=1-\frac{1}{a_n}$，$a_1=2$，则$\lim\limits_{n\to\infty}a_n$的值是（）A.$\frac{1}{2}$B.1C.$\frac{3}{2}$D.29.已知数列$\{a_n\}$的通项公式为$a_n=\frac{n^2}{2^n}$，则$\lim\limits_{n\to\infty}a_n$为（）A.0B.1C.2D.不存在10.设$\lim\limits_{n\to\infty}a_n=A$，$\lim\limits_{n\to\infty}b_n=B$，且$A>B$，则一定存在正整数$N$，当$n>N$时，有（）A.$a_n>b_n$B.$a_n\geqb_n$C.$a_n<b_n$D.以上都不对二、多项选择题（每题2分，共20分）1.下列数列收敛的有（）A.$a_n=\frac{1}{n}$B.$a_n=(-1)^n\frac{1}{n}$C.$a_n=n^2$D.$a_n=\sinn$2.若$\lim\limits_{n\to\infty}a_n=A$，$\lim\limits_{n\to\infty}b_n=B$，则以下正确的有（）A.$\lim\limits_{n\to\infty}(a_n+b_n)=A+B$B.$\lim\limits_{n\to\infty}(a_n-b_n)=A-B$C.$\lim\limits_{n\to\infty}(a_n\cdotb_n)=A\cdotB$D.$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=\frac{A}{B}(B\neq0)$3.设$\{a_n\}$是有界数列，$\{b_n\}$是无穷小量，则（）A.$\{a_n+b_n\}$是有界数列B.$\{a_n-b_n\}$是有界数列C.$\{a_n\cdotb_n\}$是无穷小量D.当$a_n\neq0$时，$\{\frac{b_n}{a_n}\}$是无穷小量4.下列极限存在的有（）A.$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{3n^2+1}{2n^2-1}$B.$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n^3}{n^2+1}$C.$\lim\limits_{n\to\infty}(\frac{2}{3})^n$D.$\lim\limits_{n\to\infty}\sinn$5.对于数列极限$\lim\limits_{n\to\infty}a_n=A$，以下说法正确的有（）A.对于任意给定的正数$\varepsilon$，存在正整数$N$，当$n>N$时，$|a_n-A|<\varepsilon$B.数列$\{a_n\}$的极限是唯一的C.若$\lim\limits_{n\to\infty}a_n=A$，则$\lim\limits_{n\to\infty}|a_n-A|=0$D.改变数列$\{a_n\}$的有限项，不影响其极限值6.已知$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{a_n+3}{2a_n-1}=\frac{4}{7}$，则下列可能是$\lim\limits_{n\to\infty}a_n$的值有（）A.5B.6C.7D.87.设数列$\{a_n\}$满足$a_n=\frac{n+k}{n+1}$，若$\lim\limits_{n\to\infty}a_n=1$，则$k$的值可能为（）A.1B.2C.-1D.-28.下列关于数列极限的性质中，正确的有（）A.若$\lim\limits_{n\to\infty}a_n=A$，则$\lim\limits_{n\to\infty}|a_n|=|A|$B.若$\lim\limits_{n\to\infty}|a_n|=0$，则$\lim\limits_{n\to\infty}a_n=0$C.若$\lim\limits_{n\to\infty}a_n=A$，且$A>0$，则存在正整数$N$，当$n>N$时，$a_n>0$D.若$\lim\limits_{n\to\infty}a_n=A$，$\lim\limits_{n\to\infty}b_n=B$，且$a_n\leqb_n$，则$A\leqB$9.已知数列$\{a_n\}$，$\{b_n\}$，若$\lim\limits_{n\to\infty}a_n=0$，则（）A.当$\{b_n\}$有界时，$\lim\limits_{n\to\infty}a_nb_n=0$B.当$\lim\limits_{n\to\infty}b_n=0$时，$\lim\limits_{n\to\infty}a_nb_n=0$C.当$\lim\limits_{n\to\infty}b_n=\infty$时，$\lim\limits_{n\to\infty}a_nb_n$可能为0D.当$\lim\limits_{n\to\infty}b_n$为非零常数时，$\lim\limits_{n\to\infty}a_nb_n=0$10.若$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{a\cdot3^n+b\cdot2^n}{3^n-2^n}=2$，则$a$，$b$的值可能为（）A.$a=2$，$b=0$B.$a=2$，$b=1$C.$a=2$，$b=-1$D.$a=1$，$b=2$三、判断题（每题2分，共20分）1.有界数列一定收敛。（）2.若$\lim\limits_{n\to\infty}a_n=A$，$\lim\limits_{n\to\infty}b_n=B$，且$A>B$，则一定存在正整数$N$，当$n>N$时，$a_n>b_n$。（）3.若数列$\{a_n\}$收敛，则$\lim\limits_{n\to\infty}a_n$唯一。（）4.若$\lim\limits_{n\to\infty}a_n=0$，则$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{a_n}=\infty$。（）5.若$\lim\limits_{n\to\infty}|a_n|=0$，则$\lim\limits_{n\to\infty}a_n=0$。（）6.改变数列的有限项，不影响其收敛性及极限值。（）7.若$\lim\limits_{n\to\infty}a_n=\infty$，$\lim\limits_{n\to\infty}b_n=\infty$，则$\lim\limits_{n\to\infty}(a_n-b_n)=0$。（）8.若数列$\{a_n\}$的奇数项和偶数项都收敛于同一值$A$，则$\lim\limits_{n\to\infty}a_n=A$。（）9.无穷小量的倒数是无穷大量。（）10.若$\lim\limits_{n\to\infty}a_n=A$，则$\lim\limits_{n\to\infty}(a_{n+1}-a_n)=0$。（）四、简答题（每题5分，共20分）1.简述数列收敛与数列有界的关系。2.求$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{5n^2-3n+1}{2n^2+n-2}$的值，并说明求解依据。3.什么是数列的极限？请用$\varepsilon-N$语言描述。4.若$\lim\limits_{n\to\infty}a_n=A$，$\lim\limits_{n\to\infty}b_n=B$，说明$\lim\limits_{n\to\infty}(a_n+b_n)=A+B$的证明思路。五、讨论题（每题5分，共20分）1.讨论数列$\{a_n\}$，$a_n=(-1)^n\frac{n}{n+1}$的收敛性。2.设$\lim\limits_{n\to\infty}a_n=A$，$\lim\limits_{n\to\infty}b_n$不存在，讨论$\lim\limits_{n\to\infty}(a_n+b_n)$的情况。3.已知$\lim\limits_{n\to\infty}a_n=0$，讨论$\lim\limits_{n\to\infty}a_nb_n$的取值情况，其中$\{b_n\}$为任意数列。4.讨论当$|q|<1$和$|q|\geq1$时，等比数列$\{a_n\}$，$a_n=a_1q^{n-1}$的极限情况。答案一、单项选择题1.A2.B3.C4.D5.D6.A7.B8.B9.A10.A二、多项选择题1.AB2.ABCD3.ABCD4.AC5.ABCD6.C7.AB8.ABCD9.ABD10.AC三、判断题1.×2.√3.√4.×5.√6.√7.×8.√9.×10.√四、简答题1.数列收敛则一定有界，但有界数列不一定收敛。例如数列$\{(-1)^n\}$有界但不收敛。2.分子分母同时除以$n^2$，可得$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{5n^2-3n+1}{2n^2+n-2}=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{5-\frac{3}{n}+\frac{1}{n^2}}{2+\frac{1}{n}-\frac{2}{n^2}}=\frac{5}{2}$，依据是有理函数极限求法，当$n\to\infty$时，$\frac{1}{n}$，$\frac{1}{n^2}$极限为0。3.设$\{a_n\}$为数列，$A$为定数。若对任给的正数$\varepsilon$，总存在正整数$N$，使得当$n>N$时有$|a_n-A|<\varepsilon$，则称数列$\{a_n\}$收敛于$A$，定数$A$称为数列$\{a_n\}$的极限。4.要证$\lim\limits_{n\to\infty}(a_n+b_n)=A+B$，即证对任意$\varepsilon>0$，存在$N$，当$n>N$时，$|(a_n+b_n)-(A+B)|<\varepsilon$。由$\lim\limits_{n\to\infty}a_n=A$，$\lim\limits_{n\to\infty}b_n=B$可分别找到$N_1$，$N_2$使$|a_n-A|<\frac{\varepsilon}{2}$，$|b_n-B|<\frac{\varepsilon}{2}$，取$N=\max\{N_1,N_2\}$进行证明。五、讨论题1.当$n$为偶数时，$\lim\limits_{n\to\infty}(-1)^n\frac{n}{n+1}=1$；当$n$为奇数时，$\lim\limits_{n\to\infty}(-1)^n\frac{n}{n+1}=-1$，左右极限不相等，所以数列$\{a_n\}