统计学试题和答案

统计学试题和答案1.单选题（每题4分，共40分）1.1某市交通部门连续30天记录早高峰时段某路口的车流量（单位：辆/分钟），数据经箱线图检验后发现上须外仅出现一个点。下列说法正确的是A.该点一定是异常值，必须删除B.该点可能是极端值，但删除需结合业务背景C.箱线图的异常值判定标准对样本量不敏感D.若改用99%的Z分数阈值，则该点一定被保留答案：B解析：箱线图默认用1.5×IQR规则标记“潜在异常值”，但“异常”仅相对于样本分布形态而言，未必代表数据错误；是否剔除需结合产生机制。Z分数阈值随置信水平变化，99%对应约±2.58，未必保留该点，故D错。1.2设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，若E(X²)=6，则λ=A.1B.2C.3D.4答案：B解析：泊松分布E(X)=λ，Var(X)=λ，故E(X²)=Var(X)+[E(X)]²=λ+λ²=6，解得λ=2。1.3对同一总体进行两次独立抽样，样本容量分别为n₁=100，n₂=400，样本均值分别为x̄₁=50，x̄₂=52。若总体方差已知为σ²=100，则合并两样本后，x̄的抽样分布标准误为A.0.5B.0.4C.0.447D.0.316答案：C解析：合并均值x̄=(n₁x̄₁+n₂x̄₂)/(n₁+n₂)=51.6，但其标准误只与总样本量有关，σ/√(n₁+n₂)=10/√500≈0.447。1.4在线性回归y=β₀+β₁x+ε中，若解释变量x的样本方差增大，其他条件不变，则β₁的OLS估计量的方差将A.增大B.减小C.不变D.先增后减答案：B解析：Var(β̂₁)=σ²/Σ(xi−x̄)²，分母随x方差增大而增大，故方差减小。1.5某假设检验的p值为0.03，若显著性水平α=0.05，则下列说法正确的是A.原假设错误的概率为3%B.拒绝原假设后犯第一类错误的概率为3%C.若重复实验100次，大约3次会得到|t|≥观测值D.检验功效等于97%答案：C解析：p值指“在原假设成立时，得到当前或更极端结果”的概率频率解释，C正确。A、B把p值当成“假设为真的概率”或“错误概率”，属常见误解。功效与备择分布有关，无法由p值直接推出。1.6对一组右偏数据取自然对数后，新数据的偏度A.一定为负B.一定为正C.更接近0D.不变答案：C解析：对数变换可压缩右尾，降低偏度，但未必改变方向，故“更接近0”最严谨。1.7在单因素方差分析中，若组间均方MSB=120，组内均方MSE=30，则F统计量的值为A.3B.4C.5D.6答案：B解析：F=MSB/MSE=120/30=4。1.8设X~N(0,1)，Y~N(0,4)且独立，令Z=X/Y，则Z的分布为A.标准正态B.柯西C.t(1)D.F(1,1)答案：B解析：柯西分布定义为两个独立正态变量之比，其中分母均值为0，故Z~Cauchy(0,1)。1.9对某二项分布B(n,p)进行极大似然估计，若观测到k次成功，则p的MLE为A.k/nB.(k+1)/(n+1)C.(k+1)/(n+2)D.(k+2)/(n+4)答案：A解析：似然函数L(p)=C(n,k)p^k(1−p)^(n−k)，对数求导得p̂=k/n。1.10若事件A、B满足P(A∪B)=0.7，P(A)=0.4，P(B)=0.5，则P(A∩B)=A.0.1B.0.2C.0.3D.0.4答案：B解析：由加法公式P(A∩B)=P(A)+P(B)−P(A∪B)=0.4+0.5−0.7=0.2。2.多选题（每题5分，共30分，每题至少有两个正确答案，多选少选均不得分）2.1下列关于中心极限定理（CLT）的描述正确的有A.样本量足够大时，样本均值的分布趋近正态B.总体必须为正态分布CLT才成立C.若总体高度偏斜，所需样本量更大D.样本量固定时，增大总体方差会减缓收敛速度E.CLT可推广到样本方差的分布答案：A、C、D解析：B错，CLT核心在于“总体不必正态”；E错，CLT针对样本均值，样本方差收敛到卡方分布需另依Delta方法或Slutsky定理。2.2在多元线性回归中，若出现多重共线性，可能导致A.OLS估计量不再无偏B.个别系数显著性下降C.系数符号与理论相反D.模型R²大幅降低E.方差膨胀因子VIF增大答案：B、C、E解析：多重共线性不破坏无偏性，A错；R²可能仍高，D错；VIF增大、标准误膨胀导致t值下降，符号可能反转。2.3关于Bootstrap置信区间，下列说法正确的有A.无需对总体分布作假设B.基本思想是“用样本分布模拟抽样分布”C.百分位法区间总是对称D.样本量很小时，覆盖率可能低于名义水平E.平滑Bootstrap可改善离散数据下的表现答案：A、B、D、E解析：C错，百分位法区间形状完全由重抽样经验分布决定，可不对称。2.4以下哪些图适合展示两个数值型变量的相关性A.散点图B.Q-Q图C.热力图D.平行坐标图E.气泡图答案：A、C、E解析：Q-Q图用于分布比较；平行坐标图适合高维，非专用于两变量相关性。2.5贝叶斯推断中，若先验分布为共轭先验，则A.后验分布与先验属于同一族B.计算后验期望更简单C.必须采用无信息先验D.随着样本量增加，先验影响减弱E.后验分布的方差一定小于先验方差答案：A、B、D解析：C错，共轭先验可信息丰富；E错，若数据极离散，后验方差可能暂时更大。2.6下列属于非参数检验的方法有A.Wilcoxon符号秩检验B.Kruskal-Wallis检验C.Mann-WhitneyU检验D.符号检验E.卡方拟合优度检验答案：A、B、C、D解析：卡方检验虽无严格分布假设，但针对列联表或分类数据，通常归为“分布自由”而非“非参数秩检验”。3.填空题（每空3分，共30分）3.1设X~N(μ,9)，抽取n=25的样本，得x̄=12，则μ的95%双侧置信区间为（11.824，____）。答案：12.176解析：σ=3，标准误=3/5=0.6，z₀.₀₂₅=1.96，区间=12±1.96×0.6。3.2若随机变量X的矩母函数为M_X(t)=exp(2t+3t²)，则E(X)=____，Var(X)=____。答案：2；6解析：MGF形式对应N(2,6)，因MGF正态为exp(μt+σ²t²/2)，对比得σ²=6。3.3在线性回归中，若决定系数R²=0.81，则解释变量与响应变量的样本相关系数r=____。答案：0.9或−0.9解析：简单线性回归R²=r²，r符号与回归系数一致。3.4对某时间序列拟合ARIMA(1,1,1)模型，若经差分后序列的自相关图在滞后1阶后截尾，则模型中的MA部分阶数q=____。答案：1解析：ACF滞后1截尾提示MA(1)。3.5若X₁,…,X_n独立同分布于Exp(λ)，则λ的矩估计量为____。答案：1/x̄解析：E(X)=1/λ，令样本均值等于期望得λ̃=1/x̄。3.6设X~Bin(10,0.2)，则P(X≥2)=____（保留三位小数）。答案：0.624解析：1−P(X=0)−P(X=1)=1−0.8¹⁰−10×0.2×0.8⁹≈0.624。3.7在假设检验中，若检验统计量t=2.5，自由度df=20，双侧p值约为____（t分布表查得P(|T|≥2.5)=0.021）。答案：0.021解析：直接查表。3.8对某总体进行分层抽样，总样本量n=100，两层权重分别为W₁=0.4，W₂=0.6，若两层样本量按内曼分配，且层标准差S₁=5，S₂=10，则n₁=____。答案：25解析：n₁=n×(W₁S₁)/(W₁S₁+W₂S₂)=100×2/(2+6)=25。3.9若X~Geo(p)，则P(X>k)=____。答案：(1−p)^k解析：几何分布无记忆性，尾部概率直接为(1−p)^k。3.10给定5个数据点：3,5,7,9,11，其样本中位数为____，四分位距IQR=____。答案：7；4解析：排序后中位数即第3点；Q₁=4，Q₃=8，IQR=8−4=4。4.计算与证明题（共100分）4.1（15分）设X₁,…,X_n独立同分布于U(0,θ)，θ>0未知。(1)求θ的矩估计量θ̃_M；(2)求θ的极大似然估计量θ̂_ML；(3)比较两者的均方误差MSE（提示：先求E(θ̂_ML)与Var(θ̂_ML)）。答案与解析：(1)E(X)=θ/2，令x̄=θ/2，得θ̃_M=2x̄。(2)似然函数L(θ)=θ^(−n)I_{x_(n)≤θ}，其中x_(n)=max{X_i}，显然L在θ=x_(n)处取最大，故θ̂_ML=x_(n)。(3)先求θ̂_ML分布：P(x_(n)≤t)=(t/θ)^n，0<t<θ，密度f(t)=nt^(n−1)/θ^n。于是E(x_(n))=∫₀^θt·nt^(n−1)/θ^ndt=nθ/(n+1)，E(x_(n)²)=∫₀^θt²·nt^(n−1)/θ^ndt=nθ²/(n+2)，Var(x_(n))=nθ²/(n+2)−[nθ/(n+1)]²=nθ²/[(n+2)(n+1)²]。MSE(θ̂_ML)=Var+(Bias)²=nθ²/[(n+2)(n+1)²]+[θ−nθ/(n+1)]²=2θ²/[(n+1)(n+2)]。对矩估计：E(θ̃_M)=2E(x̄)=θ，无偏；Var(θ̃_M)=4Var(x̄)=4θ²/(12n)=θ²/(3n)。故MSE(θ̃_M)=θ²/(3n)。比较：当n≥2时，2/[(n+1)(n+2)]<1/(3n)恒成立，因此θ̂_ML的MSE更小，效率更高。4.2（15分）某电商平台想评估新版页面（B）是否提升转化率。随机抽取1000名用户，其中600名进入A组（旧版），400名进入B组（新版）。结果A组成交90单，B组成交84单。(1)建立假设检验，判断B是否显著优于A（α=0.05）；(2)计算检验p值，并给出业务建议；(3)若希望检出比例提升2个百分点的功效达到80%，试估算所需样本量（两组等量分配）。答案与解析：(1)设p_A、p_B为两组真实转化率，H₀:p_B≤p_A，H₁:p_B>p_A（单侧）。样本转化率p̂_A=90/600=0.15，p̂_B=84/400=0.21。合并比例p̂=(90+84)/1000=0.174。Z=(p̂_B−p̂_A)/√[p̂(1−p̂)(1/n_A+1/n_B)]=(0.06)/√[0.174×0.826×(1/600+1/400)]≈0.06/0.024≈2.50。临界值z₀.₀₅=1.645，2.50>1.645，拒绝H₀，认为B显著优于A。(2)p值=P(Z≥2.50)=0.0062，远小于0.05，证据强。业务建议：新版页面显著提升转化，可推广全量，但需持续监控长期效应及用户体验副作用。(3)功效计算：设p_A=0.15，p_B=0.17，Δ=0.02，α=0.05（单侧），功效=0.8。用Lehr公式近似：n=[z_{1−α}√(2p̄(1−p̄))+z_{1−β}√(p_A(1−p_A)+p_B(1−p_B))]²/Δ²，其中p̄=(0.15+0.17)/2=0.16，z₀.₉₅=1.645，z₀.₈=0.84，n≈[1.645√(2×0.16×0.84)+0.84√(0.15×0.85+0.17×0.83)]²/0.0004≈(1.645×0.519+0.84×0.522)²/0.0004≈(1.62)²/0.0004≈6560每组，总13120。结论：若要检测2%小幅提升，需约1.3万样本，远高于当前1000，说明小改进需大流量。4.3（20分）某工厂生产钢丝，其抗拉强度X~N(μ,σ²)。现抽取n=25的样本，得x̄=260MPa，s=10MPa。(1)求μ的95%单侧置信下限；(2)检验σ是否显著小于12MPa（α=0.05）；(3)若实际σ=8MPa，求(2)中检验的功效；(4)画出σ的似然函数曲线（示意），并标出MLE。答案与解析：(1)用t分布：μ_L=x̄−t₀.₀₅,₂₄·s/√n=260−1.711×10/5=260−3.422=256.578MPa。(2)H₀:σ≥12，H₁:σ<12，检验统计量χ²=(n−1)s²/σ₀²=24×100/144=16.67，临界值χ²₀.₉₅,₂₄=13.848，16.67>13.848，不拒绝H₀，无充分证据表明σ<12。(3)功效=P(χ²<13.848|σ=8)，非中心参数无，直接计算：新统计量分布为(24×64)/144=10.67，功效=P(χ²<13.848|df=24,scale=64/144)=F_χ²(13.848;24)=约0.30（查表或软件），即功效仅30%，检验灵敏度低。(4)似然L(σ)∝σ^(−n)exp(−(n−1)s²/(2σ²))，在σ²=s²=100处取最大，MLE=10MPa。曲线在σ=10处峰最高，两侧快速下降，图略。4.4（20分）考虑随机向量X=(X₁,X₂)ᵀ服从二维正态，均值μ=(0,0)ᵀ，协方差Σ=[[1,ρ],[ρ,1]]，|ρ|<1。(1)求条件分布X₂|X₁=x₁；(2)证明偏相关ρ_{12·3}在二维情况下等于ρ；(3)设ρ=0.8，生成1000组样本，写出估计ρ的两种方法及R代码片段；(4)若实际观测到样本相关系数r=0.75，求Fisherz变换后的95%置信区间。答案与解析：(1)多元正态条件分布公式：X₂|X₁=x₁~N(μ₂+Σ₂₁Σ₁₁^(−1)(x₁−μ₁),Σ₂₂−Σ₂₁Σ₁₁^(−1)Σ₁₂)，代入得X₂|X₁=x₁~N(ρx₁,1−ρ²)。(2)二维情况下无第三个变量，偏相关即简单相关，故ρ_{12·3}=ρ。(3)方法一：直接样本相关系数cor(x1,x2)；方法二：基于MLE解方程r=ρ（数值优化）。R代码：```rlibrary(MASS)rho<0.8;Sigma<matrix(c(1,rho,rho,1),2,2)dat<mvrnorm(1000,c(0,0),Sigma)cor(dat)[1,2]#方法1方法2：MLE等价于样本cor，故数值相同```(4)z=0.5·ln((1+r)/(1−r))≈0.973，标准误=1/√(n−3)=1/√997≈0.0317，95%区间：z±1.96×0.0317→(0.911,1.035)，反变换：r=(e^(2z)−1)/(e^(2z)+1)，得(0.723,0.776)。4.5（15分）某城市出租车公司想预测日均订单量Y（千单），收集连续30天的数据，建立线性模型：Y=β₀+β₁X₁+β₂X₂+ε，其中X₁为平均气温(°C)，X₂为节假日dummy（1=节假日）。输出如下表：|系数|估计|标准误|t值|Pr(>|t|)||----|----|----|----|----||β₀|10.2|1.1|9.27|<0.001||β₁|0.40|0.08|5.00|<0.001||β₂|3.5|0.9|3.89|<0.001|残差标准误=2.1，R²=0.72，F检验p<0.001。(1)写出回归方程，并解释系数含义；(2)预测气温30°C且为节假日时的订单量及95%置信区间；(3)检验β₁是否显著大于0.25（α=0.05，单侧）；(4)若发现残差呈现“周末效应”波动，提出改进模型方案。答案与解析：(1)Ŷ=10.2+0.40X₁+3.5X₂。β₁：气温每升高1°C，订单量平均增加0.4千单；β₂：节假日比工作日多3.5千单。(2)点预测=10.2+0.4×30+3.5=25.7千单。标准误：se_pred=√[σ̂²·(1+n^(−1)+(x−x̄)ᵀ(XᵀX)^(−1)(x−x̄))]，假设x̄₁≈20，Var(β₁)≈0.08²，Cov忽略，近似se_pred≈2.1×√(1+1/30+(30−20)²·0.08²/0.4²)≈2.1×1.12≈2.35，95%区间：25.7±1.96×2.35→(21.1,30.3)千单。(3)t=(0.