《函数的最大（小）值与导数、生活中的优化问题举例》强化训练

1/6《函数的最大(小)值与导数、生活中的优化问题举例》强化训练[A.基础达标]1．已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－eq\f(1,3)x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为()A．13万件 B．11万件C．9万件 D．7万件2．函数f(x)＝ex－x在区间[－1，1]上的最大值是()A．1＋eq\f(1,e) B．1C．e＋1 D．e－13．若函数f(x)＝－x3＋3x2＋9x＋a在区间[－2，－1]上的最大值为2，则它在该区间上的最小值为()A．－5 B．7C．10 D．－194．函数y＝eq\f(4x,x2＋1)在定义域内()A．有最大值2，无最小值B．无最大值，有最小值－2C．有最大值2，最小值－2D．无最值5．设直线x＝t与函数f(x)＝x2，g(x)＝lnx的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为()A．1 B.eq\f(1,2)C.eq\f(\r(5),2) D.eq\f(\r(2),2)6．函数y＝x＋2cosx在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上的最大值是________．7．若函数f(x)＝x3－3x－a在区间[0，3]上的最大值、最小值分别为m，n，则m－n＝________．8．要做一个底面为长方形的带盖的箱子，其体积为72dm3，其底面两邻边长度之比为1∶2，则长为________，宽为________，高为________时，可使表面积最小．9．已知a为实数，且函数f(x)＝(x2－4)(x－a)．(1)求导函数f′(x)；(2)若f′(－1)＝0，求函数f(x)在[－2，2]上的最大值、最小值．10．设函数f(x)＝x3－eq\f(9,2)x2＋6x－a.(1)对于任意实数x，f′(x)≥m恒成立，求m的最大值；(2)若方程f(x)＝0有且仅有一个实根，求a的取值范围．[B.能力提升]1．已知a≤eq\f(1－x,x)＋lnx对任意x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))恒成立，则a的最大值为()A．0 B．1C．2 D．32．内接于半径为R的球且体积最大的圆锥的高为()A．R B．2RC.eq\f(4,3)R D.eq\f(3,4)R3．已知函数f(x)的定义域为[－1，5]，部分对应值如下表：x－10245y12021f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示．(1)f(x)的极小值为________；(2)若函数y＝f(x)－a有4个零点，则实数a的取值范围为________．4．已知函数f(x)＝ex－2x＋a有零点，则a的取值范围是________．5．某种产品的成本为6元，每件售价为x元(x>6)，年销售量为u万件，且u＝－keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(21,4)))eq\s\up12(2)＋eq\f(585,8)，k为常数．已知售价为10元时，年销售量为28万件．(1)求年销售利润y(单位：万元)关于x的函数关系式；(2)售价为多少时，年利润最大？求出最大年利润．6．已知函数f(x)＝x－1－lnx.(1)求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；(2)求函数f(x)的极值；(3)对∀x∈(0，＋∞)，f(x)≥bx－2恒成立，求实数b的取值范围．参考答案[A.基础达标]1.解析：选C.∵y＝－eq\f(1,3)x3＋81x－234，∴y′＝－x2＋81(x>0)．令y′＝0得x＝9，令y′<0得x>9，令y′>0得0<x<9，∴函数在(0，9)上单调递增，在(9，＋∞)上单调递减，∴当x＝9时，函数取得最大值．故选C.2.解析：选D.f′(x)＝ex－1.令f′(x)＝0，得x＝0.当x∈[－1，0]时，f′(x)≤0；当x∈[0，1]时，f′(x)≥0.∴f(x)在[－1，0]上递减，在[0，1]上递增．又∵f(－1)＝eq\f(1,e)＋1，f(1)＝e－1，∴f(－1)－f(1)＝2＋eq\f(1,e)－e<0，∴f(－1)<f(1)．∴f(x)max＝f(1)＝e－1.3.解析：选A.f′(x)＝－3x2＋6x＋9＝－3(x－3)(x＋1)．令f′(x)＝0，得x＝3或－1.∵x∈[－2，－1]时，f′(x)<0，∴f(x)在[－2，－1]上递减．∴f(－2)＝2，即a＋2＝2，a＝0，它的最小值为f(－1)＝－5.4.解析：选C.令y′＝eq\f(4（x2＋1）－4x·2x,（x2＋1）2)＝eq\f(－4x2＋4,（x2＋1）2)＝0，得x＝±1.x(－∞，－1)－1(－1，1)1(1，＋∞)y′－0＋0－y↘极小值↗极大值↘由上表可知x＝－1时，y取极小值也是最小值－2；x＝1时，y取极大值也是最大值2.5.解析：选D.由已知条件可得|MN|＝t2－lnt，设f(t)＝t2－lnt，(t>0)，则f′(t)＝2t－eq\f(1,t).令f′(t)＝0，可得t＝eq\f(\r(2),2).当0<t<eq\f(\r(2),2)时，f′(t)<0，当t>eq\f(\r(2),2)时，f′(t)>0，∴当t＝eq\f(\r(2),2)时，f(t)可取得最小值feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))，即得当|MN|达到最小时，t＝eq\f(\r(2),2).6.解析：y′＝1－2sinx＝0，x＝eq\f(π,6)，比较0，eq\f(π,6)，eq\f(π,2)处的函数值，得ymax＝eq\f(π,6)＋eq\r(3).答案：eq\f(π,6)＋eq\r(3)7.解析：∵f′(x)＝3x2－3，∴当x>1或x<－1时，f′(x)>0；当－1<x<1时，f′(x)<0.∴f(x)在[0，1]上单调递减，在[1，3]上单调递增．∴f(x)min＝f(1)＝1－3－a＝－2－a＝n.又∵f(0)＝－a，f(3)＝18－a，∴f(0)<f(3)．∴f(x)max＝f(3)＝18－a＝m，∴m－n＝18－a－(－2－a)＝20.答案：208.解析：设体积为V，底面相邻两边的长度分别为xdm，2xdm，高为ydm，则V＝2x2·y，∴y＝eq\f(72,2x2)＝eq\f(36,x2)，∴表面积S＝2(2x2＋xy＋2xy)＝4x2＋6xy＝4x2＋eq\f(216,x).∴S′＝8x－eq\f(216,x2)，令S′＝0，得x＝3.∴当长为6dm，宽为3dm，高为4dm时，表面积最小．答案：6dm3dm4dm9.解：(1)f′(x)＝(x2－4)′(x－a)＋(x2－4)(x－a)′＝2x(x－a)＋x2－4＝3x2－2ax－4.(2)由f′(－1)＝3＋2a－4＝0，得a＝eq\f(1,2)，代入f′(x)，得f′(x)＝3x2－x－4.令f′(x)＝0有x＝－1，eq\f(4,3).于是f(－2)＝0，f(－1)＝eq\f(9,2)，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)))＝－eq\f(50,27)，f(2)＝0.比较可知f(x)max＝eq\f(9,2)，f(x)min＝－eq\f(50,27).10.解：(1)f′(x)＝3x2－9x＋6＝3(x－1)(x－2)，由题意可知当x∈(－∞，＋∞)时，f′(x)≥m恒成立，即3x2－9x＋(6－m)≥0恒成立．所以Δ＝81－12(6－m)≤0，解得m≤－eq\f(3,4)，即m的最大值为－eq\f(3,4).(2)因为当x<1时，f′(x)>0；当1<x<2时，f′(x)<0；当x>2时，f′(x)>0，所以当x＝1时，f(x)取极大值f(1)＝eq\f(5,2)－a；当x＝2时，f(x)取极小值f(2)＝2－a.故当f(2)>0或f(1)<0时，f(x)＝0仅有一个实根．解得a<2或a>eq\f(5,2).[B.能力提升]1.解析：选A.设f(x)＝eq\f(1－x,x)＋lnx，则f′(x)＝eq\f(－x＋x－1,x2)＋eq\f(1,x)＝eq\f(x－1,x2).当x∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))时，f′(x)<0，故函数f(x)在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))上单调递减；当x∈(1，2]时，f′(x)>0，故函数f(x)在(1，2]上单调递增，∴f(x)min＝f(1)＝0，∴a≤0，即a的最大值为0.2.解析：选C.设圆锥高为h，底面半径为r，则R2＝(R－h)2＋r2，∴r2＝2Rh－h2.∴V＝eq\f(π,3)r2h＝eq\f(π,3)h(2Rh－h2)＝eq\f(2π,3)Rh2－eq\f(π,3)h3，V′＝eq\f(4π,3)Rh－πh2.令V′＝0得h＝eq\f(4R,3)或h＝0(舍去)．当0<h<eq\f(4R,3)时，V′>0；当eq\f(4R,3)<h<2R时，V′<0.因此当h＝eq\f(4,3)R时，圆锥体积最大．3.解析：(1)由y＝f′(x)的图象可知，x(－1，0)0(0，2)2(2，4)4(4，5)f′(x)＋0－0＋0－f(x)↗极大值↘极小值↗极大值↘∴f(2)为f(x)的极小值，f(2)＝0.(2)y＝f(x)的大致图象如图所示：若函数y＝f(x)－a有4个零点，则a的取值范围为1≤a<2.答案：(1)0(2)[1，2)4.解析：函数f(x)＝ex－2x＋a有零点，即方程ex－2x＋a＝0有实根，即函数g(x)＝2x－ex，y＝a有交点，而g′(x)＝2－ex，易知函数g(x)＝2x－ex在(－∞，ln2)上递增，在(ln2，＋∞)上递减，因而g(x)＝2x－ex的值域为(－∞，2ln2－2)，所以要使函数g(x)＝2x－ex，y＝a有交点，只需a≤2ln2－2即可．答案：(－∞，2ln2－2]5.解：(1)由题意，知当x＝10时，u＝28，∴28＝－keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(10－\f(21,4)))eq\s\up12(2)＋eq\f(585,8)，解得k＝2，∴年销售利润y＝(x－6)·u＝(x－6)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(21,4)))\s\up12(2)＋\f(585,8)))＝(x－6)(－2x2＋21x＋18)＝－2x3＋33x2－108x－108(x>6)．(2)由(1)知y＝－2x3＋33x2－108x－108，∴y′＝－6x2＋66x－108＝－6(x2－11x＋18)＝－6(x－2)(x－9)，当6<x<9时，y′>0，函数单调递增；当x>9时，y′<0，函数单调递减．∴当x＝9时，y取得极大值(也是最大值)，ymax＝135.即当售价为9元时，最大年利润为135万元6.解：(1)函数的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1－eq\f(1,x)，f′(2)＝eq\f(1,2)，f(2)＝1－ln2，∴曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y－(1－ln2)＝eq\f(1,2)(x－2)，即x－2y－2ln2＝0.(2)令f′(x)＝0，得x＝1，列表如下：x(0，1)1(1，＋∞)f′(x)－0＋f(x)↘0↗∴函数f(x)的极小值为0.(3)依题意，对