四川外国语大学附属某中学2024-2025学年高二年级上册期末适应性考试数学试卷(含答案)

四川外国语大学附属外国语学校2024-2025学年高二上学期期末适应

性考试数学试卷

学校：___________姓名：班级：___________考号：

一、选择题

1.已知空间向量。〃=（-2,1,2），若版_力与方垂直，则同等于（）

A.&B.蛀C.任D.叵

222

2.已知双曲线上__工=1的一个焦点坐标为（4,0），则加的值为（）

m-\9

A.24B.25C.7D.8

3.已知等比数列｛q｝满足出=-2,&=-6,则%的值为（）

B-2&C._2有D±2>/3

4.己知抛物线C:y2=8x的焦点为扛点M在C上若M到直线工=_3的距离为5,则

\MF\=（）

A.7B.6C.5D.4

5.己知直线/:3x+4y+2=0上有动点A,点8为圆/+（）-2）2=1上的动点，则|人却

的最小值为（）

A.lB.lC.-D.2

22

6.若椭圆E+y2=iQ〃>i）与双曲线£72=］（〃>（））有相同的焦点”，F2,P是两曲

mn

线的一个交点，则鸟的面积是（）

A.lB.2C.3D.4

7.已知正方体ABCD-aKGR的棱长为1，M为棱AR的中点，G为侧面CDRG的

中心，点P,。分别为直线A3，A8上的动点，且PG_LMQ,当|PQ|取得最小值

时，点Q到平面PA/G的距离为（）

A.&B芭C.lD芭

222

8.设数列｛〃”｝的前〃项和为S”，若可+4+i=〃+1,且存在正整数A,使得

=SA+1=90,则q的取值集合为（）

A.{-9,9}B.{-9.10}C.{-10,9}D.{-10,10）

二、多项选择题

9.对于直线/：（〃?一2）x+y-2m+1=0与圆+,，一6工一4），+4=0，下列说法正确

的是（）

A.直线/过定点（3,2）

B.直线/与圆C不可能相切

C.直线/被圆C截得的弦长的最小值为6

D.圆上一点到点60,—2）的最大距离为8

10.已知数列{4}的前〃项和S“=（〃+l）2,则（）

A.q=4

B.atl=2n+1

C.数列{（_1）"+4}的前2〃项和为（2〃+1尸

_111111

4%生生生田75

11.已知曲线E过原点，且除原点外的所有点均满足其到原点的距离的立方与该点的

横纵坐标之积的比值为定值〃4>0）,下列结论正确的是（）

A.曲线E关于y=x对称

B.若点（1/）在曲线七上，则其方程为（丁+力3=20盯

C.对于任意4,曲线E围成的图形的面积一定小于叁

8

D.存在力£（2,6）,使得曲线E上有5个整点（即横，纵坐标均为整数的点）

三、填空题

12.直线/1：赤+3），+1=0,/2：X+（。-2）），一1=0,当//〃2n寸，直线4与4之间的距离为

13.已知双曲线C：£_£=1（Q>0/>0）的右焦点为足在双曲线左支上取一点M，

若直线板与以双曲线实轴为直径的圆相切于N,若向量M/V=2N/，则双曲线。的

离心率为.

14.已知数列｛〃“｝是公差为2的等差数列，｛2｝是公比为3的等比数列，且

、5

q=4=3,设+即+2+%+3…+4%+"，则一^二--------.

n

四、解答题

15.已知数列｛q｝满足q=1,。“+]=3。6+4.

⑴求证：数列｛2+2｝是等比数列；

(2)设d=〃(4+2)求也｝的前〃项和小

16.设。为实数，圆M的方程为/+),2+21_6)，+4=0.

(1)若圆/十V=9和圆M的公共弦长为廊，求〃的值；

⑵若过点(4,-1)的圆N与圆M相切，切点为(1,2),求圆N的标准方程.

17.如图，在四棱锥片-AECO中，底面AECO是菱形，/DAE=60。，M是4E的中

点，且4MJ,平面AECZ>AD=ABi=2.

%

EC

⑴求证；平面

(2)求平面B、MD与平面与人。夹角的余弦值；

18.已知椭圆+的离心率为;，过椭圆。右焦点并垂直于x轴的

直线P/W交椭圆C于P，M(点尸位于x轴上方)两点，且△OQM(。为坐标原点)

的面积为3.

2

⑴求椭圆C的标准方程；

⑵若直线/交椭圆。于A,B(A,B异于点P)两点，且直线Q4与总的斜率之积为

一2,求点P到直线/距离的最大值.

4

19.设数列A：q,出，…，铀(NN2).如果对小于〃(2<〃KN)的每个正整数%都有

4<凡,则称〃是数歹ijA的一个"G时刻''.记"G(A)是数歹I」A的所有“G时刻”组成的集

参考答案

1.答案：c

解析：由于女Lb与〃垂直，

故(34—〃)力=3。6—片=0=>3(—2+〃+4)—(4+1+4)=0，解得〃=1,

故同二A/l2+12+22=A/6,

故选：C

2.答案：D

解析：由题意々2=〃?—1，护=9，a2+b~=m-14-9=42»m=8»

故选：D.

3.答案：C

解析：数列｛4｝为等比数列，设数列的公比为q,

因为%=-2,a6=-6,

5

所以qq=_2,a]q=-6>

所以q，=3,即q?=G，

故/=%q?=—2\/§•

故选；C.

4.答案：D

解析：因为抛物线C：V=8x的焦点尸(2,0)，准线方程为x=-2，

点M在C上，所以M到准线._2的距离为眼尸|，

又M到直线工=一3的距离为5,

所以|MF|+1=5,故|M尸|=4.

故选：D.

5.答案：B

解析：由犬+(,_2)2=1可知，该圆圆心为(0,2)，半径为厂=1，

则圆心到直线I的距离d=)8+21=2,

故圆心到直线上的点的长度最短为2,

则I|4网Inu.n=J-r=l.

故选：B.

6.答案：A

解析：由题意设两个圆锥曲线的焦距为2c，

椭圆的长轴长2而，双曲线的实轴长为26，

由它们Tfffl同的焦点，得到，〃-1=〃+1，即,=2.

不妨令P在双曲线的右支上，由双曲线的定义|P用-归图=26,①

由椭圆的定义俨用+|回|=2而，②

①?+②2得归周、归月广=2(/〃+〃)，

所以|P用川2入广=4(〃—)，

①2一②2得-4|可|.|”|=4〃-46，

所以|班卜归周=〃2_〃=2，

又忻马=2而二T，故内鸟「=4(〃L1)，

所以|「耳『+|尸闾2=|6国2,

则△耳尸尼的形状是直角三角形

即有△尸6丁的面积为3尸耳卜|尸国=，、2=1.

22

故选：A.

7.答案：A

解析：如图，建立空间直珀坐标系,

1

设P(x,O,O)，QayO)，所以尸C==

2

因为PG_L"Q,所以PGMQ=—/x+g)」；=O，即x—)，+l=0,

所以),=x+l，又QQ=(1—x,x+l,O)，

所以IPQ|=J(l—x)2+(l+x)2=j2f+2>y/2，

当且仅当X=O时取等号，此时y=l,

所以PG='O,g,g),MQ=(；,1,-1)，PM=(g,O/

设平面PMG的法向量为m=(4,"c),

m.PG=—b+—c=O

22

所以取而=(2,1,-1),

—.1

m•PM=—a+c=O

2

所以当|尸。|取得最小值时，点。到平面0MG的距离d1根01=3=逅・

11\m\瓜2

故选：A

8.答案：B

解析：因为at)+〃“+]=〃+1,

所以§2〃=(4+%)+(%+%)+…+(%-+%.)=2+4+6+…+2〃

〃(2+2〃)

==〃(1+〃)

不妨令S2”=90,可得〃2+〃_90=0，解得〃=9或〃=一10(舍去)，

所以几=90.

又因为&=5八］=90,所以4=18或17,

因为4+"向=〃+1，所以%+。”+2=〃+2，所以%-4,=1=>%=%+2-1・

当％=18时，由£8=59=90=>《9=5国—58=0，

所以q=%—1=牝-2==6/19—9=-9,

当左=17时，liSn=Sl8=90=>«l8=S18-S17=0,

又由《7+。18=18=>%7=18,

所以4=%-1=%-2=i=47-8=18-8=1().

所以外的取值集合为｛-9,10).

故选：B

9.答案：BD

解析：对于A：(机一2)x+y—2相+1=0可变形为(x-2)m-2x+y+l=0,

由卜一2二。,得卜=2,所以直线/过定点(2,3),故A不正确；

对于B：圆C：f+y2-6x-4y+4=0的标准方程为(x-3)2+(y-2)2=9，半径为3,由

(2_3>+(3-2)2=2<9,所以点(2,3)在圆。的内部，所以/与。相交，不会相切，故

B正确；

对于C：当/与点(2,3)和圆心(3,2)的连线垂直时，/被C截得的弦长最小.

此时圆心(3,2)到直线/的距离4.=J(2—3『+(3-2)2二夜,

所以弦长的弦长最小值为2而而=2疗，故C不正确；

对于D：圆上一点到点尸(0,-2)的最大距离为

CP+/=J(0—3y+(-2-2)2+3=8,故D正确.

10.答案：AC

解析：A选项，由已知6=S]=2?=4,不适合q=2〃+1,A正确，从而B错误;

4n=1

2时，a„=S—S।=(n+1)2—A?2=2z?+1>所以a=4'，

[2/7+1,A?>2

C选项，数列((-1)〃+4｝的前2〃项和为：

(-1+q)+(l+%)++(1+。2〃)

=(―1+1—1+1+—1+1)+(4+CI-)+…+Cl-,n)

2

=52H=(2M+1),C正确；

n注书111I111

D选项，---+----+----+…+-----=----+----+…+------

aa

axa2a2a3ayaAw\i4x55x723x25

故选：AC.

11.答案：ACD

解析：对于A,先求曲线方程，设曲线后上除原点外一点为（x,y）,

由己知=”2＞（）），即（Y+V）L万W.

肛

若点。,），）在曲线E上，则（y,x）也满足曲线方程（丁+//=无）”，

所以曲线E关于直线y=x对称，A正确；

对于B,将（1,1）代入曲线方程,+力3=石2y2,得（1+1）3=人即8=外,

故a=2五,此时方程为（丁+产了二趺?^，B错误；

2252222

对于C,G+y）=/lxv<2xf^i^Y,所以/2工2，

V7，（2J4

由jN+f二4）>0）可知,不，>0，故E的图象位于x2+y2«4i（xy〉0）内，

xy4

故s〈匹x41=Q，C正确；

248

对于D,由于/+）,2工9<9，所以xw[0,3）且），£[0,3）,或者x«—3,0]且

ye（-3,0]，由+y-=4（4〉0）可知，xy>0,

xy

故其图象在第一，三象限，由曲线E的对称性可知，要使曲线E上有5个整点，则曲

线石在第一象限内只能有两个整点，

当整点为（1,1）时，4=2近£（2,6），此时第一象限的整点只有（1,1）在曲线E上，其有

3个整点，不满足题意；

当整点为（1,2）时，几=竽£（2,6），此时第一象限的整点（2,1）也在曲线E上，且

（2,2）,（1/）均不在曲线E上，其有5个整点，满足题意，

当整点为（2,2）时，2=4ge（2,6），此时第一象限的整点只有（2,2）在曲线上上，其

有3个整点，不满足题意；

当整点为（2,1）时，％=竽€（2,6），此时第一象限整点（1,2）也在曲线后上，且

（2,2）,（1,1）均不在曲线E上，其有5个整点，满足题意，

综上可得D正确.

故选：ACD

12.答案：宜1心血

33

解析：因为直线4：ar+3y+l=O,；2:x+（t/-2）y-l=0,/.///2,

所以a（a-2）=3,解得1或”=3，

当。=一1时，直线4：-x+3y+l=O,/2:x-3y-l=O,两直线重合，不满足要求,

当。=3时，直线4：x+y+』=0，/2：x+），-l=0,两直线平行，满足要求,

3

1

所以当“〃2时，直线4与之间的距离为3.20.

VTM-3

故答案为：巫

3

13.答案：叵也屈

22

解析：连接0N，取双曲线的左焦点为"，连接过£作Mb的垂线，垂足为G,

.・直线M/与圆f+)2=4相切，

:.ON1MF^\ON\=a^

•：\OF\=c，:.\NF\=b,

O为耳尸的中点，Ffi//ON,

.•.△/WO相似于△尸G1，且相似比为1：2，

故阳G|=2a,陷=乩

MN=2NF，A|A/^V|=2P，:.\MG\=b^\MF\=3b.

在双曲线=_3=1中，曰双曲线定义知同-|M£|=2a，

:.\MFi\=3b-2a.

YONLMF，FQ//ON,,△KMG为直角三角形,

.•.忻G「+|MG『=|M£「，即(2°)2+。2=(3。-2々)2,解得2〃=3”，

故双曲线的离心率为e=+=号.

故答案为：叵.

2

14.答案：2.3"+〃+2

解析：因为数列｛q｝是公差为2的等差数列，｛0｝是公比为3的等比数列，

n-1

且q=4=3,所以=3+2(〃—1)=2〃+1,btl=3x3=3"»

所以％+〃=2(〃+〃)+1，又Stl=%+ah+2+旬+3.•十4:，

所以5n=2(2+l)+l+2(2+2)+l+2(d+3)+l+,+2(%+〃)+1

=2〃•/?〃+2(1+2+3+-+〃)+〃=2〃•3"+2•"；')"+n=2〃•3"+n2+2n»

所以之二2〃・3"+〃+2〃=2.3“+〃+2・

nn

故答案为：2-3"十〃+2・

15.答案：(1)证明见解析；

②(2〃-1).3%3

解析:(1)因为*=3%+4,所以/+]+2=3/+6,即％+2=3(%+2)，

又因为6=1,所以4+2=3-0,。"+2w0,

所以与喑=3,故数列包+2｝是以首项为3,公比为3的等比数列.

(2)由(1)可知，%+2=3x3"T=3"，即%=3"-2,

所以仇=〃(4+2)=“(3〃-2+2)=63”.

所以4=4+儿+4+••,+%+4

=卜夕+2x3?+3x33+・・・+5-1)X3"T+〃x3”,①

3(=1X3?+2X33+3X3-I)x3"+〃x3j②

由①一②，得-27；.=31+3?+33+…+3"-〃x3"T

=3(T)〃>31=-(2〃-1).3"-3,

1-32

所以小（2”1[3*3

故依｝的前〃项和为包二!詈上.

16.答案：（1）1或一19；

⑵（x—3）2=5

解析：（1）由题知两圆相交，

将圆M:x2+），+2%一6），+〃=0与圆0,x1+y2=9相减可得2x-6y+a+9=0,

即两圆公共弦所在直线方程2x-6y+〃+9=0,

圆心O到直线2x—6y+〃+9=0的距离为d=J91二口普，

2回

所以9=（亭J+（翳），解得°=1或T9，

所以实数a的值为1或一19.

（2）将点A（l,2）代入圆M:/+y?+2x-6y+々=0,可得〃=5，

所以圆M的方程为/+,2+2]一6），+5=0，即（x+iy+（y-31=5，

所以圆M的圆心为（—1,3），半径为石，

设圆N的标准方程为（x—机『+（y『=r~，

因为圆N与圆M相切于点A,所以A、M、N三点共线，

所以直线A/的方程为y-2二言（x-1），即x+2），-5=0,

将点N（m,〃）代入得加=5-2〃①，又点矶4,一1）在圆N上,

则忸N|=|4V|=>即J（〃L4）2+（〃+1『=加一1）2+（〃一2『②，

由①②两式解得，〃?=3，〃=1,r=>/5，

所以圆N的标准方程为（x_3『+（y-l）2=5.

17.答案：（1）证明见解析；

⑵巫

5

解析：（1）在菱形AECZ）中，连接OE，

由已知底面AECO是菱形，AB=AD^ND4E=60。，

△AOE■为等边三角形，

因为M是人石的中点，所以

因为J.平面AECO，AEu平面AECO，所以qM_LAE.

因为B】Mu平面B.MD,DMu平面片M。，

且用所以AE_L平面BQM.

（2）因为8陷J.平面AECD，OMu平面AECO，则有片M_LQM,

由（1）知AElg",AEIDM^故AE，8陷，£>M两两垂直,

如图建立空间直角坐标系M-.qz,

因为M是AE的中点，AB,=2,所以4q=8也=2,

因为底面AECO是菱形，AQ=2，所以A£=£C=CQ=ZM=2,

所以△人4f1为等边三角形，由（1）△八。七也为等边三角形，

则4（0,0,百），A（-l,0,0）,0（0,百,0），

设平面BiAD的一个法向量为根=（x,y,z）,

.tn-AD=x+\f3y=0

贝J_

m•BQ=y/3y—Gz=0

令y=l,则％=—VJ，z=1，

所以〃7=（-73,1,1）为平面B.AD的一个法向量,

又因为平面4M。,

所以平面gMO的一个法向量为”=（1,0,0）,

所以|cos（7n,72）1==融5,

网•例5

故平面4Mo与平面4AO夹角的余弦值为叵.

5

18.答案：⑴E+f=1；

43

4

（//

解析：（1）由题意可得尸C,—

二.由题意可得“?且。2=/_序，解得/=4，从=3,

]2。~3

—c---=—

12。2

.•.椭圆的方程为：/+$=1.

43

（2）解法1：由（1）可得尸八口，

I2）

当直线/没有斜率时，设方程为：x=则A。〃,%）,8（根,-,

33

此时，，＞«-2一）‘。一5=9,化简得：%2=2+2（「⑼2,

kpA，kpR——--1

m-\777-141

又史十大=1，解得〃?=•!•或加二i（舍去），此时p到直线/的距离为L

4322

设直线/有斜率时,设A（x2J,8（4必），

y=kx+m

设其方程为：y=kx+m,联立可得•f2

—+—=

43

且整理可得：（3+4/）_?+8幼氏+4m2一12=0,

A=64〃/女2一4.(4%2+3).(462-12)>(),

33

2--必一不□

且H…v.v二m-8%，4有/??-1r2，

-

Aj-IA2I4

整理可得：卜卜《卜弓国一1)(%_1),

整理可得(2+公(%+々)(3丫9

-3+m——+—=0,

14Il2J42)4

整理可得2k°+4m2-3m+6km--=0,

2

即k+〃L'|J(2k+4〃?+3)=(),左+〃7—'|=()或2Z+4〃z+3=0，

若£+*'=(),则直线方程为：y_?=〃(x_1),直线恒过N(l.|，与P点重合,

3C1A

若2&+4〃?+3=0，则直线方程为：y+—=kx——，

4\2)

二.直线恒过定点Q[L-3],

[24y

P到直线/的距离的最大值为归@的值为

4

由于姬>，，.♦.点P到直线/距离的最大值姬.

424

解法2：公共点尸卜,|),左移1个单位，下移g个单位，

csHL,