2025-2026学年重庆市西南大学附中高二（上）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年重庆市西南大学附中高二（上）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若函数f(x)=xlnx，则f′(1)=(

)A.1+e B.e C.1 D.02.方程x2m−4+y25−mA.4<m<5 B.4<m<92或92<m<5

C.3.已知数列{an}是公比为2的等比数列，则A.2 B.4 C.8 D.164.已知两条异面直线的方向向量分别是m=(3,−2,−1)，n=(1,2,3)，则这两条异面直线所成的角θ满足(

)A.cosθ=27 B.cosθ=−27 C.5.已知圆C：(x−6)2+y2=36，AB是圆C的一条动弦，|AB|=63A.(x−6)2+y2=3 B.(x+66.已知函数f(x)=(x2−4x−m)ex在[2,3]上单调递增，则实数A.m<−4 B.m≤−4 C.m<−1 D.m≤−17.已知数列{an}满足an+1=an+2nA.5 B.4 C.3 D.28.已知双曲线E：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的焦距为2c，左、右顶点分别为A1，A2，过A1作x轴的垂线与A.[233,2] B.[2二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知直线l1：(a+1)x−(2a−2)y+4=0，l2：x+y−1=0，则下列说法正确的是(

)A..直线l1过定点(−2,−1) B.直线l2的倾斜角为π4

C.若l1⊥l2，则10.设正项数列{an}的前n项和为Sn，已知2A.S1=1 B.Sn−11.已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，准线为l，O为坐标原点，过点F的直线与抛物线C交于A，B两点，分别过点A，B作l的垂线，垂足分别为D，E，则(

)A.以AB为直径的圆与l相切

B.若|AB|=8，则直线AB的斜率的绝对值为1

C.△DEF为锐角三角形

D.|DF|三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知向量a=(4,x,6)，向量b=(2,5,y)，且a//b，则x+y=

13.已知点P为抛物线y2=4x上的动点，点A(3,4)，过P作y轴的垂线，垂足为点M，则|PM|+|PA|的最小值为

．14.已知数列{an}满足an=4n+(−1)n−1四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知公差大于1的等差数列{an}满足a1=1，且a1，a2+1，a8+1成等比数列．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)16.(本小题15分)

已知曲线f(x)=alnx−12x2+52x在点(1,f(1))处的切线与直线3x−y+2=0平行．

(1)求17.(本小题15分)

如图，四棱锥P−ABCD的底面ABCD是等腰梯形，AB//CD，AB=4，AD=DC=2，△PAD为等边三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，连接BD．

(1)证明：BD⊥AP；

(2)求平面APB与平面CPB所成角的余弦值．18.(本小题17分)

已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为32，点A(0,2)在C上．

(1)求椭圆C的方程；

(2)过点A作两条互相垂直的直线，与椭圆C的另一个交点分别为E，F，证明：直线EF过定点；

(3)以原点O为圆心且过点A19.(本小题17分)

设n∈N∗，点An(xn,yn)、Bn(sn,tn)满足xn2+yn2=n2，sn2+tn2=n2，若线段AnBn的中点Cn满足OAn⋅OBn=−2OCn2．

参考答案1.C

2.B

3.B

4.A

5.D

6.B

7.C

8.A

9.ACD

10.ACD

11.ABD

12.13

13.214.(−4815.解：(1)设等差数列{an}的公差为d(d>1)，

由a1=1，且a1，a2+1，a8+1成等比数列，

得(d+2)2=1⋅(7d+2)，即d2−3d+2=0，

而d>1，解得d=2，

所以数列{an}的通项公式为an=a1+(n−1)d=2n−1；

16.解：(1)已知f(x)=alnx−12x2+12，所以f′(x)=ax−x+52，

曲线f(x)=alnx−12x2+52x点(1,f(1))处的切线与直线3x−y+2=0平行，

所以f′(1)=3，即a1−1+52=3，解得a=32．

(2)函数f(x)的定义域为(0,+∞)，f′(−x)=32x−x+52=−2x2+5x+32x．

令f′(x)=0，即−2x2+5x+317.解：(1)证明：在四棱锥P−ABCD中，取AB中点Q，连接DQ，

因为四边形ABCD是等腰梯形，AB//CD，AB=4，AD=DC=2，

所以BQ//CD，BQ=CD，则四边形BCDQ是平行四边形，

则DQ=BC=2=12AB，△ABD是直角三角形，且AD⊥BD，

因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，BD⊂平面ABCD，

所以BD⊥平面PAD，又PA⊂平面PAD，

所以BD⊥AP．

(2)取AD的中点O，连接OP，OQ，由(1)知，OQ//BD，OQ⊥平面PAD，

由△PAD为等边三角形，得PO⊥AD，

则直线OA，OQ，OP两两垂直，

以O为原点，直线OA，OQ，OP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，

则P(0,0,3)，A(1,0,0)，B(−1,23,0)，C(−2,3,0)，

PA=(1,0,−3)，PB=(−1,23,−3)，PC=(−2,3,−3)，

设平面PBC的一个法向量m=(x,y,z)，

则m⋅PB=−x+23y−3z=0m⋅PC=−2x+18.解：(1)由题可得ca=324b2=1a2=b2+c2，解得a=4b=2c=23，

所以椭圆C的方程为x216+y24=1；

(2)证明：由题意可知，直线AE的斜率显然存在且不为0，

设直线AE的方程为y=kx+2，

联立y=kx+2x216+y24=1，消去y得x[(4k2+1)x+16k]=0，

所以xE=−16k4k2+1，yE=k⋅(−16k4k2+1)+2=−8k2+24k2+1，

即E(−16k4k2+1,−8k2+24k2+1)，因为AE⊥AF，

所以同理可得xE=xF=−16⋅(−11