2026年高考数学复习讲义专题14 空间中的角、距离与探究性问题（解析版）

专题14空间中的角、距离与探究性问题目录01析·考情精解02构·知能框架03破·题型攻坚考点空间中的角、距离与探索性问题真题动向必备知识知识点1点到直线和平面的距离知识点2两异面直线所成的角知识点3直线与平面所成的角知识点4两个平面的夹角命题预测题型一点到直线的距离题型二点到平面的距离题型三直线到直线的距离题型四直线到平面的距离题型五平行面间的距离题型六线线角的向量求法题型八面面角的向量求法题型九向量法求距离的探索性问题题型十向量法求角度的探索性问题命题轨迹透视从近三年高考试题来看，在考查立体几何的高考题目中空间角、距离问题与探究性问题也是常考题型，考查热点为线线角、线面角、二面角、距离的计算，解题的关键是根据题目条件合理引入参数，利用方程的思想解题.高考题中一般以解答题为主，难度中等或较大.考点频次总结考点2025年2024年2023年空间角上海卷T18，14分上海卷T17，14分上海卷T17，14分2026命题预测近年命题趋势更注重动态几何问题和向量法的综合应用，如通过翻折情境分析空间角的变化，需灵活求解，备考时需强化坐标系建立技巧、法向量求解步骤及空间角公式的熟练应用，同时注重向量运算的严谨性，避免因计算失误失分，考点空间中的角、距离与探索性问题1．（2025·上海·高考真题）如图，P是圆锥的顶点，O是底面圆心，AB是底面直径，且．

(1)若直线PA与圆锥底面的所成角为，求圆锥的侧面积；(2)已知Q是母线PA的中点，点C、D在底面圆周上，且弧AC的长为，．设点M在线段OC上，证明：直线平面PBD．【解】（1）由题知，，即轴截面是等边三角形，故，底面周长为，则侧面积为：;（2）由题知，则根据中位线性质，，又平面，平面，则平面由于，底面圆半径是，则，又，则，又，则为等边三角形，则，于是且，则四边形是平行四边形，故，又平面，平面，故平面.又平面，根据面面平行的判定，于是平面平面，又，则平面，则平面

2．（2024·上海·高考真题）如图为正四棱锥为底面的中心．(1)若，求绕旋转一周形成的几何体的体积；(2)若为的中点，求直线与平面所成角的大小．【解】（1）正四棱锥满足且平面，由平面，则，又正四棱锥底面是正方形，由可得，，故，根据圆锥的定义，绕旋转一周形成的几何体是以为轴，为底面半径的圆锥，即圆锥的高为，底面半径为，根据圆锥的体积公式，所得圆锥的体积是（2）连接，由题意结合正四棱锥的性质可知，每个侧面都是等边三角形，由是中点，则，又平面，故平面，即平面，又平面，于是直线与平面所成角的大小即为，不妨设，则，，又线面角的范围是，故.即为所求.3．（2023·上海·高考真题）在直四棱柱中，，，，，(1)求证：平面；(2)若四棱柱体积为36，求二面角大小.【解】（1）由题意知，，因为平面，平面，所以平面，因为，且平面，平面，所以平面，又，、平面，所以平面平面，因为平面，所以平面．（2）由题意知，底面为直角梯形，所以梯形的面积，因为四棱柱的体积为36，所以，过作于，连接，因为平面，且平面，所以，又，、平面，所以平面，因为平面，所以，所以即为二面角的平面角，在△中，，所以，所以，即，故二面角的大小为．4．（2022·上海·高考真题）如图所示三棱锥P-ABC，底面为等边三角形ABC，O为AC边中点，且底面ABC，

(1)求三棱锥P-ABC的体积；(2)若M为BC中点，求PM与平面PAC所成角大小（结果用反三角数值表示）.【解】（1）底面ABC，底面ABC，则，连接，同理，又，，∴，而，所以；（2）由已知，分别以为轴建立空间直角坐标系，如图，由已知，则，，，∴，，易知平面的一个法向量是，，设PM与平面PAC所成角大小为，则，，∴．

知识点1点到直线和平面的距离1.点到直线的距离已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设AP=a，则向量AP在直线l上的投影向量AQ=(a·u)u.在Rt△APQ中，由勾股定理，得PQ=|AP|22.点到平面的距离已知平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点.过点P作平面α的垂线l，交平面α于点Q，则点P到平面α的距离PQ=|AP【注意点】实质上，n是直线l的方向向量，点P到平面α的距离就是AP在直线l上的投影向量QP的长度.知识点2两异面直线所成的角若异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别是u，v，则cosθ=|cos〈u，v〉|=u·v|【注意点】两异面直线所成角的范围是0，π当方向向量的夹角为锐角或直角时，异面直线所成的角与方向向量的夹角相等；当方向向量的夹角为钝角时，异面直线所成的角与方向向量的夹角互补.知识点3直线与平面所成的角设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sinθ=|cos〈u，n〉|=u·n|【注意点】(1)直线与平面所成的角，可以转化为直线的方向向量与平面的法向量的夹角.(2)线面角的范围为0，π(3)把斜线的方向向量与平面法向量的夹角记作α，当α为锐角时，直线和平面所成的角为π2-α；当α为钝角时，直线和平面所成的角为α-π知识点4两个平面的夹角1.两个平面的夹角的概念：平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角.2.求夹角的方法：若平面α，β的法向量分别是n1和n2，设平面α与平面β的夹角为θ，则cosθ=|cos〈n1，n2〉|=n1·n【注意点】(1)两平面的夹角是两平面的法向量的夹角或其补角.(2)二面角与两平面的夹角是两个不同的概念，注意两者范围的不同.题型一点到直线的距离1．已知平面，是直角三角形，且，，则点P到直线BC的距离是.【答案】【解析】取中点为，连接，如下所示：因为为等腰三角形，又为中点，故；因为平面，面，故；又面，故面，又面，故，故点到直线的距离，即为；在△中，；因为平面，面，故，则△为直角三角形；在△中，，故,故点到直线的距离为.2．已知空间中三点，，，则点到直线的距离为（

）A．2 B． C． D．3【答案】B【解析】根据题意可知,,∴点到直线的距离为故选：B题型二点到平面的距离3．如图所示，在四棱锥中，平面；底面是矩形，且，，、分别是、的中点.若记直线与平面的交点为，则点到平面的距离为.

【答案】【解析】以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，

则；设平面的法向量为，根据法向量的性质得：，令，则，所以，设，则，所以，因为在平面上，所以，，则，解得，所以；因为平面为平面，点到平面的距离为点的坐标，即；4．如图，已知棱长为3的正方体，在平面的同侧，顶点A在平面上，顶点B，D到平面的距离分别为1和，则顶点到平面的距离为．

【答案】【解析】以为轴建立空间直角坐标系，如下图，则，所以，不妨设平面的法向量为且，分别表示点到平面的距离，由已知，所以，则，所以顶点到平面的距离为.故答案为：.

5．已知四棱锥的底面是直角梯形，，，，是边长为2的正三角形，侧面底面ABCD．(1)证明：；(2)求点到平面的距离．【解】（1）取中点，中点，连接，.因为为等边三角形，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面.平面，所以，又底面是直角梯形，，所以.又分别为，中点，所以，所以.所以两两垂直.故以为原点，建立如图空间直角坐标系，由，设，，，.所以，.因为.所以，所以.（2）由（1）得，，，.设平面的一个法向量为，则，令，可得.所以点到平面的距离.题型三直线到直线的距离6．在棱长是的正方体中，为的中点，则异面直线和间的距离是【答案】/【解析】以D为坐标原点，以为轴建立空间直角坐标系，

则，则，设与异面直线和都垂直的向量为，则，令，则，又，故异面直线和间的距离是，7．在三棱锥中，，，.记的中点为，的中点为，则异面直线与的距离为.【答案】【解析】三棱锥的三组对棱分别相等，因此三棱锥的外接平行六面体为长方体，将三棱锥放在长方体中，设长方体的长、宽、高分别为，，，且即解得因此以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示：则，，，，，.，.设垂直于和，所以令，则，，所以.又，所以异面直线与的距离.8．如图，正四棱锥的棱长均为2，点E为侧棱PD的中点．若点M，N分别为直线AB，CE上的动点，则MN的最小值为．【答案】【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，则有：，，，，，可得：设，且则有：，可得：则有：故则当且仅当时，题型四直线到平面的距离9.如图所示，已知四棱锥的底面是边长为1的正方形，，，，E，F分别是，的中点，则直线到平面的距离为.【答案】【解析】，，．又，，平面，面ABCD，故建立如图所示的空间直角坐标系．则，，，，，，，，设为平面PEF的法向量，，令，则，，，，因为，平面，平面，所以平面，所以直线AC到平面PEF的距离等于点A到平面PEF的距离，设点A到平面PEF的距离为，，则．10．如图，在正方体中，，求：(1)证明：平面；(2)求直线到平面的距离．【解】（1）因为平面，平面，所以平面.（2）因为平面，所以点C到平面即直线CD到平面的距离.方法1：以D为原点，分别以DA、DC、所在直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，如图，则，所以，设平面的法向量为，则，即，令，则，所以是平面的一个法向量.所以点C到平面的距离.方法2：连接交于点，则，因为平面所以平面，又平面，所以，又平面，所以平面，所以是点C到平面的距离，因为，所以，即直线CD到平面的距离为.11.已知正方体中，棱长为2，点是棱的中点.(1)求直线与直线所成的角；(2)求直线到平面的距离.【解】（1）设正方体的棱长为1，建立如图所示的空间直角坐标系，则,所以，所以，设直线与直线所成的角为，则，故（2）由于平面,平面,故平面，因此直线到平面的距离与点到平面的距离相等，,设平面的法向量为，则且，令，则，又,故到平面的距离为，因此直线到平面的距离为题型五平行面间的距离12.已知是棱长为1的正方体，则平面与平面的距离为．【答案】/【解析】以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，可得，因为，则，所以，因为平面，平面，平面，平面，所以平面，平面，又，平面，所以平面平面，所以平面与平面的距离等于点到平面的距离，设平面的法向量为，则，令，可得，所以，又因为，所以．所以平面与平面的距离为．13．若两平行平面、分别经过坐标原点O和点，且两平面的一个法向量为，则两平面间的距离是．【答案】【解析】依题意，平行平面间的距离即为点O到平面的距离，而，所以平行平面、间的距离.14．已知点，，，，则过点P平行于平面ABC的平面与平面ABC的距离为．【答案】【解析】因为点，，，，所以，设平面ABC的一个法向量为，则，即，令，得，则，所以过点P平行于平面ABC的平面与平面ABC的距离为，15．两平行平面分别经过坐标原点O和点，且两平面的一个法向量，则两平面间的距离是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】∵两平行平面分别经过坐标原点O和点，且两平面的一个法向量，∴两平面间的距离．故选：A16.正方体的棱长为1，则平面与平面的距离为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由正方体的性质：∥,∥，，，且平面，平面，平面，平面，所以平面平面，则两平面间的距离可转化为点B到平面的距离．以为坐标原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示：由正方体的棱长为1，所以，，，，，所以，，，．连接，由，，所以，且，可知平面，得平面的一个法向量为，则两平面间的距离：．故选：D.题型六线线角的向量求法17．如图，在正四棱柱中，底面边长为2，到平面的距离为.(1)求正四棱柱的高：(2)求异面直线与所成角的余弦值.【解】（1）以D为坐标原点，，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，，,故，，.设平面的一个法向量为，则，可取.设到平面的距离为，则，解得.故正四棱柱的高为.（2）由(1)可知，，故，.设异面直线与所成角为，则，所以异面直线与所成角的余弦值为.18．在直三棱柱中，分别为的中点，．

(1)求证：平面；(2)求异面直线与的所成角．【解】（1）分别是的中点，，平面，平面，又平面，，是的中点，，又，平面，平面，平面．（2）以为原点，以所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示：

则，得，，则，设异面直线与的所成角为，得，故异面直线与的所成角为．19．如图，在正方体中，(1)求异面直线与所成角的大小.(2)证明：面.【解】（1）设正方体的棱长为，以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系。则各点坐标为：；，，设异面直线与所成角为，则，因为，所以，即异面直线与所成角的大小为；（2），则，因为，所以，即；因为，所以，即；因为，且平面，所以平面.20．如图，已知三棱柱的侧棱长和底面边长都是，在底面内的投影为底面的中心．(1)求异面直线与所成角的大小；(2)求三棱锥的体积【解】（1）由题知，连接，过作交于，因为为等边的中心，所以,以为原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则，所以，令直线与所成角为，，则，所以，即异面直线与所成角的大小为.（2）由（1）知，，且，则，设平面的一个法向量，则，解得，取，则，又，令到平面的距离为，则，由于，故,又，则为等边三角形，故等边的面积为，所以三棱锥的体积.题型七线面角的向量求法21．在直三棱柱中，若E为AC中点，求：(1)直三棱柱表面积和体积；(2)直线与平面所成角大小.【解】（1）由于所以表面积为：，体积为,（2）建立如图所示的空间直角坐标系，则,,设平面的法向量为，所以，令，故，,设直线与平面所成角为，，故22．如图所示，在六棱锥中，平面，六边形是边长为3的正六边形，是上靠近点的三等分点．(1)证明：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值．【解】（1）因为平面平面，所以．因为六边形是边长为3的正六边形，所以故，因此，所以．又平面平面，故平面．（2）以点为坐标原点，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系．则，，，，，，．设平面的一个法向量为，所以，令，得，即平面的一个法向量为，，所以直线和平面所成角的正弦值为23．如图，在四棱锥中，为的中点，，点在线段上

(1)证明：平面；(2)已知四点均在球的球面上．若直线与平面所成角的正弦值为，求．【解】（1）在四棱锥中，连接，由，，得，由为的中点，得，则，所以，即，又，平面，所以平面.

（2）连接，由（1）知平面，又平面，则，又，平面，则平面，又平面，则，令中点为，由（1）知，因此，即点是三棱锥外接球球心，连接，以为坐标原点，向量的方向分别为轴正方向，建立空间直角坐标系，则，设，则，设平面的一个法向量，则，取，得，设直线与平面所成角为，则，整理得，而，解得，所以.24．已知点是边长为2的菱形所在平面外一点，且点在底面上的投影是与的交点，已知，是等边三角形.(1)求二面角的大小（结果用反三角表示）；(2)若点是线段上的动点，请找出点所在的位置，使得直线与平面所成的角最大.【解】（1）由题意得⊥平面，又平面，所以⊥，⊥，四边形为菱形，故⊥，故以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，已知，是等边三角形，故，则，，设平面的一个法向量为，则，令得，故，显然平面的一个法向量为，则，设二面角的大小为，从图中可以看出二面角为锐角，故，则.（2）当时，直线与平面所成的角最大.理由如下：设，，，其中，，，则，故，，，，由（1）知，平面的一个法向量为，设直线与平面所成的角大小为，则，因为，所以当时，取得最大值，最大值为，又，而在上单调递增，所以，即当时，直线与平面所成的角最大.题型八面面角的向量求法25．如图，在四棱锥中，底面是正方形平面，，点是棱的中点，平面与棱交于点．(1)求证：；(2)求二面角的大小．【解】（1）证明：，平面，平面，平面，又平面，平面平面，，又，．（2）以为坐标原点，所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，所以，，设平面的法向量为，则，令，可得，因为平面，则为平面的一个法向量，所以，由图知二面角为钝角，所以二面角的大小为．26．如图，在正方体中，棱长为2，M是棱的中点，是DM的中点，.(1)证明：平面ABCD；(2)求二面角的正弦值.【答案】(1)证明见解析【解】（1）取CD的中点，在BC上取，连接PE，EF，QF，由是DM的中点，是的中点，得，且，由，得且，所以，所以四边形PEFQ是平行四边形，所以，而平面平面ABCD，所以平面ABCD.（2）以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则，所以，设平面的法向量为，则，取，得，设平面CPQ的法向量为，则，取，得，设二面角的大小为，则，所以，所以二面角的正弦值为.27．如图，已知圆锥，点在底面圆周上，，且，动点落在劣弧上．(1)求证：平面平面；(2)若点平分劣弧，过点分别作，垂足分别为两点，求二面角的大小．【解】（1）证明：在圆锥中，平面，∴∵，∴∵，平面，∴平面，∵平面∴平面平面（2）以O为原点，OC为x轴，OB为y轴，OA为z轴，如图建立空间直角坐标系由题意，，，，，则，，，，设是平面的一个法向量，则，取，则，设是平面的一个法向量，则，取，则，设平面与平面夹角为，则，∴平面与平面夹角的余弦值为.则根据法向量朝向可知二面角的大小为.28．如图过圆柱轴的截面是边长为2的正方形，是圆柱底而圆周上与不重合的一动点，是母线的中点.

(1)若，求异面直线与所成的角；(2)求过三点的平面与平面ABC所成的锐二面角的范围.【解】（1）以点O为原点，直线OB，分别为y，z轴，过O于AB垂直的直线为x轴，建立空间直角坐标系，如图所示．

则，，，，，设，则，，．当时，，．设异面直线与所成的角为，从而，因此，异面直线与所成的角为；（2）由（1）知，．易得平面的一个法向量为，设平面的一个法向量为，则，令，得，设平面与平面ABC所成的锐二面角的大小为，则，由是圆柱底而圆周上与不重合的一动点知，，则，则，所以，所以，所以，又，所以，即锐二面角的范围为．题型九向量法求距离的探索性问题29.如图，棱长为2的正方体中，分别为的中点，点是平面上的点.(1)若点是的中点，证明：与、共面；(2)求平面与平面所成的锐二面角的大小；(3)若点满足，且点到平面的距离为，试确定点的位置，使得与平面所成的角取得最大值.【解】（1）因为且，，所以，因此与共面；（2）以点为坐标原点，所成直线为坐标轴建立如图空间直角坐标系，则，所以，设平面的一个法向量为，则，令，则，所以平面的一个法向量为，平面的一个法向量是则，设平面与平面所成的锐二面角为，则，所以平面与平面所成的锐二面角的大小为；（3），，从而点到平面的距离为，由可化简得，，设与平面所成角为，则，令，则，（当时取等号），所以，因为时，严格增，所以当时，与平面所成的角取得最大值，此时，即时，与平面所成的角取得最大值.30．如图，在三棱柱中，侧面为正方形，，设是的中点，满足，是的中点，是线段上的一点.

(1)证明：平面；(2)若，，①求直线与平面所成角的大小；②线段上是否存在点，使点到平面的距离为，若存在，求的值；若不存在，说明理由.【解】（1）

取中点E，连接，又正方形中M是中点，由几何关系可得，所以，又，所以，所以，又，另外中位线，三棱柱中，得，平行线，确定了平面，且，平面，则平面，即平面.（2）①由，，即，所以；又，平面，所以平面，平面，所以，又正方形中，以A原点，建立空间直角坐标系，

，，，，，，设平面的一个法向量为，则，即，取可得，设直线与平面所成的角为，则，因此直线与平面所成角大小为；②不妨设，，则，，点T到平面的距离，即，解得或，当时，；当时，；所以或.31．如图，在梯形中，，，，，平面且.

(1)求直线到平面的距离；(2)求二面角的大小；(3)在线段AD上是否存在一点F，使点A到平面PCF的距离为?【解】（1）∵，平面，平面，∴平面，故点A到平面PBC的距离，即为直线AD到平面PBC的距离，作于，∵平面，平面，，，又平面PAB，平面PAB，又平面PAB，，又平面，平面，即AH的长为点A到平面PBC的距离，也即直线AD到平面PBC的距离，在等腰中，，所以直线AD到平面PBC的距离为；

（2）过点作，交于点，连接，因为平面，平面，所以，又平面，所以平面，又平面，所以，所以即为二面角的平面角，过C作于M，则四边形为矩形，故，在中，，可得，，所以，又，所以，则，所以二面角的大小为；

（3）假设存在点F，使点A到平面PCF的距离为，如图，以点为原点建立空间直角坐标系，设，则，故，设平面的法向量为，则有，令，则，所以，故点A到平面PCF的距离为，所以，解得，所以存在点F，使点A到平面PCF的距离为.题型十向量法求角度的探索性问题32．如图，在直三棱柱中，，，，.（1）证明：平面；（2）在线段上是否