专升本高等数学重点复习资料

专升本高等数学重点复习资料高等数学是许多专升本考生需要跨越的一道门槛，它不仅考察逻辑思维能力，也检验对数学工具的掌握程度。这份复习资料旨在帮助各位考生提纲挈领，抓住重点，高效复习。请记住，数学学习没有捷径，但通过科学的方法和不懈的努力，完全可以取得理想的成绩。一、复习总览与核心策略1.吃透基本概念：数学概念是构建知识体系的基石。对于每一个定义、定理，不仅要记住字面表述，更要理解其内涵、外延以及产生的背景和用途。例如，极限的概念，不能仅停留在“无限接近”，要理解其精确定义所蕴含的思想方法。2.掌握基本运算：极限、导数、积分是高等数学的三大基本运算，必须熟练掌握其运算法则和基本技巧。大量的练习是提升运算速度和准确率的关键，但要避免盲目刷题，注重理解算理。3.理解并运用基本定理与公式：定理和公式是数学推理的依据。要清楚定理的条件、结论以及适用范围，公式的来龙去脉和记忆方法。例如，罗尔定理、拉格朗日中值定理的条件和几何意义是什么？牛顿-莱布尼茨公式为何是微积分的核心？4.多做练习，注重总结：通过做题可以检验对知识的掌握程度，熟悉各种题型。但更重要的是做完题后的反思与总结，归纳解题方法，提炼解题规律，形成自己的解题思路。建立错题本是一个非常好的习惯。二、重点知识模块梳理（一）函数、极限与连续函数*核心内容：函数的概念（定义域、值域、对应法则），函数的基本性质（单调性、奇偶性、周期性、有界性），反函数，复合函数，基本初等函数（幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数）的图像与性质，初等函数。*【核心提示】：定义域的求解是函数问题的前提，需熟练掌握各类函数定义域的限制条件。复合函数的分解与构成是后续求导的基础。极限*核心内容：数列极限的定义（ε-N语言，理解即可，专升本一般不直接考察证明），函数极限的定义（ε-δ语言，理解即可），极限的性质（唯一性、有界性、保号性），极限的四则运算法则，复合函数的极限运算法则。*求极限的方法：*利用极限运算法则及函数连续性直接代入。*消去零因子法（针对0/0型未定式）。*无穷小量与无穷大量的性质及等价无穷小替换（重点掌握常见的等价无穷小，如x→0时，sinx~x,tanx~x,ln(1+x)~x,e^x-1~x,1-cosx~x²/2等，注意替换条件）。*重要极限公式：lim(x→0)sinx/x=1，lim(x→∞)(1+1/x)^x=e及其变形。*洛必达法则（针对0/0型或∞/∞型未定式，需结合导数知识，在导数部分详细讲解后使用）。*利用夹逼准则和单调有界准则（对数列极限尤为重要，如证明数列收敛并求极限）。*【核心提示】：极限计算是专升本的必考内容，需灵活运用各种方法，注意等价无穷小替换的条件和洛必达法则的适用范围。连续*核心内容：函数在一点连续的定义（极限值等于函数值），间断点的定义及分类（第一类间断点：可去间断点、跳跃间断点；第二类间断点：无穷间断点、振荡间断点），初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质（有界性定理、最大值最小值定理、介值定理、零点存在定理）。*【核心提示】：判断函数间断点的类型是重点，零点存在定理常用于证明方程根的存在性。（二）一元函数微分学导数与微分的概念*核心内容：导数的定义（瞬时变化率，f'(x₀)=lim(Δx→0)[f(x₀+Δx)-f(x₀)]/Δx及其等价形式），导数的几何意义（切线斜率）与物理意义（瞬时速度），可导与连续的关系（可导必连续，连续不一定可导），微分的定义（dy=f'(x)dx），微分的几何意义（线性近似），可微与可导的关系（可微等价于可导）。*【核心提示】：导数定义是理解导数概念的关键，也是解决分段函数在分段点处可导性问题的依据。导数的计算*核心内容：基本初等函数的导数公式，导数的四则运算法则，复合函数的求导法则（链式法则，重点，难点），隐函数求导法，对数求导法，由参数方程所确定的函数的导数（数一、数二可能涉及，根据具体考纲要求），高阶导数（重点掌握二阶导数的计算，以及一些简单函数的n阶导数规律）。*【核心提示】：复合函数求导是导数计算的核心，需多做练习，确保熟练掌握。隐函数求导要注意y是x的函数。微分中值定理与导数的应用*核心内容：罗尔定理，拉格朗日中值定理（理解其几何意义，会用其证明简单的不等式或等式），柯西中值定理（了解即可）。*导数的应用：*判断函数的单调性（导数的正负）。*求函数的极值（一阶导数等于零且二阶导数不等于零，或一阶导数变号）。*求函数的最值（闭区间上连续函数的最值求法：比较驻点、不可导点及区间端点的函数值）。*判断函数图形的凹凸性（二阶导数的正负）与拐点（二阶导数等于零或不存在，且二阶导数在该点两侧异号）。*求函数图形的水平渐近线、铅直渐近线。*利用导数解决简单的实际应用问题（如最优化问题）。*洛必达法则（用于求0/0型、∞/∞型未定式的极限，以及可化为这两种类型的其他未定式，如0·∞型、∞-∞型、1^∞型、0^0型、∞^0型）。*【核心提示】：中值定理是微分学的理论基础，虽然直接证明题可能不多，但理解其思想有助于掌握导数应用。函数的单调性、极值、最值、凹凸性、拐点是导数应用的重点内容，也是考研和专升本的高频考点。洛必达法则使用前需先判断是否满足条件。（三）一元函数积分学不定积分*核心内容：原函数与不定积分的概念及其性质，不定积分的基本积分公式（与导数公式互逆，必须熟记），不定积分的换元积分法（第一类换元法/凑微分法，第二类换元法/如三角代换、根式代换），不定积分的分部积分法。*【核心提示】：不定积分是定积分计算的基础。凑微分法是最重要、应用最广泛的积分方法，需多练习以积累“凑”的经验。分部积分法适用于两类不同函数乘积的积分，关键是选择好u和dv。定积分*核心内容：定积分的概念（理解“和的极限”思想，几何意义：曲边梯形的面积代数和），定积分的性质（线性性、区间可加性、比较定理、估值定理、积分中值定理），微积分基本定理（变上限积分函数及其导数，牛顿-莱布尼茨公式——连接定积分与不定积分的桥梁）。*定积分的计算：*利用牛顿-莱布尼茨公式，转化为求原函数（不定积分）。*定积分的换元积分法（注意换元必换限）。*定积分的分部积分法。*定积分的应用：*计算平面图形的面积（直角坐标系下）。*计算旋转体的体积（绕x轴、绕y轴）。*反常积分（广义积分）：无穷限的反常积分，无界函数的反常积分（瑕积分），会判断其敛散性并计算其值。*【核心提示】：牛顿-莱布尼茨公式是定积分计算的核心。定积分的几何应用是重点，需掌握面积和体积的计算公式及步骤。反常积分的关键是将其转化为定积分的极限来计算。（四）常微分方程*核心内容：微分方程的基本概念（阶、解、通解、特解、初始条件）。*一阶微分方程：*可分离变量的微分方程（分离变量后两边积分）。*齐次方程（通过变量替换化为可分离变量方程）。*一阶线性微分方程（标准形式：y'+P(x)y=Q(x)，通解公式：y=e^(-∫P(x)dx)[∫Q(x)e^(∫P(x)dx)dx+C]）。*可降阶的高阶微分方程：y^(n)=f(x)型，y''=f(x,y')型（不显含y），y''=f(y,y')型（不显含x）。*二阶线性微分方程：*二阶线性微分方程解的结构（齐次通解+非齐次特解）。*二阶常系数齐次线性微分方程（特征方程法：写出特征方程r²+pr+q=0，根据特征根r1,r2的不同情况（相异实根、相等实根、共轭复根）写出通解）。*二阶常系数非齐次线性微分方程（重点掌握自由项为多项式Pm(x)、指数函数e^(λx)、正弦函数sinβx、余弦函数cosβx及其乘积形式时，特解y*的设定方法——待定系数法，通解为对应齐次方程的通解加上非齐次方程的一个特解）。*【核心提示】：一阶微分方程的求解是基础。二阶常系数线性微分方程的求解有固定方法，需熟练掌握特征方程法和特解的设定。三、解题技巧与常见题型归纳*审题是前提：拿到题目，首先要仔细阅读，明确已知条件和所求结论，判断题目类型。*从结论或已知条件入手：对于证明题或综合题，可以尝试从要证的结论倒推，或从已知条件出发，联想相关的定理、公式和方法。*注重一题多解与多题一解：一题多解可以开阔思路，多题一解可以归纳共性，提升解题能力。*规范解题步骤：解答题要写出关键步骤，不仅是为了得分，也有助于理清思路，减少失误。常见题型举例：*极限计算：各种未定式的极限。*导数计算：复合函数求导、隐函数求导、参数方程求导、高阶导数。*导数应用：单调性判断、极值最值求解、凹凸性与拐点判定、方程根的个数讨论、不等式证明。*积分计算：不定积分、定积分（换元、分部）。*积分应用：求面积、求体积。*微分方程求解：识别类型，选择对应方法求解。四、考前准备与心态调整*回归基础，重温错题：考前不宜再做大量新题难题，应回归教材和笔记，回顾基本概念、公式、定理，重做错题本上的题目，查漏补缺。*模拟演练，调整作息：按照考试时间进行模拟测试，熟悉考试节奏，调整生物钟，确保考试时精力充沛。*保持积极心态，沉着应考：相