六年级奥数比例问题专项辅导教材

比例，这个听起来似乎有些抽象的概念，其实在我们的日常生活中无处不在。无论是调配饮料时的成分配比，还是地图上的比例尺，亦或是工程分配中的人力物力安排，都蕴含着比例的思想。在小学奥数中，比例问题更是一块重要的基石，它不仅能锻炼我们的逻辑思维能力，还能帮助我们更深刻地理解数量之间的关系。今天，我们就一同深入探讨比例问题的奥秘，掌握解决这类问题的核心方法。一、比例的核心概念与基本性质要学好比例，首先得把基础打牢。什么是“比”？什么又是“比例”？它们之间有什么联系与区别？1.比的意义两个数相除，又叫做这两个数的比。例如，一个班级有男生20人，女生15人，那么男生人数与女生人数的比就是20:15，读作“20比15”。其中，“:”是比号，比号前面的数叫做比的前项，比号后面的数叫做比的后项。比的结果，即前项除以后项的商，叫做比值。比如20:15的比值就是20÷15=4/3。2.比例的意义表示两个比相等的式子叫做比例。也就是说，如果两个比的比值相等，那么这两个比就能组成比例。例如，4:6和6:9，因为4:6的比值是2/3，6:9的比值也是2/3，所以4:6=6:9，这就是一个比例。在比例中，组成比例的四个数叫做比例的项，两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项。比如在4:6=6:9中，4和9是外项，6和6是内项。3.比例的基本性质这是解决比例问题的“金钥匙”，必须牢牢掌握：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。用字母表示，如果a:b=c:d（b、d均不为0），那么ad=bc。这个性质不仅可以用来检验两个比是否能组成比例，更重要的是它是解比例的依据。例如，对于比例2:5=4:x，根据比例的基本性质，我们可以得到2x=5×4，即2x=20，从而解得x=10。二、比例的应用——按比例分配按比例分配是比例问题中最常见也最基础的应用。它是指将一个总量按照一定的比分成若干个部分。解题步骤解析：1.求出总份数：将比例的各项相加，得到总份数。2.求出每份的量：用总量除以总份数，得到每一份的具体数量。3.求出各部分的量：用每一份的量分别乘以比例中各对应项，得到各部分的具体数量。例题精讲：例1：学校把一批图书按照3:4:5的比例分给四、五、六年级，已知六年级分到了100本，这批图书一共有多少本？四年级和五年级各分到多少本？分析与解答：首先，我们来确定总份数。3:4:5，总份数就是3+4+5=12份。六年级分到的图书占了5份，对应的数量是100本。那么，每一份的数量就是100÷5=20本。因此，四年级分到的图书数量为：20×3=60本。五年级分到的图书数量为：20×4=80本。这批图书的总量就是：60+80+100=240本，或者也可以用20×12=240本。答：这批图书一共有240本，四年级分到60本，五年级分到80本。思考：如果题目没有直接给出某个部分的量，而是给出总量，那么我们就可以直接用总量除以总份数得到每份的量，再求各部分。三、比例的应用——正比例与反比例在实际问题中，我们常会遇到两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化。如果这两种量中相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。判断方法：*正比例：商一定，即y/x=k（k为常数，k≠0）。*反比例：积一定，即xy=k（k为常数，k≠0）。例题精讲：例2：一辆汽车从甲地开往乙地，每小时行驶60千米，4小时可以到达。如果每小时行驶80千米，几小时可以到达？分析与解答：首先，我们要判断这里路程、速度和时间三个量之间的关系。从甲地到乙地的路程是固定不变的。速度×时间=路程（一定），所以速度和时间成反比例关系。设每小时行驶80千米时，x小时可以到达。根据反比例关系，我们可以列出方程：80x=60×4即80x=240解得x=240÷80=3答：3小时可以到达。例3：一个工程队修一条公路，原计划每天修30米，12天可以修完。实际每天多修10米，实际多少天可以修完？分析与解答：这条路的总长度是固定的。每天修的长度×天数=总长度（一定），所以每天修的长度和天数成反比例。原计划每天修30米，实际每天多修10米，所以实际每天修30+10=40米。设实际x天可以修完。根据反比例关系，可列出方程：40x=30×12即40x=360解得x=360÷40=9答：实际9天可以修完。四、比例的转换与应用技巧在解决一些复杂的比例问题时，我们常常需要对比例进行灵活转换，比如统一不变量的份数，或者根据部分量的变化来调整比例。例题精讲：例4：甲、乙两个仓库原有粮食的吨数比是5:4，甲仓库运走36吨后，两仓库粮食吨数的比是3:4。甲仓库原有粮食多少吨？分析与解答：在这个问题中，乙仓库的粮食吨数是不变的。我们可以把乙仓库的粮食吨数看作单位“1”，或者统一乙仓库在两个比例中的份数。原来甲、乙的比是5:4，后来甲、乙的比是3:4。可以看出，乙仓库的份数都是4份，没有变化。而甲仓库的份数从5份变成了3份，减少了5-3=2份。这减少的2份对应的实际吨数就是运走的36吨。所以，1份的吨数就是36÷2=18吨。因此，甲仓库原有粮食5份，即5×18=90吨。答：甲仓库原有粮食90吨。技巧总结：当题目中存在不变量时，利用不变量来统一份数，是解决这类问题的关键。通过比较变化的份数与变化的实际数量之间的对应关系，就能求出每份的量，进而解决问题。五、巩固与提高比例问题的题型多样，但核心思想不变。只要我们深刻理解比例的意义和基本性质，掌握按比例分配以及正反比例的应用方法，并能灵活运用比例的转换技巧，就能从容应对各种挑战。练习题：1.一个三角形三个内角度数的比是1:2:3，这个三角形是什么三角形？每个角的度数是多少？2.用60厘米长的铁丝围成一个长方形，长与宽的比是3:2，这个长方形的面积是多少平方厘米？3.某工厂有甲、乙两个车间，甲车间与乙车间的人数比是5:3，如果从甲车间调14人到乙车间，那么甲车间与乙车间的人数比是1:2。原来甲、乙两个车间各有多少人？4.一辆汽车从A地到B地，前半段路程每小时行驶60千米，后半段路程每小时行驶40千米，求这辆汽车从A地到B地的平均速度。（提示：平均速度=总路程÷总时间，可设总路程为一个具体数值或单位“1”）温馨提示：做练习题时，一定要先认真审题，判断题目属于哪种类型的比例问题，再选择合适的方法进行解答。遇到困难时，不要急于看答案，可以尝试画线段图或者列表来帮助分析