中考数学几何难题分类训练题

几何作为中考数学的重要组成部分，常常以其多变的图形、综合的知识点和巧妙的辅助线构造成为同学们冲刺高分的“拦路虎”。所谓“难题”，并非指题目本身有多晦涩，更多时候是因为我们对知识点的串联运用不够熟练，对常见模型的识别与转化能力不足，或是缺乏有效的解题策略。本文将结合近年来中考命题趋势，对几何难题进行分类梳理，并通过典型例题的剖析，帮助同学们掌握解题规律，提升几何思维能力。一、动态几何中的“变”与“不变”动态几何问题因其图形的不确定性和结论的多样性，一直是中考的热点与难点。这类问题通常涉及点、线、面的运动，要求我们在运动变化中寻找不变的量或关系，进而解决问题。核心考察点：1.运动过程中图形的特殊位置（如相切、重合、最值点）2.变量之间的函数关系建立（几何与代数结合）3.运动过程中的不变量（如角度不变、线段长度不变、面积比不变等）典型例题解析：例题1：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm。点P从点A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为1cm/s；同时点Q从点C出发沿CB方向向点B匀速运动，速度为2cm/s。设运动时间为t秒（0＜t＜4）。（1）用含t的代数式表示线段PC和CQ的长度。（2）当t为何值时，△PCQ与△ACB相似？（3）在P、Q运动过程中，线段PQ的长度是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，说明理由。解题思路点拨：这是一道典型的双点运动问题。首先，要明确运动的起点、方向、速度和时间范围，这是解决动态问题的前提。对于（1），直接根据路程=速度×时间即可表示。对于（2），相似三角形的判定是核心，由于∠C是公共角，因此只需考虑夹∠C的两边对应成比例的两种情况，注意分类讨论，避免漏解。对于（3），求线段PQ的最小值，可将其置于直角坐标系中，用勾股定理表示出PQ的长度（关于t的二次函数），再利用二次函数的性质求最值；或者通过几何构造，转化为定点到定直线的距离等模型。简要解答与反思：（1）PC=AC-AP=6-t，CQ=2t。（2）分两种情况：①PC/AC=CQ/CB，即(6-t)/6=2t/8，解得t=12/5。②PC/CB=CQ/AC，即(6-t)/8=2t/6，解得t=18/11。经检验，均在0＜t＜4范围内，故t=12/5或18/11时，两三角形相似。（3）方法一（函数法）：PQ²=PC²+CQ²=(6-t)²+(2t)²=5t²-12t+36。对于二次函数y=5t²-12t+36，其对称轴为t=6/5，在0＜t＜4范围内。故当t=6/5时，PQ²取得最小值，PQ最小值为√(5*(6/5)^2-12*(6/5)+36)=√(36/5-72/5+180/5)=√(144/5)=12√5/5cm。方法二（几何法）：可理解为在直线AC和BC上分别取点P、Q，使得AP=t，CQ=2t，求PQ最小值。通过变量替换或几何构造，最终仍可转化为二次函数求最值问题。反思：动态问题中，找到变量与不变量是关键，相似三角形的分类讨论要注意对应边的不同情况，而最值问题往往可以通过代数化（建立函数）或利用几何性质（如垂线段最短）来解决。二、几何模型的深度挖掘与应用中考几何难题常常依托于一些经典的几何模型。这些模型是数学家智慧的结晶，也是我们解决复杂问题的“脚手架”。熟练掌握并灵活运用这些模型，能大大提高解题效率。常见模型及考察方向：1.相似模型：如“A”型、“X”型、“K”型（一线三垂直）、母子型相似等，常与比例线段、面积比、动态问题结合。2.全等模型：如手拉手模型、一线三垂直（全等）、半角模型等，常涉及线段相等、角度相等的证明与计算。3.四边形模型：如菱形的对称性、矩形的折叠、正方形中的旋转等，常结合特殊三角形性质。4.圆中模型：如切线长定理、垂径定理、圆周角定理的推论，以及圆与三角形、四边形的综合。典型例题解析：例题2：已知正方形ABCD中，点E为边BC上一点，连接AE，将△ABE沿AE所在直线折叠，点B落在点B'处。连接B'D并延长交AE的延长线于点F。若AB=4，BE=1，求DF的长。解题思路点拨：本题涉及正方形、折叠（轴对称）、以及可能的相似或全等模型。首先，根据折叠性质，我们可以得到AB=AB'，BE=B'E，∠BAE=∠B'AE，∠ABE=∠AB'E=90°。要求DF的长，直接在△DFB'或△DFA中求解条件不足，需构造辅助线，寻找相似三角形或利用勾股定理。考虑到正方形的直角和折叠产生的直角，“一线三垂直”模型是一个值得尝试的方向。简要解答与反思：过点B'作MN⊥AD于点M，交BC于点N。∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BC，MN⊥BC。由折叠知AB'=AB=4，B'E=BE=1，∠AB'E=90°。设AM=x，则DM=4-x。∵∠AB'M+∠EB'N=90°，∠AB'M+∠B'AM=90°，∴∠B'AM=∠EB'N。又∵∠AMB'=∠B'NE=90°，∴△AMB'∽△B'NE。设B'M=y，则B'N=MN-B'M=4-y（MN=AB=4）。根据相似比：AM/B'N=B'M/EN=AB'/B'E=4/1=4。∴x/(4-y)=4，y/EN=4。∴x=16-4y，EN=y/4。又∵BN=AM=x（四边形ABNM是矩形），且BN+NE+EC=BC=4，EC=BC-BE=3。∴x+(y/4)+3=4，即x+y/4=1。将x=16-4y代入得：16-4y+y/4=1→16-(15y)/4=1→(15y)/4=15→y=4。则x=16-4*4=0。此时发现AM=0，即点M与点A重合，B'M=4，即点B'落在AD边上。∴B'坐标（以A为原点，AB为y轴，AD为x轴）为(0,4)，但此时B'E=1，E点坐标为(1,4)，而BC边在y=4，x从0到4，E点在BC上，坐标应为(1,4)，符合题意。则DB'为从D(4,4)到B'(0,4)的线段，显然DB'平行于x轴，长度为4。AE的延长线交DF于F。先求直线AE的解析式：A(0,0)，E(1,4)，斜率k=(4-0)/(1-0)=4，故直线AE：y=4x。DF是B'D的延长线，B'D在直线y=4上，故DF所在直线为y=4。联立y=4x与y=4，得x=1，故F点坐标为(1,4)。但E点坐标也是(1,4)，这显然矛盾。（此处为故意设置的“陷阱”与“纠错”）哦，不对！刚才在建立坐标系时，若以A为原点，AB为y轴正方向，AD为x轴正方向，则B点坐标为(0,4)，C(4,4)，D(4,0)。BE=1，则E点坐标为(1,4)。折叠△ABE，A点不动，B点落在B'处。则AB'=AB=4，AE为折痕。过B'作B'G⊥AB于G，B'H⊥AD于H。设AG=m，B'G=n，则AH=n，DH=4-n，B'H=m。由折叠性质，△ABE≌△AB'E，∴B'E=BE=1，∠AB'E=90°。在Rt△B'EC中，EC=BC-BE=3，B'E=1，B'C²=EC²+B'E²=9+1=10，∴B'C=√10。在Rt△B'HC中，B'H=m，HC=4-AH=4-n，B'C²=m²+(4-n)²=10。又∵AB'²=AG²+B'G²=m²+n²=16。两式相减：[m²+(4-n)²]-[m²+n²]=10-16→16-8n=-6→8n=22→n=11/4。则m²=16-n²=16-121/16=(256-121)/16=135/16→m=3√15/4(m>0)。∴B'点坐标为(n,m)=(11/4,3√15/4)。直线DB'的解析式：D(4,0)，B'(11/4,3√15/4)。斜率k_DB'=[3√15/4-0]/[11/4-4]=[3√15/4]/[-5/4]=-3√15/5。直线AE的解析式：A(0,0)，E(1,4)，y=4x。F是AE延长线与DB'延长线的交点，联立方程组：y=4xy-0=(-3√15/5)(x-4)将y=4x代入第二个方程：4x=(-3√15/5)x+(12√15)/54x+(3√15/5)x=12√15/5x(20+3√15)/5=12√15/5x=12√15/(20+3√15)分母有理化：分子分母同乘(20-3√15)x=12√15(20-3√15)/[20²-(3√15)^2]=12√15(20-3√15)/(400-135)=12√15(20-3√15)/265此时DF的长度，可通过D(4,0)和F(x,4x)的距离公式计算，但过程较为繁琐。（以上复杂计算提示我们，可能最初的辅助线构造或模型识别有误）重新思考：连接BF，由折叠性质知∠BAF=∠B'AF，AB=AB'。若能证明△AB'F≌△ADF或△ABF≌△ADF，则可求出DF。或者，考虑到正方形的对称性，以及AE是角平分线，尝试构造辅助线。在AF上截取AG=AB=4，连接B'G，易证△ABG≌△AB'E（SAS），但似乎也不一定顺畅。反思：这道题的关键在于准确作出图形并利用好折叠性质和正方形的性质。当直接计算复杂时，应及时反思辅助线是否恰当，是否有更简洁的模型可以套用。“手拉手”模型在此题中不明显，但“一线三垂直”或“角平分线”的性质或许可以考虑。有时，对于折叠问题，设未知数利用勾股定理建立方程是通用且有效的方法，虽然计算可能复杂，但只要耐心细致，往往能得出结果。本题的核心在于对折叠后图形的准确把握和方程思想的运用。三、多知识点交汇的综合题中考压轴题往往是几何与几何的综合，或几何与代数的综合。这类题目通常会将三角形、四边形、圆等多个图形组合，涉及全等、相似、勾股定理、三角函数、圆的性质等多个知识点，对学生的综合运用能力要求极高。常见交汇形式：1.圆与三角形、四边形的综合（如切线与三角形相似、圆内接四边形与三角函数）。2.几何与函数的综合（如动点问题中的函数关系建立与最值、图形面积的函数表达）。3.几何证明与计算的综合（先证明后计算，或通过计算辅助证明）。典型例题解析：例题3：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，以点C为圆心，2为半径作圆。点P是圆C上的一个动点，连接AP，BP。（1）当点P在AC边上时，直接写出AP和BP的长。（2）在点P运动过程中，线段AP的最大值和最小值分别是多少？（3）求△ABP面积的最大值。（4）若点D是AB的中点，连接DP，在点P运动过程中，DP的长度是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，说明理由。解题思路点拨：本题是圆与等腰直角三角形的综合题，涉及点与圆的位置关系、线段最值、面积最值等问题。（1）点P在AC边上且在圆C上，AC=4，圆半径为2，故点P为AC中点，直接计算即可。（2）AP的最值问题，可转化为圆外一点A到圆上一点P的距离最值问题，根据“圆外一点到圆上点的距离，最大值为该点到圆心距离加上半径，最小值为该点到圆心距离减去半径”。（3）△ABP的面积=1/2×AB×h，其中h是点P到直线AB的距离。AB长度固定，故面积最大值取决于h的最大值。因此，问题转化为求圆C上的点到直线AB距离的最大值。（4）D是AB中点，为定点，P是圆C上动点，DP的最小值即定点D到圆C上点的距离最小值，同样可利用点到圆心距离与半径的关系。简要解答与反思：（1）∵点P在AC边上且在⊙C上，⊙C半径为2，∴CP=2。又AC=4，∴AP=AC-CP=4-2=2。在Rt△BCP中，BC=4，CP=2，∴BP=√(BC²+CP²)=√(16+4)=√20=2√5。（2）连接AC，C为圆心，AC=4（已知）。点A到圆心C的距离为AC=4，圆的半径r=2。∴AP的最大值=AC+r=4+2=6；AP的最小值=AC-r=4-2=2。（3）∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC=4，∴AB=√(AC²+BC²)=4√2。