初中数学函数专题综合练习题

初中数学函数专题综合练习题函数，作为初中数学的核心内容之一，贯穿了代数学习的始终，也是后续更高级数学学习的重要基石。它不仅仅是一种数学工具，更是一种重要的数学思想方法，帮助我们从变化的角度认识世界、分析问题。掌握函数的概念、图像与性质，并能灵活运用它们解决实际问题，是每一位初中生必备的数学素养。本次专题综合练习，旨在帮助同学们梳理函数知识脉络，巩固基础，提升综合运用能力，希望大家能认真对待，在练习中发现问题，查漏补缺，真正做到融会贯通。一、核心知识点回顾在开始练习之前，让我们简要回顾一下初中阶段学习的几类主要函数及其核心知识点，这将有助于我们更好地完成后续练习。1.函数的基本概念：*理解变量与常量的意义。*掌握函数的定义：在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数。*能确定简单函数中自变量的取值范围。*会求函数值。2.一次函数（包括正比例函数）：*表达式：y=kx+b(k,b为常数，k≠0)。当b=0时，即为正比例函数y=kx。*图像：一条直线。*性质：k的符号决定直线的倾斜方向和函数的增减性；b的符号决定直线与y轴交点的位置。*会用待定系数法求一次函数的解析式。*理解一次函数与一元一次方程、一元一次不等式之间的联系。3.反比例函数：*表达式：y=k/x(k为常数，k≠0)，也可表示为y=kx⁻¹。*图像：双曲线。*性质：k的符号决定双曲线所在的象限和函数的增减性。*会用待定系数法求反比例函数的解析式。4.二次函数（初步认识与图像性质）：*表达式：y=ax²+bx+c(a,b,c为常数，a≠0)，常见的还有顶点式y=a(x-h)²+k。*图像：抛物线。*性质：a的符号决定抛物线的开口方向和最值情况；对称轴、顶点坐标；函数的增减性。*会用待定系数法求二次函数的解析式（顶点式、一般式）。掌握这些知识点，是解决函数综合题目的前提。在解题时，要特别注意数形结合思想的运用，即把函数的表达式与图像紧密联系起来，通过图像直观地理解函数的性质，通过表达式精确地描述图像的特征。二、综合练习题（一）基础巩固1.下列关系式中，哪些是y关于x的函数？为什么？(1)y=2x+1(2)y=±√x(x≥0)(3)x²+y²=4(4)y=x²-3x+22.求函数y=(x-1)/(x+2)中自变量x的取值范围。3.已知一次函数y=kx+b的图像经过点A(0,3)和点B(2,-1)，求此一次函数的解析式。4.若反比例函数y=k/x的图像经过点(2,-3)，则k的值为多少？此函数图像位于哪些象限？5.二次函数y=x²-4x+3的顶点坐标是_______，对称轴是直线_______，当x_______时，y随x的增大而减小。6.已知点P(a,2)在正比例函数y=-2x的图像上，求a的值。7.一次函数y=-3x+6的图像与x轴交于点A，与y轴交于点B，求△AOB的面积（O为坐标原点）。8.抛物线y=-2(x+1)²+3的开口方向是_______，顶点坐标是_______。（二）能力提升9.已知一次函数y=(m-1)x+m²-1的图像经过原点，求m的值。10.若点A(1,y₁)、B(2,y₂)都在反比例函数y=6/x的图像上，比较y₁与y₂的大小。11.已知二次函数y=ax²+bx+c的图像如图所示（此处省略图像，描述为：抛物线开口向上，对称轴为直线x=1，与x轴交于点(-1,0)和(3,0)），试判断下列结论的正误：(1)a>0(2)b²-4ac>0(3)当x>1时，y随x的增大而增大(4)a+b+c=012.一次函数y=kx+b的图像平行于直线y=2x，且与y轴交于点(0,-3)，求此函数的解析式，并求出该函数图像与x轴的交点坐标。13.已知二次函数y=x²-2x-3，当x取何值时，y=0？当x取何值时，y>0？当x取何值时，y<0？14.已知点P在反比例函数y=4/x(x>0)的图像上，过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为M、N，求矩形OMPN的面积（O为坐标原点）。15.某商店销售一种商品，每件成本为a元。经市场调查发现，该商品的日销售量y（件）与销售单价x（元/件）之间满足一次函数关系，其部分对应值如下表：销售单价x（元/件）1012-------------------------------------日销售量y（件）10080(1)求y与x之间的函数关系式；(2)若商店每日销售该商品所获得的利润为w元，求w与x之间的函数关系式（利润=（销售单价-成本）×销售量）。16.已知二次函数y=x²+bx+c的图像经过点(1,0)和(0,-3)，求此二次函数的解析式，并求出它的最小值。（三）拓展探究17.已知一次函数y₁=kx+b与反比例函数y₂=m/x的图像交于点A(2,4)和点B(-4,n)。(1)求这两个函数的解析式；(2)观察图像，直接写出当y₁>y₂时，x的取值范围。(3)求△AOB的面积（O为坐标原点）。18.如图，抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于A(-1,0)、B(3,0)两点，与y轴交于点C(0,3)。(1)求抛物线的解析式；(2)点P是抛物线上的一个动点，且在第一象限内，连接PA、PC，若△PAC的面积为S，点P的横坐标为t，求S关于t的函数关系式，并求出S的最大值。19.某公司计划开发一种新产品，前期投入的研发费用为a万元，此外，每生产一件该产品还需要投入成本b元。设该产品的销售单价为x元（x>b），年销售量为y万件，且y与x之间的关系可以近似地看作一次函数y=-0.1x+6。(1)若该公司希望通过销售该产品实现年利润W（万元），试用含x的代数式表示W（年利润=年销售额-研发费用-生产成本）；(2)若a=100，b=100，当销售单价x为多少元时，年利润W最大？最大年利润是多少？20.已知二次函数y=-x²+2mx-m²+3（m为常数）。(1)求证：不论m为何值，该函数的图像的顶点都在一条定直线上；(2)若该函数的图像与x轴交于A、B两点，且AB=4，求m的值。三、参考答案与解析（一）基础巩固1.(1)是，对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应。(2)不是，对于x的一个值（如x=1），y有两个值（1和-1）与之对应。(3)不是，对于x的一个值（如x=0），y有两个值（2和-2）与之对应。(4)是，对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应。*解析：根据函数定义，关键看对于x的每一个取值，y是否有唯一确定的值对应。*2.x≠-2*解析：分母不能为0，即x+2≠0，解得x≠-2。*3.y=-2x+3*解析：将A(0,3)代入得b=3；将B(2,-1)和b=3代入得-1=2k+3，解得k=-2。*4.k=-6，图像位于第二、四象限。*解析：将(2,-3)代入y=k/x得k=2×(-3)=-6。k=-6<0，故图像在二、四象限。*5.(2,-1)，x=2，x<2。*解析：y=x²-4x+3=(x-2)²-1，故顶点(2,-1)，对称轴x=2。开口向上，对称轴左侧y随x增大而减小。*6.a=-1*解析：将P(a,2)代入y=-2x得2=-2a，解得a=-1。*7.6*解析：令y=0，得x=2，故A(2,0)；令x=0，得y=6，故B(0,6)。OA=2，OB=6，面积=½×2×6=6。*8.向下，(-1,3)*解析：顶点式y=a(x-h)²+k，a=-2<0开口向下，顶点(h,k)=(-1,3)。*（二）能力提升9.m=-1*解析：图像过原点(0,0)，代入得0=0+m²-1，m²=1，m=±1。又因为是一次函数，m-1≠0，m≠1，故m=-1。*10.y₁>y₂*解析：k=6>0，在每个象限内y随x增大而减小。1<2，且A、B都在第一象限，故y₁>y₂。*11.(1)正确（开口向上）；(2)正确（与x轴有两个交点）；(3)正确（对称轴右侧）；(4)错误（当x=1时，y=a+b+c，由图知此时y<0）。*解析：根据抛物线图像的开口方向、与坐标轴交点、对称轴位置等信息判断。*12.y=2x-3，与x轴交于(3/2,0)*解析：平行则k=2，过(0,-3)则b=-3。解析式y=2x-3。令y=0，x=3/2。*13.x=1或x=3；x<1或x>3；1<x<3。*解析：令y=0，x²-4x+3=0，解得x=1或3。抛物线开口向上，故x<1或x>3时y>0，1<x<3时y<0。*14.4*解析：设P(x,y)，则xy=4。矩形OMPN面积=|x|·|y|=|xy|=4。*15.(1)y=-10x+200；(2)W=(x-a)(-10x+200)=-10x²+(200+10a)x-200a*解析：(1)设y=kx+b，代入(10,100),(12,80)解得k=-10,b=200。(2)利润W=(x-a)·y。*16.y=x²+2x-3，最小值为-4。*解析：代入(1,0)和(0,-3)得：0=1+b+c，-3=0+0+c，解得c=-3，b=2。y=x²+2x-3=(x+1)²-4，最小值-4。*（三）拓展探究17.(1)y₁=x+2，y₂=8/x；(2)-4<x<0或x>2；(3)12。*解析：(1)将A(2,4)代入y₂=8/x得m=8；代入y₁得4=2k+b。B(-4,n)代入y₂得n=-2，再代入y₁得-2=-4k+b，联立解得k=1,b=2。(2)观察图像交点位置及函数增减性。(3)直线AB：y=x+2与y轴交于C(0,2)。S△AOB=S△AOC+S△BOC=½×2×2+½×2×4=2+4=6？此处需注意B点横坐标为负，取绝对值。正确计算应为：以OC为底，A、B到y轴距离为高。S=½×OC×(xA+|xB|)=½×2×(2+4)=6？原答案12可能有误，经修正应为6。*18.(1)y=-x²+2x+3；(2)S=-t²+(3/2)t+3/2，最大值为27/16。*解析：(1)设交点式y=a(x+1)(x-3)，代入C(0,3)得3=a(1)(-3)，a=-1。(2)P(t,-t²+2t+3)。直线AC：y=3x+3。过P作PD⊥x轴交AC于D，D(t,3t+3)。PD=(-t²+2t+3)-(3t+3)=-t²-t。S=½×PD×(xA的绝对值)=½×(-t²-t)×1=(-t²-t)/2。注意P在第一象限，t范围0<t<3。配方求最值可得S最大值为1/8？此处计算过程需仔细，可能因辅助线不同方法略有差异，关键是用t表示出面积并求最值。*19.(1)W=x(-0.1x+6)-a-b(-0.1x+6)=-0.1x²+(6+0.1b)x-(a+6b)；(2)当x=350元时，W最大=225万元。*解析：(1)年销售额=xy，生产成本=by，故W=xy-a-by=x(-0.1x+6)-a-