点集拓扑考试题及答案

点集拓扑考试题及答案

单项选择题（每题2分，共10题）1.拓扑空间中，离散拓扑的闭集个数是（）A.0B.1C.与集合元素个数相同D.集合的所有子集个数2.设\(X\)是拓扑空间，\(A⊆X\)，则\(A\)的内部是（）A.包含\(A\)的最小开集B.包含\(A\)的最大闭集C.含于\(A\)的最大开集D.含于\(A\)的最小闭集3.拓扑空间中，紧致空间的连续像是（）A.紧致空间B.连通空间C.离散空间D.可分空间4.实数空间\(\mathbb{R}\)的通常拓扑下，子集\((0,1]\)的边界是（）A.\(\{0,1\}\)B.\([0,1]\)C.\((0,1)\)D.\(0\)5.分离公理\(T_2\)又称作（）A.连通公理B.豪斯多夫公理C.正则公理D.正规公理6.若\(X\)是有限补空间，\(A\)是\(X\)的无限子集，则\(\overline{A}\)是（）A.\(A\)B.\(X-A\)C.\(X\)D.\(\varnothing\)7.拓扑空间\((X,\tau)\)中，\(X\)与\(\varnothing\)是（）A.开集非闭集B.闭集非开集C.既开又闭集D.既非开又非闭集8.设\(f:X→Y\)是连续映射，且\(X\)是道路连通的，则\(Y\)是（）A.紧致的B.道路连通的C.离散的D.可分的9.在平面\(\mathbb{R}^2\)的通常拓扑下，单位圆盘\(\{(x,y)|x^2+y^2<1\}\)是（）A.开集B.闭集C.既开又闭集D.既非开又非闭集10.若拓扑空间\(X\)有可数基，则\(X\)是（）A.紧致空间B.可分空间C.连通空间D.离散空间多项选择题（每题2分，共10题）1.以下哪些是拓扑空间的性质（）A.紧致性B.连通性C.可分性D.对称性2.拓扑空间的分离公理包括（）A.\(T_0\)B.\(T_1\)C.\(T_2\)D.\(T_3\)3.关于拓扑空间中的闭集，正确说法有（）A.有限个闭集的并是闭集B.任意个闭集的并是闭集C.有限个闭集的交是闭集D.任意个闭集的交是闭集4.设\(f:X→Y\)是拓扑空间之间的映射，\(f\)连续的等价条件有（）A.对于\(Y\)中任意开集\(U\)，\(f^{-1}(U)\)是\(X\)中开集B.对于\(Y\)中任意闭集\(F\)，\(f^{-1}(F)\)是\(X\)中闭集C.对于\(X\)中任意开集\(V\)，\(f(V)\)是\(Y\)中开集D.对于\(X\)中任意闭集\(G\)，\(f(G)\)是\(Y\)中闭集5.下列空间可能是紧致空间的有（）A.有限拓扑空间B.实数空间\(\mathbb{R}\)的闭区间\([a,b]\)C.离散拓扑空间D.可数补拓扑空间6.拓扑空间的连通性与道路连通性的关系是（）A.道路连通一定连通B.连通一定道路连通C.不连通一定不道路连通D.不道路连通一定不连通7.关于拓扑空间的基，正确的有（）A.基中元素的并可构成拓扑中所有开集B.基中元素的交可构成拓扑中所有开集C.一个拓扑空间可能有多个基D.离散拓扑空间的所有单元素集构成一个基8.若\(A,B\)是拓扑空间\(X\)的子集，则下列等式可能成立的有（）A.\(\overline{A∪B}=\overline{A}∪\overline{B}\)B.\(\overline{A∩B}=\overline{A}∩\overline{B}\)C.\((A∪B)^{\circ}=A^{\circ}∪B^{\circ}\)D.\((A∩B)^{\circ}=A^{\circ}∩B^{\circ}\)9.以下映射可能是同胚映射的有（）A.恒等映射B.连续的一一映射C.连续且逆连续的一一映射D.把区间\((0,1)\)映到\(\mathbb{R}\)的映射10.设\(X\)是拓扑空间，\(A⊆X\)，\(A\)的聚点\(x\)满足（）A.\(x\)的任意邻域与\(A-\{x\}\)相交非空B.\(x\)的任意开邻域与\(A-\{x\}\)相交非空C.\(x\)是\(A\)的内点D.\(x\)是\(A\)的边界点判断题（每题2分，共10题）1.离散拓扑空间中的任意子集都是既开又闭的。（）2.拓扑空间的紧致性在连续映射下保持不变。（）3.若拓扑空间\(X\)是连通的，则\(X\)不能表示为两个非空不相交开集的并。（）4.实数空间\(\mathbb{R}\)的通常拓扑下，\([0,1)\)是闭集。（）5.拓扑空间中，一个集合的闭包是包含它的最小闭集。（）6.分离公理\(T_1\)空间中，任意单点集是闭集。（）7.道路连通性是拓扑不变性质。（）8.若\(f:X→Y\)是连续映射，且\(X\)紧致，\(Y\)是\(T_2\)空间，则\(f\)是闭映射。（）9.拓扑空间的基是唯一的。（）10.可数补拓扑空间中，有限集是闭集。（）简答题（每题5分，共4题）1.简述拓扑空间中紧致性的定义。2.什么是拓扑空间的连通性？3.说明拓扑空间中连续映射的定义。4.简述分离公理\(T_2\)空间的特点。讨论题（每题5分，共4题）1.讨论紧致性与有界性在实数空间中的联系与区别。2.探讨拓扑空间的连通性和道路连通性在应用中的差异。3.分析连续映射在拓扑空间研究中的重要性。4.谈谈分离公理在拓扑空间分类中的作用。答案单项选择题1.D2.C3.A4.A5.B6.C7.C8.B9.A10.B多项选择题1.ABC2.ABCD3.ACD4.AB5.AB6.AC7.ACD8.ACD9.CD10.AB判断题1.√2.√3.√4.×5.√6.√7.√8.√9.×10.√简答题1.拓扑空间\(X\)是紧致的，若\(X\)的任意开覆盖都有有限子覆盖，即对\(X\)的任意开集族\(\{U_{\alpha}\}\)满足\(X=\cup_{\alpha}U_{\alpha}\)，存在有限个指标\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n\)使\(X=U_{\alpha_1}\cupU_{\alpha_2}\cup\cdots\cupU_{\alpha_n}\)。2.拓扑空间\(X\)是连通的，若\(X\)不能表示为两个非空不相交开集的并，即不存在非空开集\(U,V\)使\(X=U\cupV\)且\(U\capV=\varnothing\)。3.设\(f:X→Y\)是拓扑空间\(X\)到\(Y\)的映射，若对于\(Y\)中任意开集\(U\)，\(f^{-1}(U)\)是\(X\)中开集，则称\(f\)是连续映射。4.\(T_2\)空间又称豪斯多夫空间，对空间中任意两个不同点\(x,y\)，存在不相交的开邻域\(U\)和\(V\)，使\(x\inU\)，\(y\inV\)，分离性较好。讨论题1.联系：在实数空间中，紧致集一定有界。区别：有界集不一定紧致，如\((0,1)\)有界但不紧致，而闭区间\([a,b]\)既紧致又有界。2.连通性更具一般性，道路连通性更