(2025年)结构力学习题及答案

(2025年)结构力学习题及答案一、静定结构内力计算某平面刚架尺寸及荷载如图1所示（单位：m），各杆EI为常数。其中AB杆水平，BC杆竖直，CD杆与水平方向成45°角，D端为固定铰支座，A端为固定端。集中荷载F=12kN作用于BC杆中点，均布荷载q=6kN/m作用于CD杆（沿杆长方向分布），力偶M=24kN·m作用于B节点右侧（顺时针方向）。要求：（1）计算支座反力；（2）绘制AB、BC、CD杆的弯矩图（下侧或左侧受拉为正）、剪力图和轴力图。（1）支座反力计算取整体为研究对象，建立坐标系，x轴水平向右，y轴竖直向上。固定端A的反力为水平反力F_Ax、竖直反力F_Ay和反力偶M_A；固定铰支座D的反力为水平反力F_Dx、竖直反力F_Dy。由平衡方程：ΣF_x=0：F_Ax+F_Dx-q·CD·cos45°=0CD杆长度=√(3²+3²)=3√2m，沿杆长均布荷载的水平分量为q·CD·cos45°=6×3√2×(√2/2)=6×3=18kN（向右）故F_Ax+F_Dx=18kN（式1）ΣF_y=0：F_Ay+F_Dy-F-q·CD·sin45°=0均布荷载竖直分量=6×3√2×(√2/2)=18kN（向下），F=12kN（向下）故F_Ay+F_Dy=12+18=30kN（式2）ΣM_A=0：M_A+F_Dx×6（D点水平力对A的力矩，向右为正）+F_Dy×6（D点竖直力对A的力矩，向上为正）-F×3（BC杆中点距A水平距离3m，竖直力向下）-q·CD·sin45°×(3+3×(1/2))（均布荷载竖直分量的合力作用点距A水平距离：CD杆水平投影3m，合力作用点在杆中点，距D水平距离1.5m，故距A水平距离3+1.5=4.5m）-M（顺时针力偶，对A的力矩为-24kN·m）=0详细计算：均布荷载竖直分量的合力作用点水平位置：CD杆从C(3,3)到D(6,0)，中点坐标(4.5,1.5)，故水平距离A点（原点）为4.5m，竖直距离为1.5m。其对A点的力矩为竖直分量18kN×4.5m=81kN·m（顺时针，负号）。F=12kN作用于BC杆中点，BC杆坐标从B(0,3)到C(3,3)，中点坐标(1.5,3)，对A点的力矩为12kN×1.5m=18kN·m（顺时针，负号）。力偶M=24kN·m作用于B右侧，对A点的力矩为-24kN·m（顺时针）。D点反力F_Dx作用于(6,0)，对A点力矩为F_Dx×0（竖直坐标为0）+F_Dx×6（水平力对y轴力矩）=6F_Dx（逆时针，正号）。D点反力F_Dy作用于(6,0)，对A点力矩为F_Dy×6（竖直力对x轴力矩）=6F_Dy（逆时针，正号）。代入平衡方程：M_A+6F_Dx+6F_Dy-18-81+24=0（注意力偶M的符号：原方程中应为-M，即-(-24)？需重新核对：力偶M作用于B节点右侧，顺时针，对整体的力矩为-24kN·m，故方程应为M_A+6F_Dx+6F_Dy-(12×1.5)-(18×4.5)-24=0）计算右侧荷载力矩总和：12×1.5=18，18×4.5=81，18+81+24=123，故方程为M_A+6(F_Dx+F_Dy)=123由式1和式2，F_Dx+F_Dy=(18-F_Ax)+(30-F_Ay)=48-(F_Ax+F_Ay)，但需另寻条件。观察CD杆为二力杆？不，CD杆受均布荷载，非二力杆。改用截面法取D点以上部分分析：取CD杆和C节点，CD杆受力包括均布荷载、C点反力（F_Cx,F_Cy）和D点反力（F_Dx,F_Dy）。对C点取矩：F_Dx×3（D点水平力对C的水平距离3m）-F_Dy×3（D点竖直力对C的竖直距离3m）-q·CD×(3√2/2)（均布荷载合力作用于杆中点，对C点的力矩：合力=6×3√2=18√2kN，力臂为杆长的一半×sin(45°)=(3√2/2)×(√2/2)=3/2m？或直接计算力矩：均布荷载沿杆长分布，对C点的力矩=∫(0到3√2)q·x·dx（x为距C点的杆长坐标）=q×((3√2)^2)/2=6×(18)/2=54kN·m（顺时针）。故平衡方程：F_Dx×3-F_Dy×3-54=0→F_Dx-F_Dy=18（式3）联立式1、式2、式3：式1：F_Ax=18-F_Dx式2：F_Ay=30-F_Dy式3：F_Dx=F_Dy+18代入式1：F_Ax=18-(F_Dy+18)=-F_Dy取整体ΣF_x=0已满足，再取AB杆（0≤x≤3，y=3），B节点处剪力应连续。AB杆无横向荷载，剪力为常数，弯矩线性变化。重新考虑整体平衡，可能更简单的方法是将均布荷载分解为水平和竖直分量：沿CD杆的均布荷载q=6kN/m，其水平分量为q_h=q·cos45°=6×√2/2=3√2kN/m，竖直分量q_v=q·sin45°=3√2kN/m。CD杆水平投影3m，竖直投影3m，故水平方向总荷载=3√2×3√2=18kN（向右），竖直方向总荷载=3√2×3√2=18kN（向下）。此时整体平衡：ΣF_x=0：F_Ax+F_Dx=18kN（向右为正）ΣF_y=0：F_Ay+F_Dy=12kN（F向下）+18kN（q_v向下）=30kN（向上为正）ΣM_A=0：M_A+F_Dx×6（D点x=6，F_Dx向右，力矩为F_Dx×0（y=0）+F_Dx×6（对y轴））+F_Dy×6（F_Dy向上，力矩为F_Dy×6（对x轴））-12kN×1.5m（F作用于BC中点，x=1.5）-18kN×4.5m（q_v合力作用于CD中点，x=4.5）-24kN·m（M顺时针）=0即M_A+6F_Dx+6F_Dy=12×1.5+18×4.5+24=18+81+24=123由式3（通过CD杆对C点取矩）：F_Dx×3（D到C水平距离3m）-F_Dy×3（D到C竖直距离3m）-54kN·m（均布荷载对C的力矩）=0→F_Dx-F_Dy=18联立式2和式3：F_Dy=F_Dx-18，代入式2：F_Ay+(F_Dx-18)=30→F_Ay=48-F_Dx代入力矩方程：M_A+6F_Dx+6(F_Dx-18)=123→M_A+12F_Dx-108=123→M_A=231-12F_Dx再取AB杆，B点弯矩：AB杆左端A弯矩为M_A（逆时针），右端B弯矩为M_B。AB杆无横向荷载，剪力V_AB=F_Ay（竖直方向），弯矩M(x)=M_A-F_Ay·x（x从A到B，0≤x≤3）。B点弯矩M_B=M_A-3F_Ay=(231-12F_Dx)-3(48-F_Dx)=231-12F_Dx-144+3F_Dx=87-9F_DxBC杆为竖直杆（x=3，0≤y≤3），受集中荷载F=12kN在中点（y=1.5），B点弯矩M_B（左侧受拉为正），C点弯矩M_C。BC杆剪力V_BC=F_Ax（水平方向？不，BC杆竖直，剪力为水平方向，由F_Ax和C点水平反力平衡）。实际上，BC杆为竖直杆，剪力应沿水平方向，轴力沿竖直方向。BC杆的弯矩由水平力引起，假设B点水平剪力为V_Bx，C点水平剪力为V_Cx，则V_Bx=V_Cx=F_Ax（因AB杆水平，剪力为竖直方向，BC杆水平剪力由A点水平反力传递）。可能之前的坐标系设定有误，重新明确：AB杆水平（x轴），BC杆竖直（y轴），CD杆从C(3,3)到D(6,0)，故坐标正确。BC杆为竖直杆（x=3，y从0到3），荷载F=12kN作用于BC杆中点，即坐标(3,1.5)，方向竖直向下。CD杆上的均布荷载沿杆长方向，需分解为垂直于杆轴和平行于杆轴的分量，但通常计算内力时，将荷载分解为x、y方向更方便。重新计算支座反力，采用隔离体法：取D点为铰支座，约束水平和竖直位移，A点为固定端，约束水平、竖直位移和转动。整体平衡：ΣF_x=0：F_Ax+F_Dx-q·CD·cos45°=0→F_Ax+F_Dx=18kN（式1）ΣF_y=0：F_Ay+F_Dy-F-q·CD·sin45°=0→F_Ay+F_Dy=30kN（式2）ΣM_A=0：M_A+F_Dx×6-F_Dy×6-F×3-(q·CD·sin45°)×(3+3/2)-M=0解释：F_Dx作用于(6,0)，对A点的力矩为F_Dx×0（y=0）+F_Dx×6（对y轴）=6F_Dx（逆时针正）；F_Dy作用于(6,0)，对A点的力矩为F_Dy×6（对x轴，竖直力向上，力矩为F_Dy×6，顺时针负？需明确力矩方向：竖直力向上，作用点在(6,0)，对A(0,0)的力矩为F_Dy×6（逆时针正）。F=12kN向下，作用于(3,1.5)，对A点力矩为-12×3=-36kN·m（顺时针负）。均布荷载竖直分量合力18kN，作用于CD杆中点(4.5,1.5)，对A点力矩为-18×4.5=-81kN·m（顺时针负）。力偶M=24kN·m顺时针，对A点力矩为-24kN·m。故方程：M_A+6F_Dx+6F_Dy-36-81-24=0→M_A+6(F_Dx+F_Dy)=141由式1和式2，F_Dx+F_Dy=18-F_Ax+30-F_Ay=48-(F_Ax+F_Ay)，但无法直接解，需补充CD杆的平衡。取CD杆为隔离体，C点约束为刚接（与BC杆刚接），故C点有反力F_Cx、F_Cy和反力偶M_C。CD杆受均布荷载q=6kN/m沿杆长，分解为x、y方向分量：q_x=q·cos45°=3√2kN/m，q_y=q·sin45°=3√2kN/m，杆长3√2m，故总水平荷载q_x×3√2=3√2×3√2=18kN，总竖直荷载q_y×3√2=18kN。CD杆平衡：ΣF_x=0：F_Cx+F_Dx-18=0→F_Cx=18-F_Dx（式4）ΣF_y=0：F_Cy+F_Dy-18=0→F_Cy=18-F_Dy（式5）ΣM_C=0：M_C+F_Dx×3（D点x=6，C点x=3，水平距离3m）-F_Dy×3（D点y=0，C点y=3，竖直距离3m）-(18kN×1.5m)（水平荷载合力作用于杆中点，距C点水平距离1.5m）-(18kN×1.5m)（竖直荷载合力作用于杆中点，距C点竖直距离1.5m）=0水平荷载合力对C点力矩：18kN×1.5m=27kN·m（顺时针负）竖直荷载合力对C点力矩：18kN×1.5m=27kN·m（顺时针负）故方程：M_C+3F_Dx-3F_Dy-27-27=0→M_C=54-3F_Dx+3F_Dy（式6）再取BC杆为隔离体，B点刚接，有反力F_Bx、F_By和反力偶M_B；C点反力为F_Cx、F_Cy和M_C（与CD杆相反）。BC杆受集中荷载F=12kN向下，作用于中点(3,1.5)。BC杆平衡：ΣF_x=0：F_Bx-F_Cx=0→F_Bx=F_Cx=18-F_Dx（式7）ΣF_y=0：F_By-F-F_Cy=0→F_By=12+F_Cy=12+18-F_Dy=30-F_Dy（式8）ΣM_B=0：M_B-F×1.5（F作用于距B点竖直距离1.5m）-M_C-F_Cx×0（水平力作用于x=3，对B点x=3的力矩为0）+F_Cy×0（竖直力作用于y=3，对B点y=3的力矩为0）=0即M_B=12×1.5+M_C=18+M_C（式9）最后取AB杆为隔离体，A点固定端，反力F_Ax、F_Ay、M_A；B点反力F_Bx、F_By、M_B。AB杆无荷载，平衡方程：ΣF_x=0：F_Ax-F_Bx=0→F_Ax=F_Bx=18-F_Dx（与式1一致，F_Dx=18-F_Ax，正确）ΣF_y=0：F_Ay-F_By=0→F_Ay=F_By=30-F_Dy（与式2一致，正确）ΣM_A=0：M_A-M_B-F_By×3（F_By向上，作用于B点(3,3)，对A点力矩为F_By×3）=0→M_A=M_B+3F_By（式10）将式9代入式10：M_A=18+M_C+3(30-F_Dy)=18+M_C+90-3F_Dy=108+M_C-3F_Dy结合式6：M_C=54-3F_Dx+3F_Dy，代入得：M_A=108+54-3F_Dx+3F_Dy-3F_Dy=162-3F_Dx再回到整体力矩方程：M_A+6(F_Dx+F_Dy)=141→162-3F_Dx+6F_Dx+6F_Dy=141→3F_Dx+6F_Dy=-21→F_Dx+2F_Dy=-7（式11）联立式3（F_Dx-F_Dy=18）和式11：由式3：F_Dx=18+F_Dy，代入式11：18+F_Dy+2F_Dy=-7→3F_Dy=-25→F_Dy=-25/3≈-8.333kN（负号表示方向向下）则F_Dx=18+(-25/3)=29/3≈9.667kN（向右）F_Ax=18-F_Dx=18-29/3=25/3≈8.333kN（向左）F_Ay=30-F_Dy=30-(-25/3)=115/3≈38.333kN（向上）M_A=162-3F_Dx=162-3×(29/3)=162-29=133kN·m（逆时针）（2）内力图绘制AB杆（x从0到3，y=3）：轴力N_AB=F_Ax=25/3kN（压力，因向左）剪力V_AB=F_Ay=115/3kN（向下为正？需明确符号规则：剪力使微段顺时针转为正，AB杆为水平杆，剪力向下为正，故V_AB=115/3kN（正）弯矩M(x)=M_A-V_AB·x=133-(115/3)x，x=0时M_A=133kN·m（上侧受拉？题目规定下侧受拉为正，AB杆弯矩下侧受拉时，M为正。若M_A逆时针，AB杆左侧A点弯矩下侧受拉，故M(0)=133kN·m（正）；x=3时，M_B=133-(115/3)×3=133-115=18kN·m（正，下侧受拉）BC杆（y从0到3，x=3）：轴力N_BC=F_By=30-F_Dy=115/3kN（压力，因F_By向上，BC杆竖直，轴力向下为正，故N_BC=-115/3kN？需明确符号：轴力拉为正，F_By向上，BC杆下端B受向上力，上端C受向下力（F_Cy=18-F_Dy=18-(-25/3)=79/3kN向下），故BC杆轴力为压力，N_BC=-115/3kN（负）剪力V_BC=F_Bx=25/3kN（水平向右为正，BC杆剪力使微段顺时针转为正，故V_BC=25/3kN（正）弯矩M(y)=M_B-V_BC·y=18-(25/3)y（y从B到C，y=0时M_B=18kN·m，y=3时M_C=18-25=-7kN·m（左侧受拉为正，负号表示右侧受拉）CD杆（从C(3,3)到D(6,0)，参数s为距C点的杆长，0≤s≤3√2）：轴力N_CD=q·s·cos0°（沿杆轴方向的荷载分量）+F_Cx·cos45°+F_Cy·sin45°（C点反力沿杆轴分量）。F_Cx=18-F_Dx=25/3kN（向左），F_Cy=18-F_Dy=79/3kN（向下）。杆轴方向单位向量为(cos45°,-sin45°)，故C点反力沿杆轴分量为F_Cx·cos45°+F_Cy·(-sin45°)=(25/3)(√2/2)-(79/3)(√2/2)=(-54/3)(√2/2)=-9√2kN（压力）。均布荷载沿杆轴方向分量为q·s（q=6kN/m沿杆长，故轴力增量为∫0到s6ds=6s），因此N_CD=-9√2+6s（s=0时N_C=-9√2kN，s=3√2时N_D=-9√2+6×3√2=9√2kN，拉力）剪力V_CD=垂直于杆轴的荷载分量+F_Cx·sin45°+F_Cy·cos45°（C点反力垂直杆轴分量）。垂直杆轴的荷载分量为0（均布荷载沿杆轴），故V_CD=(25/3)(√2/2)+(79/3)(√2/2)=(104/3)(√2/2)=52√2/3kN（常数，因无垂直杆轴荷载）弯矩M(s)=M_C+V_CD·s-(1/2)q·s²·sin0°（沿杆轴荷载不产生弯矩）=-7+(52√2/3)s（s=0时M_C=-7kN·m，s=3√2时M_D=-7+(52√2/3)(3√2)=-7+52×2=97kN·m）二、力法求解超静定结构图2所示三次超静定刚架，各杆EI相同，L=4m，F=20kN，q=10kN/m。A端固定，B、C、D为刚节点，E为固定铰支座，F为弹性支座（弹簧刚度k=EI/L³）。要求：（1）选择基本体系；（2）建立力法典型方程；（3）计算系数和自由项；（4）求多余力并绘制弯矩图。（1）基本体系选择原结构为三次超静定（A端固定3个约束，E端1个，F端1个，总约束数=3+1+1=5，自由度=3×4-5=7？实际刚架节点数=5（A,B,C,D,E,F？需明确结构：假设A(0,0)固定，AB竖直长L，BC水平长L，CD竖直长L，DE水平长L，F为CD杆中点下方弹性支座，即F点坐标(L,L/2)，弹簧连接F点与基础。原结构超静定次数=总约束数-可变体系自由度=(A端3约束+E端2约束（铰支座有2个？不，铰支座为1个水平和1个竖直约束，共2个；弹性支座F为1个竖直约束）)-刚架自由度（3个节点B,C,D，每个节点2个位移+1个转角，共9个自由度；E点2个位移约束，F点1个位移约束，A点3个位移约束，总约束数=3+2+1=6，故超静定次数=6-3×(4-1)=6-9=-3？显然错误，正确方法：刚架为无多余约束的几何不变体系时，约束数=3n（n为刚片数）。此刚架可视为由A-B-C-D-E组成的主刚片（1个刚片），F点通过弹簧连接，故超静定次数=弹簧提供的多余约束数+原刚架的超静定次数。原刚架A-B-C-D-E中，A固定（3约束），E铰支座（2约束），共5约束，刚片数=1，故原刚架静定（3×1=3≤5，超静定次数=5-3=2），加上F点的弹性支座（提供1个多余约束），总超静定次数=2+1=3，与题目一致。选择基本体系：切断F点的弹性支座（多余力X3），并将E铰支座的水平反力X1、竖直反力X2作为多余力，得到基本体系为A固定，B-C-D-E为静定刚架，F点自由。（2）力法典型方程Δ1=Δ11X1+Δ12X2+Δ13X3+Δ1P=0（E点水平位移为0）Δ2=Δ21X1+Δ22X2+Δ23X3+Δ2P=0（E点竖直位移为0）Δ3=Δ31X1+Δ32X2+Δ33X3+Δ3P=-X3/k（F点竖直位移等于弹簧变形，向下为正，X3为弹簧拉力，故位移=-X3/k）（3）系数和自由项计算各杆长度：AB=BC=CD=DE=L=4m，CF=L/2=2m（CD杆中点到F点竖直距离）。绘制单位力作用下的弯矩图：X1=1（E点水平向右）：AB杆无弯矩，BC杆弯矩M1=1×L（C点）=4kN·m（上侧受拉），CD杆弯矩M1=4kN·m（左侧受拉），DE杆弯矩M1=1×x（x从E到D，0≤x≤4），最大4kN·m（下侧受拉）。X2=1（E点竖直向上）：DE杆弯矩M2=1×x（x从E到D，0≤x≤4），最大4kN·m（上侧受拉），CD杆弯矩M2=4kN·m（右侧受拉），BC杆弯矩M2=4kN·m（下侧受拉），AB杆弯矩M2=4kN·m（右侧受拉）。X3=1（F点竖直向上）：CD杆弯矩M3=1×(L/2-y)（y从C到F，0≤y≤2），F点弯矩M3=0，C点弯矩M3=1×2=2kN·m（右侧受拉），BC杆和AB杆无弯矩。荷载P作用：F=20kN作用于BC杆中点（x=L/2=2m），弯矩M_P=20×2=40kN·m（下侧受拉）；q=10kN/m作用于DE杆，弯矩M_P=10×x²/2（x从E到D，0≤x≤4），最大10×16/2=80kN·m（上侧受拉）。计算δ11=∫(M1²)/(EI)ds：AB杆：0BC杆：(4²×L)/(EI)=16×4/EI=64/EICD杆：(4²×L)/(EI)=64/EIDE杆：∫0到L(x²)dx/EI=(L³/3)/EI=64/(3EI)δ11=64+64+64/3=(192+192+64)/3=448/3EIδ12=δ21=∫(M1M2)/(EI)ds：BC杆：4×4×L/EI=64/EICD杆：4×4×L/EI=64/EIDE杆：∫0到Lx×xdx/EI=L³/3EI=64/3EIδ12=64+64+64/3=448/3EIδ13=δ31=∫(M1M3)/(EI)ds：CD杆：4×2×(L/2)/EI=4×2×2/EI=16/EI（M1在CD杆为4