专题08 利用二阶导函数解决导数问题 (典型例题+题型归类练)（原卷版）

专题08利用二阶导函数解决导数问题(典型例题+题型归类练)一、必备秘籍1、函数极值的第二判定定理：若在附近有连续的导函数，且，（1）若则在点处取极大值；（2）若则在点处取极小值2、二次求导使用背景（1）求函数的导数，无法判断导函数正负；（2）对函数一次求导得到之后，解不等式难度较大甚至根本解不出.（3）一阶导函数中往往含有或3、解题步骤：设，再求，求出的解，即得到函数的单调性，得到函数的最值，即可得到的正负情况，即可得到函数的单调性.二、典型例题例题1．（2022·辽宁·渤海大学附属高级中学模拟预测）已知函数的最小值为．(1)求的值；(2)已知，，在上恒成立，求的最大值．（参考数据：，）第（2）问解题思路第1步：已知，，在上恒成立通用方法，变量分离法第2步：变量分离：对恒成立第3步：构造函数：构造函数，等价转化：，确定解题目标第4步：借助导数研究，（正负不容易确定，含有，故需要二阶导）由于导函数正负不容易确定，一般我们会利用二阶导研究的正负；第5步：令：，研究的正负：因为在上单调递增，，，且的图象在上不间断，所以存在，使得，即，则．所以当时，单调递减；当时，单调递增．则的最小值为，，由对勾函数性质得，，所以，①，在上单调递增，利用单调性性质直接判断；②由，，由零点存在定理可以确定存在，使得，（此处是隐零点法，设而不求）得到：即，则．（此处后面需代入替换）③说明的草图可以理解为：这样就说明：当时，单调递减；当时，单调递增．说明：的最小值为，，由对勾函数性质得，，所以，第6步：所以：所以在区间上单调递增所以．所以存在整数满足题意，且整数的最大值为．由得到说明：从而有：在区间上单调递增例题2．（2022·北京·高二期末）已知函数.(1)求曲线在点处的切线方程；(2)当时，求证：函数存在极小值；(3)请直接写出函数的零点个数.第（3）问解题思路第（1）步：求函数的零点个数，等价转化为两个函数交点个数求零点个数通用的转化法，转化为求两个函数图象交点的个数；第（2）步：由，可得，显然是函数的零点，当时，函数的零点即为方程的解，这样转化为：和交点的个数；第（3）步：研究的图象：（由于正负难以确定，故提出的有效部分，令：借助，确定的正负）由于很复杂，无法直接确定正负情况，所以，进行二阶导第（4）步：研究，即：，当时，，当时，，函数在上递增，在上递减，，通过二阶导当时，，当时，，函数在上递增，在上递减，得到：，从而说明了第（5）步：这样说明：，在，上都递减这样就得到在，上都递减第（6）步，借助单调性，研究的取值：当时；；对于时，（属于型，可利用洛必达法则：）当属于也可由洛必达法则求出，本题的另外一个难点是得到在，上都递减无法画出比较精确的图象，本例借助了极限，洛必达法则等方法辅助画图第（7）步：当或时，此方程无解，所以，当或时，函数有一个零点，当或时，函数有两个零点.题型归类练1．（2022·贵州铜仁·高二期末（理））设函数的导函数为．(1)当时，研究的单调性；(2)讨论极值点的个数．2．（2022·福建省福州第一中学高二期末）已知函数，且.(1)求a；(2)证明：存在唯一的极小值点，且.3．（2022·全国·模拟预测（理））已知．(1)讨论的零点的个数．(2)求证：．4．（2022·山东日照·三模）已知函数．(1)当时，求函数的单调区间；(2)当时，讨论的零点个数．5．（2022·江苏泰州·模拟预测）已知函数，．(1)求的单调区间；(2)求证：存在极小值；(3)若的最小值等