【初中数学】等腰三角形第3课时教学课件 2025-2026学年北师大版八年级数学下册

1.2.3等腰三角形第三课时北师大版八年级下册数学学习目标1.掌握等边三角形的两种判定定理，能准确运用判定定理判断三角形是否为等边三角形。2.探索并掌握含30°角的直角三角形的性质，理解性质的推导逻辑。3.能综合运用等腰三角形、等边三角形的性质与判定，以及含30°角的直角三角形的性质，解决线段相等、角度计算、简单几何证明等问题。复习引入1.满足什么条件的三角形是等腰三角形？有两边相等的三角形是等腰三角形（边）有两个角相等的三角形是等腰三角形（角）2.满足什么条件的三角形是等边三角形？三边都相等的三角形是等边三角形还有其他的判定方法吗？情景导入思考：一个三角形满足什么条件时是等边三角形？一个等腰三角形满足什么条件时是等边三角形？

请证明自己的结论，并与同伴进行交流。猜测：1.三个角都是60°的三角形是等边三角形2.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形新课探究如图，在△ABC中，∠A=∠B=∠C=60°。求证：△ABC是等边三角形。ABC证明：∵∠A+∠B+∠C=180°∠A=∠B=∠C∴∠A=∠B=∠C=60°∵∠B=∠A=60°∴AC=BC（等角对等边）∵∠B=∠C=60°∴AC=AB

∴AC=AB=BC∴△ABC是等边三角形归纳总结等边三角形的判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形几何语言：在△ABC中，∵∠A=∠B=∠C∴△ABC是等边三角形新课探究如图，在△ABC中，AB=AC,∠B=60°。求证：△ABC是等边三角形证明：∵AB＝AC，∠B=60°∴∠C=∠B=60°则∠A=180°–∠B–∠C=60°∴∠A=∠B=∠C=60°∴AB=AC=BC∴△ABC是等边三角形ABC归纳总结等边三角形的判定定理1：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形几何语言：在△ABC中，∵AB=AC，∠A=60°(或∠B=60°或∠C=60°)∴△ABC是等边三角形练一练已知，如图BD//AC,∠C=60°，DA平分∠BDC.求证：△ADC是等边三角形.证明：∵BD//AC∴∠BDA=∠DAC又∵DA平分∠BDC∴∠BDA=∠ADC∴∠DAC=∠ADC又∵∠C=60°∴∠DAC=∠ADC=∠C=60°∴△ADC是等边三角形尝试思考（1）用两个完全相同的含30°角的三角尺，你能拼成怎样的三角形？能拼出一个等边三角形吗？（2）在上述拼接过程中，你发现了什么结论？发现：30°角的对边等于三角尺斜边的一半如何证明这个结论？发现证明已知：如图，△ABC

是直角三角形，∠C

=

90°，∠A

=

30°。求证：BC

=

AB。ABC证明：如图，延长

BC

至

D，使

CD

=

BC，连接

AD。∵∠ACB

=

90°∴∠ACD

=

90°∵AC

=

AC∴△ABC

≌

△ADC（SAS）∴AB

=

AD(全等三角形的对应边相等)D在△ABC中，∠BAC+∠B+∠ACB=180°(三角形内角和定理)。∵∠BAC

=30°，∠ACB=90°，∴∠B=180°－30°－90°=60°。∴△ABD

是等边三角形(有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形)。∴BC

=

BD

=

AB。归纳总结含30°角的直角三角形的性质定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半几何语言：在Rt△ABC中，∠C=90°∵∠A=30°∴BC=ABABC30°例题展示例3求证：如果等腰三角形的底角为15°，那么腰上的高是腰长的一半BADC证明：在△ABC中，∵AB=AC，∠B=15°∴∠ACB=∠B=15°(等边对等角)∴∠DAC=∠B+∠ACB=15°+15°=30°(三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和)∵CD是腰AB上的高∴∠ADC=90°∴CD=

AC(在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半)∴CD=

AB随堂练习1.下列条件中，不能判定△ABC为等边三角形的是（D）A.AB=BC=ACB.∠A=∠B=∠C=60°

C.AB=AC，∠B=60°D.AB=AC，∠A=50°2.在△ABC中，AB=AC，若添加一个条件

，则△ABC为等边三角形（写出一个即可）。∠A=60°随堂练习3.已知：如图，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=60°，求证：△ABC是等边三角形。证明：∵AB=BC（已知）∴△ABC是等腰三角形（有两边相等的三角形是等腰三角形）又∵∠ABC=60°（已知）∴△ABC是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）随堂练习4.已知：在△ABC中，∠A=60°，∠B=60°，AB=5cm，求△ABC的周长.解：∵∠A=60°，∠B=60°（已知）∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-60°-60°=60°（三角形内角和为180°）∴∠A=∠B=∠C=60°∴△ABC是等边三角形（三角相等的三角形是等边三角形）∵AB=5cm，∴AB=BC=AC=5cm（等边三角形三边相等）∴△ABC的周长=5+5+5=15cm课堂小结5.已知：在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，且∠BAD=30°，求证：△ABC是等边三角形。证明：∵AD平分∠BAC（已知）∴∠BAC=2∠BAD（角平分线的定义）又∵∠BAD=30°（已知），∴∠BAC=2×30°=60°∵AB=AC（已知）∴△ABC是等腰三角形（有两边相等的三角形是等腰三角形）又∵∠BAC=60°，∴△ABC是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）思维训练

思维训练7.已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D在BC上，且BD=AD，DC=AC，求△ABC各内角的度数，并判断△ABC是否为等边三角形。解：设∠B=x°，∵BD=AD（已知），∴∠BAD=∠B=x°（等腰三角形两底角相等）∴∠ADC=∠BAD+∠B=2x°（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和）又∵DC=AC（已知），∴∠CAD=∠ADC=2x°（等腰三角形两底角相等）∵AB=AC（已知），∴∠C=∠B=x°（等腰三角形两底角相等）在△ABC中，∠BAC+∠B+∠C=180°（三角形内角和为180°）即∠BAD+∠CAD+∠B+∠C=180°代入得：x+2x+x+x=180，解得x=36∴∠B=∠C=36°，∠BAC=∠BAD+∠CAD=36°+72°=108°∵△ABC的三个内角都不相等，且三边也不相等（AB=AC≠BC）∴△ABC不是等边三角形