【初中数学】《直角三角形》第1课时课件 2025-2026学年北师大版数学八年级下册

三角形的证明及其应用第3节直角三角形第1课时直角三角形的性质与判定定理学习目标

1.通过对直角三角形两个锐角互余的证明,以及对其逆命题的探究，掌握直角三角形角的性质与判定方法.2.通过构造全等三角形的方法证明勾股定理的逆定理,理解从边的关系判定直角三角形的逻辑.3.通过对比原命题与逆命题的条件和结论,理解互逆命题、互逆定理的概念,能辨别命题之间的互逆关系.教学设计的基本环节协作破冰问题构建情境启航教师示范巩固拓展当堂检测反思总结作业设计情境启航

问题:美丽的七巧板可以通过改变图形的位置拼成各种各样的图案，它由七块基础图案组成，其中数量最多的就是直角三角形，思考直角三角形都有哪些性质？问题构建

问题1:分类研究是数学学习过程中常用的方法，你能和同学们分享三角形的分类方法吗？三角形角锐角三角形钝角三角形直角三角形边等腰三角形非等腰三角形问题构建

问题2:聚焦直角三角形的内角关系，你有哪些思考？直角三角形两锐角互余.请同学们独立完成上述定理的证明.如图,三角形ABC是直角三角形,∠C=90°,求证：∠A+∠B=90°证明：在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°∵∠C=90°∴∠A+∠B=180°-∠C=180°-90°=90°问题构建

问题3:那如果某一个三角形中有两个角互余，这个三角形是直角三角形吗？如图,在△ABC中，∠A+∠B=90°.求证：∠C=90°证明：在△ABC中∵∠A+∠B+∠C=180°∵∠A+∠B=90°∴∠C=180°-（∠A+∠B）=180°-90°=90°定理有两个角互余的三角形是直接三角形问题构建

问题4:聚焦直角三角形的边的关系，你有哪些思考？1.任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.2.勾股定理直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.追问:你还记得勾股定理是怎样探究的吗？

我们曾经利用数方格和割补图形的方法得到了勾股定理。实际上，利用基本事实和已有定理，我们能够证明勾股定理（有关证明过程参见本节“阅读・欣赏”,请大家课下自行阅读，互相交流）问题构建

问题5:在一个三角形中,当两边的平方和等于第三边的平方时,我们曾用测量的办法得出“这个三角形是直角三角形”的结论.你能用基本事实和已有定理证明这一结论吗？与同伴进行交流.

追问1:要证明△ABC是直角三角形,一般需要证明有一个角是直角.这里的已知条件是边的关系,由此你能想到什么？

协作破冰追问2:借助边的关系,你能构造一个直角三角形,使它与△ABC全等吗？你能描述你的构造步骤吗？1.构造一个直角∠D=90°2.以点D为圆心，分别以CA、CB为圆心画弧交直角的两边于E、F两点3.连接EF.协作破冰

协作破冰定理4:如果三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形.定理3:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.定理1：直角三角形两锐角互余.定理2:有两个角互余的三角形是直接三角形问题6:观察本节第一个定理和第二个定理,它们的条件和结论之间有怎样的关系？第三个定理和第四个定理呢？与同伴进行交流.定理1的条件和定理2的结论互换,定理1的结论和定理2的条件互换,且都经过证明为真命题.定理3的条件和定理4的结论互换,定理3的结论和定理4的条件互换,且都经过证明为真命题.协作破冰问题7:观察下面三组命题,每组中两个命题的条件和结论也有类似的关系吗？与同伴进行交流.

教师示范组别条件与结论的关系是否都正确第一组两个命题的条件与结论完全互换第一个结论正确，第二个结论错误第二组两个命题的条件与结论完全互换第一个结论正确，第二个结论错误第三组两个命题的条件与结论完全互换两个结论都正确在两个命题中,如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件,那么这两个命题称为互逆命题；如果把其中一个命题称为原命题,那么另一个命题就称为它的逆命题.教师示范问题8:你能写出命题“如果两个有理数相等，那么它们的平方相等”的逆命题吗？它们都是真命题吗？

巩固拓展问题9:原命题是真命题,它的逆命题不一定是真命题.如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它也是一个定理,其中一个定理称为另一个定理的逆定理.例如,本节学习的第一个定理和第二个定理就是一对互逆定理，第三个定理和第四个定理也是一对互逆定理.你还能举出一些互逆定理的例子吗？原定理：两直线平行，同位角相等.逆定理：同位角相等，两直线平行.原定理：两直线平行，内错角相等.逆定理：内错角相等，两直线平行.原定理：两直线平行，同旁内角互补.逆定理：同旁内角互补，两直线平行.巩固拓展练习：下列命题的逆命题是假命题的是(

)D

问题10:请判断命题“全等三角形的对应角相等”的逆命题,并判断逆命题的真假.思考:为什么有的定理有逆定理,有的没有？回答问题.逆命题：对应角相等的两个三角形是全等三角形.显然这是一个假命题，老师用的三角板和大家用的三角板就可以作为反例.定理有没有逆定理，关键看它的逆命题能否被证明是真命题当堂检测

当堂检测

当堂检测2.下列命题的逆命题不是真命题的是(

)A

当堂检测

B

反思总结1.本节课学习的两组互逆定理（直角三角形的角性质与判定、勾股定理与逆定理）,它们的条件和结论是如何相互转化的？这对你理解“性质”与“判定”的关系有什么启发？2.证明勾股定理的逆定理时,我们用到了“构造全等三角形”的方法,这种“构造辅助图形”的思路在几何证明中还有哪些常见的应用场景？3.你能结合本节课的内