导数基础练习题

导数根底题

1.与直线2x—），+4=0的平行的抛物线y=F的切线方程是（）

A.2x-y+3=0B.2x-y-3=0

C.2x-4-1=0D.2x-y-1=0

2.函数），=（x+l）2（x-l）在x=l处的导数等于()

A.1B.2C.3D.4

3.过抛物线y=/上的点M（-g,；）的切线的倾斜角为（）

71兀c3兀兀

A.-B.-C.D.—

4342

4.函数y=1+3不一/有（）

（A）极小值-1,极大值1（B）极小值-2,极大值3

（C）极小值-2,极大值2（D）极小值-1,极大值3

2)

1、y（x）=x,那么r（3）等于（

A.0B.2xC.6D.9

2、/（x）=0的导数是（）

A.0B.1C.不存在D.不确定

3、），=正的导数是（）

A.3x~B.—x~C.—

32

4、曲线），=x〃在x=2处的导数是12,那么〃等于（）

A.IB.2C.3D.4

5、假设〃x）=我,那么r⑴等于（）

A.0B.—C.3D.—

33

6、y=f的斜率等于2的切线方程是（）

A.2x-y+\=0B.2x-y+l=0或2x-y-1=0

C.2x-y-1=0D.2x—尸0

7、在曲线y=V上的切线的倾斜角为乙的点是()

4

A.(0,0)B.(2,4)C七(,1出1A户.匕(\a1A

8、/(x)=x-5+3sinx,那么/'(x)等于()

A.-5x6-3cosxB.A;"+3cosxC.-5x*+3cosxD.x6-3cosx

9、函数y=cos-?x的导数是()

A.-2cosxsinxB.sin2XCOS-4xC.-2cos2xD.-2sin2x

10、设y=/(sin.Y)是可导函数，那么y；等于()

A./'(sinx)B.7'(sinx)cosx

C./"(sinx)-sinxD./"(cosxj-cosx

11、函数y=4(2—x+3/)2的导数是()

A.8(2-x+3x2)B.2(-1+6A)2

C.8(2-X+3X2)(6J:-1)D.4(2-X+3J:2)(6X-1)

12、y=siM3x+5cosf的导数是()

A.2sin3x-5sinx2B.sin6x-10xsinx2

C.3sin6x+10xsinx2D.3sin6x-10xsinx2

13、曲线y=4x-1在点(_b3)处的切线方程是()

A.y=7x+4B.y=7x+2C.y=x-4D.y=x-2

14,a为实数,/(x)=(x2-4)(x-r/),且尸(一1)=0,那么〃=

17、正弦曲线)，=sinx上切线斜率等于;的点是___________.

18、函数)，=1gx在点(1,())处的切线方程是__________________________.

导数练习题(B)

1.(此题总分值12分)

函数/(x)=ax3+bx2+(c-3a-2h)x+d的图象如下图.

(I)求c,d的值；(II)假设函数/(*)在x=2处的切线方程为

3x+y-11=(),求函数/(幻的解析式；(HI)在(II)的条件下，函数)，=/(#

3

与y=§r(X)+5x+，〃的图象有二个不同的交点，求用的取值范围.

2.(本小题总分值12分)

函数/(X)=6/In%-OY-3(6/G/?).

(I)求函数/(X)的单调区间；

(II)函数/*)的图象的在x=4处切线的斜率为［，假设函数由外=:丁+丁"，。)+'］在区间

232

(1,3)上不是单调函数，求m的取值范围.

3.(本小题总分值14分)

函数/(%)=V+加+施+c的图象经过坐标原点，且在/=1处取得极大值.

(I)求实数。的取值范围；

(H)假设方程/(x)=-C祟匚恰好有两个不同的根，求/(幻的解析式；

4.(本小题总分值12分)

常数a＞0,e为自然对数的底数，函数,f(x)=e'7,^(x)=x2-a\x\x.

(I)写出f(x)的单调递增区间,并证明，＞。；

(II)讨论函数y=g(x)在区间(l,e")上零点的个数.

5.(本小题总分值14分)

函数/(x)=In(x-I)-A:(x-l)4-l.

(I)当k=1时，求函数/(力的最大值;

(II)假设函数/(幻没有零点，求实数%的取值范围；

6.(本小题总分值12分)

x=2是函数/(幻=(x2+ax-2a-3)ex的一个极值点(e=2.718…).

(I)求实数。的值；

(II)求函数/(x)在xe弓,31的最大值和最小值.

7.(本小题总分值14分)

函数/(x)=x2-4x+(2-a)Inx,(awR、a手0)

(I)当a=18时，求函数/(x)的单调区间；

(II)求函数/(x)在区间［e,/］上的最小值.

8.(本小题总分值12分)

函数/*)=4@一6)+。111%在工£(2,+0))上木再有单调性.

(I)求实数a的取值范围；

in)假设r(x)是/(x)的导函数，设g*)=/(x)+6-彳，试证明：对任意两个不相等正数X、X,,

AT

ao

不等式Ig。)一g(W)|＞而IX,-々I恒成立•

9.(本小题总分值12分)

函数/(x)=^x2-av+((7-l)ln＞1.

(I)讨论函数/(©的单调性；

(H)证明：假设。＜5,则对任意内,占w(0,+oo),X［有"^—，"2)〉_］.

七一工2

10.(本小题总分值14分)

1、

函数/(%)=—x+alnx,g(x)=(a+l)x,。工一1.

2

(I)假设函数/(x),g(x)在区间［1,3］上都是单调函数且它们的单调性相同，求实数。的取值范围;

2.(本小题总分值12分)

函数/(x)=a\nx-ax-3(。GR).

(I)求函数f(x)的单调区间;

(ID函数/(x)的图象的在x=4处切线的斜率为假设函数=在区间

(1,3)上不是单调函数，求m的取值范围.

F：(I)/,(x)=a(1-X)(x>0)(2分)

x

当a>(X也/(x)的单调增区间为(0,1］减区间为［1,笆)

当av0H寸(x)的单调增区间为［1,80)，减区间为(。，4

当a=l时，/(幻不是单调函数(5分)

(II)/(4)=一+怖得〃=一2,/&)=一21111+2工一3

1

322

g(x)=—x+(一+2)x-2xtg'(x)=x+(/M+4)X-2(6分)

32

■

，⑴<0m<-3,

'(8分)J19(10分)/HG(---3)(12分)

［g<3)>0.心3

3.(本小题总分值14分)

函数/(x)=V+ar2+加+。的图象经过坐标原点，且在x=l处取得极大值.

(I)求实数。的取值范围；

(II)假设方程/。)=-明口匚恰好有两个不同的根，求/(x)的解析式；

(III)对于(II)中的函数/(X),对任意a、0wR,求证:|/(2sina)-/(2sin^)|<81.

解：(i)/(0)=0nc=0，r(x)=3f+2av+女尸(1)=0=>力=-2a-3

由f(x)=0=>x=lnJU=-幺F，因为当x=1时取得极大值,

所以-也±2>1=>a<-3,所以。的取值范围是：(3,-3)；

3

(4分)

(II)由下表:

2a+3/2a+3、

X(-8,1)1(—―

3

fM+0-0-

极小值

/(x)极大值

递增一a-2递减空％〃+3)2递增

27

依题意得：答3+3)」号①，解得：-9

所以函数的解析式是：/(x)=x3-9.r2+15x

(10分)

illE对任意的实数a,夕都有—2W2sincr<2,-2<2sin^<2,

在区间［-2,2］有：/(-2)=-8-36-30=-74,/(I)=7,/(2)=8-36+30=2

函数在区间［-2,2］上的最大值与最小值的差等于81,

所以|/(2sina)-/(2sin/7)|<81.

(14分)

4.(本小题总分值12分)

常数。>0,e为自然对数的底数,函数/(x)=e'一x,g(x)=Y-alnx.

(I)写出的单调递增区间，并证明aAG：

(II)讨论函数y=g(x)在区间(1,/)上零点的个数.

解：⑴=得f(x)的单调递增区间是(0,+oo),..............(2分)

・・・/(4>/(0)=1,即，...........(4分)

由g'(x)=O，得工=三人,

(H)g'(X)列表

Jia(苧,+8)

X(o回

g'a)-0+

g(x)单调递减极小值单调递增

当工=警时，函数)，=g(x)取极小值g(滓)无极大值.

..............16分)

g(l)=l>0,g(e<,)=e2a-a2=(ea+a)(ea-a)>0..............18分)

⑴当詈41,即0<a£2时，函数y=g(x)在区间(l,e")不存在零点

(11)当---->1,即。>2时

2

假设立1一衅)>0,即时，函数y=g(x)在区间(W)不存在零点

假设“1-呜)=0,即。=2«时，函数尸g(x)在区间(W)存在一个零点x=e；

假设即a>2e时，函数y=*(x)在区间(1,/)存在两个零点；

综上所述，y=g(x)在(l,e“)上，我们有结论：

当时，函数”乃无零点;

当。=2时，函数/(x)有一个零点；

当。时，函数/(x)有两个零点.

..............(12分)

5.(本小题总分值14分)

函数f(x)=ln(x-1)-k(x-1)+1.

(I)当％=1时，求函数/a)的最大值;

(in假设函数八#没有零点，求实数攵的取值范围；

解：⑴当女=1时，f(x)=—

x—1

/(©定义域为(1,+8),令/(x)=0,得x=2,......................(2分)

•・,当xwQ2)时,八刈>0,当xw(2,依附f(x)<0,

・••/'(X)在(1,2)内是增函数，在(2,+8)上是减函数

，当％=2时，/(幻取最大值/(2)=0......................(4分)

(II)①当&40H寸，函数)，=ln(x-l)图象与函数)，=人不-1)-1图象有公共点，

，函数/(幻有零点，不合要求：............(8分)

1、+k_kx"x-)

②当女>on寸，r(x)=—--k=l----------J........................(6分)

x-1x-1x-\

攵+[k+11

令f\x)=0,Wx=-----,VX€(l,------丽J'(x)>0,xw(l+—,+30)时,/'(x)<。，

kkk

・・・/(外在(11+3内是增函数，在u+L+oo)上是减函数，

kk

・•・/(x)的最大值是/(I+■!■)=—Ink,

k

•.•函数/(x)没有零点，.••一Ink<0,k>\,

因此,假设困数/没有零点，那么实数攵的取值范围2w(l,y)........................(10分)

6(本小题总分值12分)

x=2是函数/(x)=(>?+》-2〃-3)八的一个极值点(e=2.718…).

(I)求实数。的值；

(II)求函数/(x)在工金仁⑶的最大值和最小值.

解：⑴由/3=，+内-2"3)/可得

/'(X)=(2x+a)ex+(x2+ax-la-3)，=［x2+(2+a}x-a-引...(4分)

•・•x=2是函数f(x)的一个极值点，・•・/(2)=0

・・・(4+5)/=0,解得。二-5.................(6分)

(ID由ra)=a-2)a-i)->o,得/(X)在(-8』)递增，在(2+8)递增，

由/'(x)<0,得/(x)在在(1,2)递减

・・・/(2)=/是/(幻在群弓,3］的最小值；..........(8分)

37-37-1-I—3

/(-)=-e2,/(3)=e3V/(3)-/(-)=e3--e2=-e2(4ey/e-7)>0,f(3)>/(-)

乙*14*1*■乙

.•・/(工)在xcg,3］的最大值是/(3)=/..................(12分)

7(本小题总分值14分)

2

函数f(x)=X-4x+(2-a)Inxt(a邑R,a丰0)

(I)当a=18时，求函数/(x)的单调区间；

(II)求函数—在区间［e,/］上的最小值.

解：(I)/(x)=x2-4x-16Inx,

162U+2)(x-4)

J(x)=2x-4-----=---------------------2分

xx

由/'(x)>0得0+2)。-4)>0,解得x>4或x<-2

注意到K>0,所以函数人k)的单调递增区间是(4,十8)

由/'(.)v0得(x+2)(x-4)<0,解得-2Vx<4,

注意到x>0,所以函数fix)的单调递减区间是(0,4］.

综上所述，函数/(M的单调增区间是(4,+8),单调减区间是(0,4］6分

(II)在xw®/］时，f(x)=x2-4x+(2-a)lnx

/•«/xcA2—。2x~—4x+2—。

所以f(x)=2x-4+------=-----------------------,

XX

设g(x)=2x2-4x+2-。

当。<0时，有△=16+4x2(2—4)=8。<0,

此时g(x)>0,所以/'(x)>0,/(x)在［e,/］上单调递增，

2

所以/Wmin-f(e)-e-4e+2-a8分

当a>0时，△=16—4X2(2—4)=84>0,

令/'(幻>0,即2X2-4X+2-〃>0,解得X>1+字或X<141a

2

42a41a

令/'(幻<0,即一4工+2—avO,解得1--------<X<1+-------.

22

①假设1+叵之4,即。之2(f-1)2时，

2

“X)在区间［de?］单调沸减，所以〃的,=/(/)=e4—4/+4—2〃.

②假设e＜l+叵＜«2,即2修-＜。＜2(/-1)2时间，

2

/(X)在区间［6,1+乂|人］上单调递减，在区间［1+?,《2］上单调递增，

所以/(X)min=/d+

2

③假设1+—We,即0＜处2«-1)2时，在区间上/］单调递增,

所以/'(x)min=/(e)=e2-4e+2-〃

综上所述，当吟2(。2-1)2时，f(x)1nHi=/-4/+4-2〃；

当2(1)2<。<2(f—1)2时，/u)min=|

当〃w2(e-l)2时，/(外叫=/-4e+2—。14分

8.(本小题总分值12分)

函数/(x)=x(x-6)+4Mx在xe(2,+oc)上小再号单调性.

(I)求实数。的取值范围；

2

(II)假设尸(%)是/(x)的导函数，设g(x)=/(x)+6-彳，试证明:对任意两个不相等正数不x,,

x~

4R

不等式iga)-g(%2)i＞万।石-与1恒成立.

乙/

解：(I)fM=2x-6+-=2x'-6x+a,....................(2分)

xx

vfix)在kw(2,田)上不必有单调性，，在Xw(2,+00)上/'(幻有正也有负也有0,

即二次函数)，=2/-6%+。在xt(2,+oo)上有零点............(4分)

Vy=2x26xIa是对称轴是％=开口向上的抛物线，上y=22?62ia<0

的实数。的取值范围(-8,4)....................(6分)

(II)由(I)g(x)=2x+---,

XX7'

方法1：g(x)=f[x}一--+6=2x+--一r(X>0),

ATXX

..4.“、c。4_442X3-4x+4八、

•a<4,•・g(x)=2—7H—r>2--H--=---------------,...............(8分)

X2x3rx3X3

.'r44\8124(2x-3)

设h[x}=2—r+—»h(x)=——-=-----------

x~XXXX

aaaau

/7（工）在（0,一）是减函数，在（一,+8）增函数，当％=一时，取最小值一

22227

•，・从而g，（x）＞，（g（i）＞0,函数1y=g（x）-是增函数，

xP9是两个不相等正数，不妨设m＜9，那么双天）-乐〉贝玉）一条

./、/、、38..g（x）-g（x.）38

••g（M）-g（N）＞二（占一百），•x-x,＞0,・・-----l-----------＞—

272内一占27

g($)-g(x,)38,、i38

一7~~一><；，0即11煎%)一以&)1>有1芭一.........................(12分)

方法2：M（%,g（%））、N（修,g（&））是曲线y=g（%）上任意两相异点，

—）-皿=2+如—"+毛＞2.，。＜4

xi-x2x~x^x1x2

.•.2+^V^上>2+4〉2।44

(8分)

(AT),中2(7v7)3中2

x~x；x1x2

设」=/」>0,令｛次=〃。)=2+4/3-4〃，«/(/)=4/(3/-2),

VX1X2

22

由z/（r）＞0»得—，由〃'（f）＜0得0v/＜一,

33

22

/.〃⑺在（0,一）上是减函数，在（上,+8）上是增函数,

33

O□Qoo

g（』）-g"2）38

/.u(t)在/=W处取极小值、，.•.〃⑺>—，，所以>一

3272727

ao

即lga)-g(w)l>5ylx-引（12分）

9.(本小题总分值12分)

函数/(A)=—X2—ax+(a-l)Inx,tz>1.

(I)讨论函数/(x)的单调性；

（II）证明：假设〃＜5,则对任意为£（°，”），的工々，有＞T

a-1x2-(ix+a-\(x-l)(x+1-a)

⑴/(幻的定义域为(0,+8),f(x)=x-a+

XXX

2分

(r-I)2

(i)假设a-1=1,即a=2,那么f(x)=-——故)(功在(0,+8)单调增加.

x

(ii)假设a-1v1,而a>1,故1v4v2,贝ij当％e(a-1,1)时,f\x)<0.

当xe(0M—l)及工£(1,转)时,/'(x)>0,故在单调减少，在(0,a-1),

(1,+8)单调增加.

(iii)假设a-1>1,即a>2,同理可得/(用在(1,a-1)单调减少，在(0』),(a-l,田)

单调增加.

(II)考虑函数g(x)=f(x)+A=—X2-+(«-1)InX+X

由^'(x)=x-(a-->2.x--(4/-1)=1-(Ja-1-I)2.

Xx

由于av〃5,故g(r)>。，即g(x)在(0,xo)单调增加，从而当*>.r2>0时有

故上匕曲2>一1,当0<用<々时，^fW-f(x2)=f(x2)-f(xl)>_［

X)-x2xi-x2x2-X］

10.(本小题总分值14分)

函数=+〃lnx,g(x)=(〃+l)x,aw-l.

(I)假设函数/a),g(x)在区间［1,3］上都是单调函数且它们的单调性相同，求实数。的取值范围;

(H)假设aw(l,e］(e=2.71828),设尸(x)=/(x)-g(x),求证：当时,不等式

|F*J-b(々)1<1成立.

解：(I)/(x)=x+-,g\x)=a+l,...................(2分)

x

:函数/(幻，g(x)在区间［1,3］上都是单调函数且它们的单调性相同，

，当xwU,3］时，尸(幻・父(幻=""心’")N0恒成立,..........(4分)

即(。+1)(/+。)之0恒成立，

6/>—1[ci<

・•・《，在xe[l,3]时恒成立，或《，在x£[l,3]时恒成立，

a>-X-[a<-x-

V-9<x<-l,或。£一9.......................(6分)

(II)F(x)=—x124-«Inx,-(a+\)x,Ff(x)=x+--(«4-l)=―———

2xx

;F(x)定义域是(0,+oo),ae(1,e],即

・••尸(乃在(0,1)是增函数,在(l,a)实际减函数,在(a,48)是增函数

，当x=l时，尸(幻取极大值M=F(1)=-

2

当x=a时，尸(幻取极小值〃7=尸(〃)=。111。一,"一a,......................(8分)

V.rpx2e[l,«],|F(%1)—F(X2)|<|M—m\-M—m.......................(10分)

1)1

设G(a)=加一加=5。~一。1114一5，那么G\a)=a-\wa-\,

?.[GW=l-->Vf/G(l,e],・・・[G(a)T>0

a

・・・6'(。)=4一1114一1在。£(1,e]是增函数，・・・G'(a)>G'⑴=0

・・・Gm)=1/-aln。一!•在。£(i,0也是增函数............(12分)

22

2

2

・•・G(〃)<G(a),即G(〃)<Le-e-L=t_一].

11(e-l)2।(3-I)2・~、”।

而一e-2-e——=------------1<------------1=1,..G(a)=M-in<1

2222

・•・当4毛时，不等式|尸(为)一尸(看)1<1成立.............(14分)

11.(本小题总分值12分)

设曲线C：f{x)=\nx-ex(e=2.71828…)，/'(x)表示/(x)导函数.

(I)求函数/(%)的极值;

(II)对于曲线C上的不同两点A(%,y),B(x2,y2),x(<x2,求证：存在唯一的小£(芭,王)，使

直线4?的斜率等于/(凡).

I1—0T|

F：(I)f\x)=―-e=-----=0,得x=—

xxe

当X变化时，f'(x)与/(X)变化情况如下表:

]_

X(0,-)(-,+»)

eee

f(x)4-0—

fM单调递增极大值单调递减

，当X=~!■时，/（力取得极大值/（■!•）二一2,没有极小值；........（4分）

ee

（II）（方法1）Vf\x0）=kAB,,・・'_6:鬲瓜'仪±为），

x0x2-x{x0xl

即垢也%-*,-%）=（）,设g（x）=ilnX一（x,-xj

g（E）=X［ln±-（x,—玉），g（X］）|=ln^--l>0,g（$）是阳的增函数，

X11内

<x,,gCrJvgCrJfln%一（X,-羽）=（）;

电

g（x,）=x,lnL-3一%）,g（%）|=ln工一l>0,g3）是々的增函数，

:x,<x2,/.g*2）>g（X］）=内In±一（玉一玉）=0,

不

工函数g（x）=xln±-（T-％）在（%,占）内有零点%,........（10分）

又丁2函数g（x）=xln上一（々一内）在（小占）是增函数，

・•・函数g（x）=巴二二-In-在a，%）内有唯一零点质,命题成立........（12分）

x』

（方法2）・・・小。）二心

BPInx2-x0InXj+x（-A2=0,玉）6（内,&），且玉,唯一

设g（工）=11|］々-xlnX］+内-x2,那么g（玉）=%In4--V|Inx,+xi-x2,

再设力（x）=xlnx2-xlnx+x-w，0<x<h\x）=Inx2-InA->0

/.h（x）=xlnx2-xlnx+x-x?在0<x<x2是增函数

•*.g（芯）=力（％）<h（x2）=0.同理gCq）>0

，方程xhix2一Xin%+M-％=0在天）€区，尢2）有解........（10分）

•.•一次函数在（5,天）g（x）=（皿尤2-ln*）x+x是增函数

二方程xlnxj-冗In%+%一马=。在9叶（石，/）有唯一解，命题成立......（12分）

注：仅用函数单调性说明，没有去证明曲线C不存在拐点，不给分.

12.（本小题总分值14分）

定义F（x,y）=（1+x）y,x,ye（0,-H»）,

（I）令函数/（x）=F（31og2（2x—x2+4））,写出函数/（幻的定义域；

（II）令函数g（幻二尸（1』？2，+⑪2+法+1））的图象为由线C,假设存在实数b使得曲线C在

人（Tv/v—1）处有斜率为一8的切线，求实数。的取值范围；

（Ill）当x.yeN*且XV），时，求证网乂y）＞?（y,x）.

2

解:(I)log2(2x-x+4)>0,即Zr-V+dAl................(2分)

得函数/(x)的定义域是(一1,3),................(4分)

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