山东省济宁市任城区2023-2024学年八年级上学期期中数学试卷（五四制）

山东省济宁市任城区2023・2024学年八年级上学期期中数学试卷

（五四学制）（解析版）

一、选择题（本大题满分30分，每小题3分.每小题只有一个符合题意的选项，请你将正

确选项的代号填在答题栏内）

1.（3分）下列各式中，是分式的是（)

A.卫B.也

c..A.D.工

兀3a-l5

2.（3分）计算旦上的结果为（）

aa

C.苴D.A

aa

3.（3分）化简乂3（2一）2的结果是（)

A.肛6B.xy5C.x2/D.x2/

4.（3分）若甲、乙两个样本的平均数相等，方差分别为1.75、1.96,则下列说法正确的是

（）

A.甲比乙稳定B.甲、乙一样稳定

C.乙比甲稳定D.无法比较

5.（3分）已知一组数据川，.曲的平均数为3,则数据工|+2,北+2,冷+2的平均数是（）

A.3B.5C.6D.7

6.（3分）若A为任意整数，贝U（2&+3）2-必2的值总能（）

A.被2整除B.被3整除C.被5整除D.被7整除

7.（3分）在一次献爱心的捐款活动中，八（2）班50名同学捐款金额如图所示，则在这次

捐款活动中，该班同学捐款金额的众数和中位数分别是（）

A.20,10B.10,20C.10,10D.10,15

8.（3分）下列多项中，能用完全平方公式分解的个数是（)

-4x+4；②9/-3.什1；③4『+4.r-l；④25/-2（k），+l6/；⑤工x2+l-x

4

A.I个B.2个C.3个D.4个

9.（3分）近年来，我市大力发展交通，建成多条快速通道，小张开车从家到单位有两条路

线可选择，路线。为全程10千米的普通道路，路线占包含快速通道，全程7千米，走路

线b比路线a平均速度提高40%,时间节省10分钟，求走路线。和路线b的平均速度分

别是多少？设走路线。的平均速度为x千米/小时，依题意，可列方程为（）

A叫一7」0B1°一7

x（1+40%）x60x（1+40%）x

C.,7、24D.,72

（1+40%）xx60（1+40%）xx

10.（3分）如果关于工的分式方程当胃;i的解是负数，那么实数制的取值范围是（）

A.m<-1B.m>-1且mWO

C.m>-1D.m<・1且加W・2

二、填空题（本大题满分15分，每小题3分，请你将答案填写在题目中的横线上）

11.（3分）使分式一L有意义的x的取值范围为__________.

x-1

12.（3分）某地教育局拟招聘一批数学教师，现有一名应聘者笔试成绩88分、面试成绩90

分，综合成绩按照笔试占40%、面试占6（）%进行计算，该应聘者的综合成绩为

分.

13.（3分）分解因式：a2-1=

14.（3分）已知两个不等于0的实数a,人满足a+〃=O,则巨，的值为

ab

1+ai1+&2

15.（3分）已知一列均不为1的数a\,〃2,43,4〃满足如下关系：a

21-aj%l-a2

1+aQl+a„

a,=——->…，a"=——R，若山=2,则“2024的值是_____________________

4l-a3n+1l-an

三、解答题（本大题满分55分，解答要写出必要的文字说明或推演步骤）

16.（6分）分解因式：

（I）x（A+2）+1；

（2）3ma2-6mab+3mb2.

17.（6分）计算下列各题:

⑴显・』；

yi5x2

⑵（_）.

X2bx

18.（6分）解方程

19.（6分）计算下列各题:

（1）-i-4^；

X-l1+x

（2）a3a+l2a+3

a-ia-1i-a

20.（6分）学校组织七、八年级学生参加了“国家安全知识”测试.已知七、八年级各有

200人，现从两个年级分别随机抽取10名学生的测试成绩x（单位：分）进行统计：

七年级86947984719076839087

八年级88769078879375878779

整理如下：

年级平均数中位数众数方差

七年级84a9044.4

八年级8487b36.6

根据以上信息，回答下列问题：

（1）填空：a=,b=；

4同学说「这次测试我得了86分,位于年级中等偏上水平”，由此可判断他是年

级的学生；

（2）学校规定测试成绩不低于85分为“优秀”，估计该校这两个年级测试成绩达到“优

秀”的学生总人数；

（3）你认为哪个年级的学生掌握国家安全知识的总体水平较好？请给出一条理由.

21.（6分）先化简，再求值：（空支-I）+军一，其中工=3.

x-2X2-4

22.（6分）市体育局对甲、乙两运动队的某体育项目进行测试，两队人数相等，测试后统

计队员的成绩分别为：7分、8分、9分、10分（满分为10分）.依据测试成绩绘制了如

量的销售时，甲品牌洗衣液的售价为36元/瓶，乙品牌洗衣液的售价为28元/瓶.

5

(1)求两种品牌洗衣液的进价；

(2)若超市需要购进甲、乙两种品牌的洗衣液共12Q瓶，且购进两种洗衣液的总成本不

超过3120元，超市应购进甲、乙两种品牌洗衣液各多少瓶，才能在两种洗衣液完全售出

后所获利润最大？最大利润是多少元？

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题满分30分，每小题3分.每小题只有一个符合题意的选项，请你将正

确选项的代号填在答题栏内）

I.（3分）下列各式中，是分式的是（）

A.-OLR.近ac.3D.工

兀3a-15

【分析】根据分式的定义逐个判断即可.

【解答】解：A.卫分母中不含有字母，不是分式，故本选项不符合题意；

兀

B.返工分母中不含有字母，不是分式，故本选项不符合题意；

3

C.分母中含有字母，是分式，故本选项符合题意；

a-l

D.-X分母中不含有字母，不是分式，故本选项不符合题意.

5

故选：C.

【点评】本题考查了分式的定义和算术平方根，能熟记分式的定义（分母中含有字母的

代数式叫分式）是解此题的关键.

2.（3分）计算旦上的结果为（）

aa

A.B.—C.立D.旦

aa2aa

【分析】本题考查同分母分式的加减法，分母不变，分子相加减.

【解答】解：旦J

aa

=3+2

a

_5

a

故本题选：C.

【点评】本题考查同分母分式相加减，分母不变，分子相加减.解题的关键是类比同分

母分数的相加减进行计算即可.

3.（3分）化简乂3（己）2的结果是（）

A.x/B.冲5c.x2/D..IN

【分析】先根据分式的乘方法则计算，再根据分式的乘法法则计算.

【解答】解：?（£•）2

=x）6,

故选：A.

【点评】本题考查的是分式的乘除法，掌握分式的乘法法则、乘方法则是解题的关诞.

4.（3分）若甲、乙两个样本的平均数相等，方差分别为1.75、1.96,则下列说法正确的是

（）

A.甲比乙稳定B.甲、乙一样稳定

C.乙比甲稳定D.无法比较

【分析】根据方差的意义求解即可.

【解答】解：:甲、乙两个样本的方差分别为1.75、1.96,

・•・甲比乙稳定，

故选：A.

【点评】本题主要考查方差，方差是反映一组数据的波动大小的一个量.方差越大，则

平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定

性越好.

5.（3分）己知一组数据xi,必明的平均数为3,则数据工1+2,4+2,X3+2的平均数是（）

A.3B.5C.6D.7

【分析】据平均数的性质知，要求.+2,X2+2,心+2的平均数，只要把数加，X2,X3的

和表示出即可.

【解答】解：•••"，A2.X3，的平均数是3,

:.xi+%2+x3=3X3=9,

，xi+2,X2+2,.4+2的平均数是：

（xi+2,X2+2,X3+2）4-3

=（9+6）4-3

=5.

故选:B.

【点评】本题考查的是算术平均数的求法.解决本题的关键是用一组数据的平均数表示

另一组数据的平均数.

6.（3分）若々为任意整数，贝I（2K3）2-奴2的值总能（）

A.被2整除B.被3整除C.被5整除D.被7整除

【分析】先根据完全平方公式进行计算，再合并同类项，分解因式后再逐个判断即可.

【解答】解：⑵+3）2・4户

=4^+12H9-4d

=12H9

=3（4H3）,

•・z为任意整数，

:.（2A+3）2・4必的值总能被3整除,

故选:B.

【点评】本题考查了因式分解的应用，能求出（2A+3）2・4F=3（4H3）是解此题的关

键.

7.（3分）在一次献爱心的捐款活动中，八（2）班50名同学捐款金额如图所示，则在这次

捐款活动中，该班同学捐款金额的众数和中位数分别是（）

A.20,10B.10,20C.10,10D.10,15

【分析】根据众数、中位数的定义，结合条形统计图的数据进行判断即可.

【解答】解：这组数据的中位数是第25、26个数据的平均数，由条形统计图知第25、26

个数据分别为10、10,

所以这组数据的中位数为必坨=10（元），

2

这组数据中出现次数最多的是10元，有20次，

所以这组数据的众数为1（）元，

故选：C.

【点评】考查了确定一组数据的中位数和众数的能力.注意找中位数的时候一定要先排

好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字

即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数.

8.(3分)下列多项中，能用完全平方公式分解的个数是()

①x2-4x+4：@9x2-3.r+l；@4f+41・1：④25/-2O.r>,+16y2；⑤Lx2+l-x

4

A.1个B.2个D.4个

【分析】根据完全平方式的结构/+2。。+户或/,2ab+b2的形式，即可作出判断.

【解答】解：①是完全平方式；

②9»-6A+1,因而9?-3x+\不是完全平方式；

③4f+4x+l是完全平方式，故4»+4x・1不是完全平方式；

④257-40x^16/是完全平方式，25?-20孙+16)?不是完全平方式；

⑤是完全平方式.

故选：B.

【点评】本题考查了完全平方式的结构，正确理解结构是判断的关键.

9.(3分)近年来，我市大力发展交通，建成多条快速通道，小张开车从家到单位有两条路

线可选择，路线〃为全程10千米的普通道路，路线。包含快速通道，全程7千米，走路

线b比路线a平均速度提高40%,时间节省10分钟，求走路线〃和路线b的平均速度分

别是多少？设走路线〃的平均速度为x千米/小时，依题意，可列方程为()

A.坨一，/、JB.凶一，-、口0

x(1+40%)x60x(1+40%)x

C7_10_10D7_1Q-W

.(1+40%)xx-60(1+40%)xX

【分析】根据走两条路线速度间的关系，可得出走路线。的平均速度为(1+40%)x千米

/时,利用时间=路程+速度,结合走路线b比走路线。全程少用10分钟,即可得出关

于x的分式方程，此题得解.

【解答】解：•••走路线力的平均车速比走路线”能提高40%,且走路线。的平均速度为

x千米/时，

・•・走路线〃的平均速度为3+40%)x千米/时.

故选：A.

【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是

解题的关键.

10.（3分）如果关于X的分式方程第1=］的解是负数，那么实数机的取值范围是（）

A.m<-1B.m>-1且加W0

C.m>-1D.m<-1且加W-2

【分析】解含参的分式方程，结合已知条件及分式有意义的条件求得机的取值范围即可.

【解答】解：将分式方程两边同乘（x+1）,去分母可得：2x-m=xt\,

移项，合并同类项得：x=〃1+l,

•••原分式方程的解是负数，

A/H+KO,且加+1+lWO,

解得：〃?V-1且-2,

故选：D.

【点评】本题考查根据含参分式方程解的情况确定参数的取值范围，特别注意解得的分

式方程的解不能使最简公分母为0.

二、填空题（本大题满分15分，每小题3分，请你将答案填写在题目中的横线上）

11.（3分）使分式_L有意义的工的取值范围为.的.

x-1

【分析】根据分式有意义的条件：分母不为。进行计算即可.

【解答】解：•・•分式」一有意义，

X-1

・*1H0,

1,

故答案为：

【点评】本题考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件：分母不为。是解题的

关键.

12.（3分）某地教育局拟招聘批数学教师，现有一名应聘者笔试成绩88分、面试成绩90

分,综合成绩按照笔试占40%、面试占60%进行计算，该应聘者的综合成绩为89.2分.

【分析】根据加权平均数的定义列式计算即可.

【解答】解:该应聘者的综合成绩为88X40%+90X60%=89.2（分），

故答案为:89.2.

【点评】本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义.

13.（3分）分解因式：/-i=.

【分析】符合平方差公式的特征，直接运用平方差公式分解因式.平方差公式：a2-b2

=Ca+b)(a-b).

【解答】解：a~~l=(a+l)(a-1).

故答案为：(a+l)(。7).

【点评】本题主要考查平方差公式分解因式，熟记公式是解题的关键.

14.(3分)已知两个不等于0的实数“，满足〃+〃=0.则主4^■的佰为-2.

ab

【分析】根据两个不等于0的实数小〃满足。+力=0,可以得到〃=■4然后即可得到上

a

=-1,且=-1,再代入所求式子计算即可.

b

【解答】解：•・•两个不等于0的实数。，〃满足a+b=0,

*.a=-b,

二卜=-1,旦=-1,

ab

=-1+(-1)

=-2,

故答案为：-2.

【点评】本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确。和〃的关系.

1+a11+ao

15.(3分)己知一列均不为1的数m,42,43,…，〃〃满足如下关系：=-----»=-----

aaa

2l-ai3l-a2

1+a31+a1

aL=...—»若41=2,则42024的值是—

，厂马--

l-an3

【分析】分别求出⑶，S,43,…，根据发现的规律即可解决问题.

【解答】解：由题知，

因为m=2,

则&^上2:-3，

a21-2,

1-3_1

打下T”，

由此可见，

这一列数按2,-3,二，a循环出现，

23

且2024+4=506,

所以二工.

“20243

故答案为：-1.

3

【点评】本题考查数字变化的规律，能根据题意得出这列数按2,-3,-1,工循环出

23

现是解题的关键.

三、解答题(本大题满分55分，解答要写出必要的文字说明或推演步骤)

16.(6分)分解因式：

(1)x(x+2)+1；

(2)3ma2-6mab+3mb2.

【分析】(1)先计算出括号里面的，再利用完全平方公式因式分解即可；

(2)先提取公因式，然后利用完全平方公式因式分解即可.

【解答】解：⑴x(A+2)+1

=X2+2V+1

=(x+1)2；

(2)3ma2-6mab+3mb2

=3m(j-2"+序)

=3ni(a-b)2.

【点评】本题考查了区式分解的应用，关键掌握完全平方公式.

17.(6分)计算下列各题:

⑴显・』；

2

yi5X

（2）二旦+（-2bx）.

x

【分析】根据分式的乘除法法则进行解题即可.

【解答】解：（1）=A;

y15x23x

22

（2）原式=Z3_Lx（--L-）=-鼻.

2

x2bxx

【点评】本题考查分式的乘除法，掌握分式的乘除法法则是解题的关键.

18.（6分）解方程

【分析】（1）观察可得最简公分母是（x+1）（x-1）,方程两边乘最简公分母，可以把分

式方程转化为整式方程求解：

（2）观察可得最简公分母是（x-2）,方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为

整式方■程求解.

【解答】解：（1）方程两边同时乘以＜x+l）（x-1）,得

X+1=1,

解得4=0.

检验：把％=0代入（A+1）（x-1）=-1W0.

・•・原方程的解为：x=0.

（2）方程两边同时乘以（x-2）,得

1+3（x-2）=x-1,

解得戈=2.

检验：把％=2代入（A-2）=0.

；・原方程无解.

【点评】考查了解分式方程，注意：

（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解.

（2）解分式方程一定注怠要验根.

19.（6分）计算下列各题:

x-l1+x

（、、a3a+l2a+3

（2）丁；-2J2,

a-1a-1i-a

【分析】（1）先通分再进行计算即可;

（2）先将分母变成统一的“2-1,然后再进行计算即可.

【解答】解：(1)原式—婆-㈡―一三

2

(x-l)(x+l)(x-l)(x+l)x-l

(2)原式=二~+竺!支-空坦

a2-la2-la2-l

a+3a+l-2a-3

21

a-1

-2a-2

a2-11

-2(a-l)

(a-l)(a+1)

二2

a+1

【点评】本题考查分式的加减法，能够掌握分式的加减法法则是解题的关键.

20.（6分）学校组织七、八年级学生参加了“国家安全知识”测试.已知七、八年级各有

200人，现从两个年级分别随机抽取10名学生的测试成绩x（单位：分）进行统计：

七年级86947984719076839087

八年级88769078879375878779

整理如下：

年级平均数中位数众数方差

七年级84a9044.4

八年级8487b36.6

根据以上信息，回答下列问题：

（1）填空：a=85,b=87；

A同学说：“这次测试我得了86分，位于年级中等偏上水平”，由此可判断他是七年

级的学生；

（2）学校规定测试成绩不低丁•85分为“优秀”，估计该校这两个年级测试成绩达到“优

秀”的学生总人数；

（3）你认为哪个年级的学生掌握国家安全知识的总体水平较好？请给出一条理由.

【分析】（1）根据中位数和众数的定义即可求出答案；

（2）分别求出七、八年级优秀的比例，再乘以总人数即可：

（3）两组数据的平均数相同，通过方差的大小直接比较即可.

【解答】解：（1）把七年级10名学生的测试成绩排好顺序为：71,76,79,83,84,86,

87,90,90,94,

根据中位数的定义可知，该组数据的中位数为。=毁邈=85,

2

八年级10名学生的成绩中8（7分）的最多有3人，所以众数〃=87,

A同学得了8（6分），大于8（5分），位于年级中等偏上水平，由此可判断他是七年级

的学生；

故答案为：85,87,七；

（2）且义200+且义200=220（人），

1010

答：该校这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数大约为220人；

（3）我认为八年级的学生掌握国家安全知识的总体人平较好，

理由：因为七、八年级测试成绩的平均数相等，八年级测试成绩的方差小于七年级测试

成绩的方差，所以八年级的学生掌握国家安全知识的总体水平较好.

【点评】本题考查中位数、众数、方差的意义和计算方法以及用样本估计总体，理解各

个概念的内涵和计算方法是解题的关键.

21.（6分）先化简，再求值：（红工-I）其中％=3.

x-2X2-4

【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x的值代入进行计算即可.

【解答】解：原式=（如工-三2）・（x+2）（X-2）

x-2x-2x+1

=x+1.（x+2）（x-2）

x-2x+1

=x+2,

当x=3时，，原式=3+2=5.

【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关健.

22.（6分）市体育局对甲、乙两运动队的某体育项目进行测试，两队人数相等，测试后统

计队员的成绩分别为：7分、8分、9分、10分（满分为10分）.依据测试成绩绘制了如

图所示尚不完整的统计图表：

甲队成绩统计表

成绩7分8分9分10分

人数101m7

请根据图表信息解答下列问题:

（1）填空：a=126°,m=2；

（2）补齐乙队成绩条形统计图；

（3）①甲队成绩的中位数为7.5,乙队成绩的中位数为8

②分别计算甲、乙两队成绩的平均数,并从中位数和平均数的角度分析哪个运动队的成

乙队成绩扇形统计图乙队成绩条形统计图

绩较好.

【分析】（1）用36（）。分别减去其它三部分的度数可得〃的值；根据乙队9分的人数和它

所占比例可得乙队人数，再根据两队人数相等可得小的值；

（2）先求出7分的人数，再补齐乙队成绩条形统计图；

（3）①根据中位数的定义解答即可；

②根据加权平均数公式解答即可.

【解答】解：（1）由题意得，«=360-72-72-90=126；

乙队人数为：5：也=20（人），

360

故机=20・10-1・7=2.

故答案为：126：2；

（2）乙队7分人数为：20-4-5-4=7（人），

补齐乙队成绩条形统计图如下：

乙队成绩扇形统计图乙队成绩条形统计图

(3)①甲队成绩的中位数为:蛋=75

2

乙队成绩的中位数为：虫型=8；

2

故答案为：7.5；8；

②甲队成绩的平均数为：J-X(7X10+8+9X2+10X7)=8.3；

20

乙队成绩的平均数为：—X(7X7+8X4+9X5+10X4)=8.3；

20

因为甲、乙两队成绩的平均数相同，但乙队的中位数比甲队大，所以乙运动队的成绩较

好.

【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确

题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答.

23.(6分)仔细阅读下面例题，解答问题：

例题：已知二次三项式』-4x+〃?有一个因式是(%+3),求另一个因式以及的值.

解：设另一个因式为(工+〃)，得』-4]+〃?=(x+3)(x+〃)，则x2-4x+m=x2+(〃+3)x+3〃

.fn+3=-4

lm=3n

解得：〃=-7,m=-2I・・・另一个因式为(x-7),的值为-21.

问题：仿照以上方法解答下面问题：

(1)已知二次三项式2A2+3.”A有一个因式是(2x-5),求另一个因式以及〃的值.

(2)已知二次三项式67+4以+2有一个因式是(2x+“)，〃是正整数，求另一个因式以及

。的值.

【分析】(1)设另一个因式是Cx+b),则(2%-5)(J+Z?)=2^+2bx-5x-5b=2x2+(2b

-5)x-5b=2AT+3x-k,根据对应项的系数相等即可求得力和女的俏.

（2）设另一个因式是（3x+〃?），利用多项式的乘法运算法则展开，然后根据对应项的系

数相等列式求出〃八。的值，然后代入代数式进行计算即可得解.

【解答】解：（1）设另一个因式是Cx+b）,则