平行四边形的几何模型总结

平行四边形的几何模型总结

―、基础知识

条件的组合搭配是解决几何综合题目的基本思路，在进行组合搭配中往往遇到一

些常用的结构.可以通过补全图形，从而构造熟悉的结构：

等腰十中点，考虑：直角+中点，考虑

三线合一斜边上的中线等于斜边的一半

平行+（夹）中点，考虑一边上的中点，考虑

延长证全等倍长证全等

1

ED

A

BFC

多个中点，考虑坐标系中见中点，

中位线考虑中点坐标公式

平行+角平分线，考虑三线中两线重合，考虑

等腰三角形等腰三角形

三角形的三线：底边上的中线、底边上的高线、顶角的角平分线.

二、方法技能

1.几何计算、证明的基本思考流程①标注条件，合理转化；②组合特征，分析结构；③

由因导果，执果索因.2.特殊四边形中隐含条件①平行四边形中隐含条件：平行、

中点；②菱形中隐含条件：平行、中点、角平分线、垂直；③矩形中隐含条件：平

行、中点、垂直；④正方形中隐含条件：平行、中点、角平分线、垂直.

3.四边形中常见几何结构举例；①中点结构：直角+中点，平行+中点，多个中点；②

旋转结构：等线段共点，对角互补；③弦图结构：外弦图，内弦图，等腰直角，三垂；④

面积结构：三个“一半”，平行转

化.

2

AA_EDAD

BCL-BCA

平行转化

1.如图，在平行四边形ABCD中,BC=2AB,CEsAB于点E,F为4。的中点，若N

AFF=n54°,则8二

3

方法一

方法二：

产为AD的中点，取CK中点造梯形AECD的中位线（构^>CEF两线合一）：AEF=54°,

AFEC=FCE=36°,CFD=FCD=54Q\J

，B=CDF=180o-108o=72°n

BC

方法二

方法三：

•:CEJ^AB于点、E,

・••取8c中点，构造直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

大♦；BC=2AB,

:・BG=EG=CG=CD=FD=AF,

：,AB//FG//CD,

，GEF=GFE=AEF=540,B=GE8=72。口

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方法三

2.如图，在菱形A8C。中,A=110。口，E、厂分别是边48、5C的中点，若EPsCD

千点P,贝l|FPC=

【分析】

四边形AGC。是菱形，尸分别是边AC的中点，构成平行夬中点t延长证之SEP经

>CGF(SAS)

，EF=FG=FP,AE=BE=BF=FG(菱形的四边相等)

，8=70。，BFE=BEF=G=FPC=55CQ

6

3.如图，在菱形ABC。中，AB=BD点E,厂分别在边48,A。上，且4氏。尸连接防,

与。石相交干点G.连接CG与玄。相交于点H.则下列结论:

③S四边形8C0G二

®>AED^>DFB；②8GD=12()。

其中正确的是.（填序号）

【分析】

①泌EDHDFB(SAS'),

・•・①正确

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②由沙EDHDFB得1;□2,

，BGE=\+3=2+D3=E60°,BGD=120。]，②正确

③:BGD+BCD=120°+60℃=180°0（对角互补）,CD=[\CB（等线段共点C）

.•・可以考虑将之COG绕点C逆时针旋转60。到之C8M,也可将之C8G绕点C顺时针旋转

60°

注意：辅助线的叙述与三点共线

叙述一：将2a）G旋转到2C8W,必须根据对角互补说明G、8、M三点在一条直线上：

叙述二延长G8至M,使8M=OG（保证了G、8、M三点在一条直线上），连接CM,

此法只需要证明2c8Mg2cOG（SAS）,从而证得2CGM是等边三角形.

S四边形BCDG=gxCGxMN=gxCGx§CG=*CG2

2224

，③正确

4.（2019）如图，在》8c中，AC8=90。，AC=BC=6,点。为8C的中点，点P是射线

A。（与A重合）上的一个动点，则当2PBe为直角三角形时，AP的长为

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A

【分析】

•・•点P是射线AD上的一点，且不与A重合，

・•・BCP=90°

•・•ACB=90°,AC=BC=6,点D为BC的中点,

.AD=dcD?+力。2=3亚

••

当/8PC=90。，点。在线段力。上，构成直角三角彩斜边上的中线等于斜边的一半，4P=3。-3

当/8PC=90。，点P在线段力。延长线上，构成直角三角彩斜边上的中线等于斜边的一半，AP=3«+3

当/P8C=90。时，BP//AC,点。为8c的中点，构成平行夹中点，KPBDM