用样本估计总体学案文含解析

第四节用样本估计总体

预习⑤知识排查•双基落实抓牢基吆•赢得良好开嫔

【知识重温】

一、必记3个知识点

1.频率分布直方图

(1)通常我们对总体作出的估计一般分成两种.一种是用样本的①_______估计总体的分

布.另一种是用样本的②________估计总体的数字特征.

(2)在频率分布直方图中，纵轴表示③________,数据落在各小组内的频率用各小长方形

的④________表示.各小长方形的面积总和⑤________.

(3)连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图.随着

®的增加，作图时所分的⑦增加，相应的频率分布折线图就会越来越接近

于一条光滑的曲线，统计中称之为⑧________________,它能够更加精细地反映出总体在各

个范围内取值的⑨________.

(4)当样本数据较少时•，用茎叶图表示数据的效果较好，它不但可以保留所有信息，而且

可以随时记录，给数据的记录和表木都带来方便.

2.众数，中位数，平均数

(1)众数：在一组数据中，出现次数⑩_______的数据叫做这组数据的众数.

(2)中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在⑪________位置的一个数据(或最中间两

个数据的平均数)叫做这组数据的⑫_______.

(3)平均数：样本数据的算术平均数.即:二⑬.在频率分布直方图中，中位数

左边和右边的直方图的面积应该⑭_______.

3.样本方差，标准差

标准差_____________________________________

22

s=T)+(X2—T)H-F(.%—T)2],

其中凡是样本数据的第〃项，〃是样本容量，工是⑮.标准差是反映总体波动大

小的特征数，样本方差是标准差的平方.通常用样本方差估计总体方差，当样本容量⑯

总体容量时，样本方差越接近总体方差.

二、必明1个易误点

不要把直方图错认为袋形图，两者的区别在「条形图是离散随机变量，纵坐标刻度为频

数或频率，直方图是连续随机变量，纵坐标刻度为频率/组距，连续随机变量在某一点上是没

有频率的.

【小题热身】

一、判断正误

1.判断下列说法是否正确(请在括号中打“或“X”).

(1)在频率分布直方图中，小矩形的高表示频率.()

(2)频率分布直方图中各个长方形的面积之和为1.()

(3)茎叶图中的数据要按从小到大的顺序写，相同的数据可以只记一次.()

(4)平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势.()

(5)一组数据的方差越大，说明这组数据的波动越大.()

二、教材改编

2.四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数.根据四名同学的统计结果,

可以判断出一定没有出现点数6的是（）

A.平均数为3,中位数为2

B.中位数为3,众数为2

C.平均数为2,方差为

D.中位数为3,方差为

3.已知一组数据，则该组数据的方差是

三、易错易混

4.把样本容量为20的数据分组，分组区间与频数如下：[10,20）,2；[20,30）,3；[30,40）,

4；[40,50）,5；[50,60）,4；[60,70],2,则在区间[10,50）上的数据的频率是（）

A.0.05B.

C.0.5D.

5.若数据即，工2,对…，X”的平均数x=5,方差《=2,则数据3xi+1,3-V2+1,3X3+1,…，

34+1的平均数和方差分别为.

四、走进高考

6.[2019.全国卷II]演济比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成

绩时，从9个原始评分中去掉I个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9

个原始评分相比，不变的数字特征是（）

A.中位数B.平均数

C.方差D.极差

|考点一|样本的数字特征[自主练选型]

1.[2018•江苏卷]

已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的

平均数为.

2.[2021•甘肃、青海、宁夏联考]从某小学随机抽取100名学生，将他们的身高（单位：厘

米）分布情况汇总如下：

身高(100,110](110,120](120,130](130,140](140,150]

频数535302010

由此表估计这100名小学生身高的中位数为（结果保留4位有效数字）（）

A.119.3B.

C.123.3D.

3.[2021.惠州市调研考试试题]某工厂为了解产品的生产情况，随机抽取了10（）个产品为

样本.若样本数据41，X2，…，xioo的方差为8,则数据—…，2xi（x）—1的方差为

（）

A.8B.15

C.16D.32

悟•技法

众数、中位数、平均数及方差的意义及计算公式

(I)平均数与方差都是重要的数字特征，是对总体的一种简明地描述，平均数、中位数、众数

描述数据集中趋势，方差和标准差描述波动的大小.

(2)平均数、方差的公式推广.

①若数据汨，…，%的平均数为x,那么"Lti+a,“g+a,〃优3+d…，〃优”+〃的

平均数是mx+〃.

②数据X|,X2,…，-%的方差为s2.

(i)数据xi+a,X2+4…的方差也为《；

(ii)数据ax\,以2,…,QXn的方差为a2s2.

(3)方差的简化计算公式.

s2=%(X，+.RH----F需)一/?X2］或写成52='X?+京H---1•需)一X2,即方差等于原数据平方

的平均数减去平均数的平方.

考点二茎叶图［自主练透型］

4.［2021•广东广雅中学、江西南昌二中联考］某市重点中学奥数培训班共有14人，分为两

个小组，在一次阶段考试口两个小组成绩的茎叶图如图所示，其中甲组学生成绩的平均数是

88,乙组学生成绩的中位数是89,则〃?+〃的值是()

A.10B.11

C.12D.13

5.［2021.陕西商洛质检］在一次千米的自行车个人赛中，25名参赛选手成绩(单位：分钟)

的茎叶图如图所示，现将参赛选手按成绩由好到差编为1〜25号，再用系统抽样的方法从中

选取5人，已知选手甲的成绩为85分钟，若甲被选取，则被选取的其余4名选手的成绩的平

均数为()

A.95B.96

C.97D.98

悟•技法

茎叶图的应用

(1)茎叶图中的“茎”上的数字代表十位上的数字，“叶”上的数字代表个位上的数字(若没有

则表示该数据不存在)：

(2)解题时，可把茎叶图中的数字按大小顺序转化为总体的个体数字再求解.

考点三频率分布直方图［互动讲练型］

［例I］［2020・天津卷］从一批零件中抽取8()个，测量其直径(单位：mm),将所得数据分

为9组：［5.31,5.33),,5.35),…，［5.45,5.47),［5.47,5.49］,并整理得到如下频率分布直方图,

则在被抽取的零件中，直径落在区间［5.43,5.47)内的个数为()

A.10B.18

C.20D.36

悟•技法

1.绘制频率分布直方图时的2个注意点

(1)制作好频率分布表后，可以利用各组的频率之和是否为1来检验该表是否正确.

频率

(2)频率分布直方图的纵坐标是而不是频率.

2.由频率分布直方图进行相关计算时，需掌握的2个关系式

频率

(1)血血X组距=频率.

频数频勒1

(2)样本卷量=频率,此关系式的变形为瑞=样本容量，样本容量X频率=频数.

［变式练1—(着眼于举一反三)

1.［2021•长沙市统一模拟考试］某学校对本校高三500名学生的视力进行了一次调查，随

机抽取了100名学生的体检表，得到的频率分布直方图如图所示，若频率分布直方图后四组

的频数成等差数列，则估计本校高三这500名学生中视力在以上(含4.8)的人数为()

A.185B.180

C.195D.200

考点四|扇形图与折线图［互动讲练型］

［例2］(1)［2018•全国卷I］某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，

实现翻番.为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农

村的经济收入构成比例，得到如下饼状图：

则下面结论中不正确的是（）

A.新农村建设后，种植收入减少

B.新农村建设后，其他收入增加了一倍以上

C.新农村建设后，养殖收入增加了一倍

D.新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半

（2）［2021・山东济宁模拟］如图为某市国庆节7天假期的楼房认购量与成交量的折线图，小

明同学根据折线图对这7天的认购量（单位：套）与成交量（单位：套）作出如下判断，其中判断

正确的是（）

A.日成交量的中位数是26

B.日成交量超过日平均成交量的有2天

C.认购量与日期正相关

D.10月7日认购量的增幅大于10月7日成交量的增幅

悟•技法

（1）通过扇形统计图可以很清楚的表示出各部分数量同总数之间的关系.

（2）折线图可以显示随时间（根据常用比例放置）而变化的数据，因此非常适用于显示在相等

时间间隔下数据的变化趋势.

［变式练］——（着眼于举一反三）

2.［2021.开封市第一次模拟考试］某省普通高中学业水平考试成绩由高分到低分按人数所

占比例依次分为A,B,C,D,E五个等级，4等级15%,8等级30%,C等级30%,D,E

等级共25%.其中七等级为不合格，原则上比例不超过5%.该省某校高二年级学生都参加学业

水平考试，先从中随机抽取了部分学生的考试成绩进行统计，统计结果如图所示.若该校高

二年级共有1000名学生，则估计该年级拿到C等级及以上级别的学生人数为（）

A.45B.660

C.880D.900

3.某市气象部门根据2018年各月的每人最高气温平均值与最低气温平均值(单位：C)

数据,

那么，下列叙述不正确的是(

A.各月最高气温平均俏与最低气温平均俏总体呈正相关

B.全年中，2月份的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大

C.全年中各月最低气温平均值不高于10C的月份有5个

D.从2018年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值呈下降趋势

第四节用样本估计总体

【知识重温】

①频率分布②数字特征嚼毒④面积

⑤等于1⑥样本容量⑦组数⑧总体密度曲线⑨百分比⑩最多⑪最中间

⑫中位数⑬：(即+通+…+.)⑭相等

⑮平均数⑯接近

【小题热身】

1.答案：(1)X(2)7(3)X(4)7

(5)V

2.答案：C

3.解析：5个数的平均数7=错误!=，所以它们的方差?=错误!-5.])2+-5.])2+-5.])2

+-5.1)2+-5.1)21=0.1.

答案：

4.解析：由题意知，在区间[1(),50)上的数据的频数是2+3+4+5=14,故其频率为珠=

0.7

答案：D

5.解析：・・加，照，X3,…，*的平均数为5,…=5,

3xi+312+34+•••+3★,一、乂7

-----------------------------1=3X5+1=16,Vxi,X2,X3,,,,,x”的方差为2,3x\4-1,3xz

+1,3x34-1,…，34+1的方差是32X2=18.

答案：16,18

6.解析：记9个原始评分分别为a,b,c,d,e,fg,〃，/•（按从小到大的顺序排列），

易知e为7个有效评分与9个原始评分的中位数，故不变的数字特征是中位数，故选A.

答案：A

课堂考点突破

考点一

1.1?析：这5位裁判打出的分数分别是89,89,90,91,91,因此这5位裁判打出的分数的平

m289+89+90+91+91

均数为---------c------------=90.

答案：90

2.解析：本题考查中位数，体现了数学运算的核心素养.由题意知身高在（100,110］,

（II。,125,（12。,13。］的频率依次为，前两组频率和为，组距为1U,设中位数为。则（x-120）X,l。）

=,解得xg123.3.故选C.

答案：C

3.解析：样本数据箝，孙…，Moo的方差为8,则数据20一1,2x2—1,…，Zrioo-1的

方差为22X8=32,故选D.

答案：D

考点二

4.解析：•・•甲组学生成绩的平均数是88,

；・由茎叶图可知78+86+84+88+95+90+〃?+92=88X7,

•・•乙组学生成绩的中位数是89,・・・〃=9,

・•・〃?+〃一12.故选C.

答案：C

5.解析：由系统抽样法及已知条件可知被选中的其他4人的成绩分别是88,94,99.107,

88+94+99+107

故平均数为故选

4=97,C.

答案：C

考点三

例1解析：由题知［5.43,5.45）与［5.45,5.47）所对应的小矩形的高分别为，所以［5.43,5.47）

的频率为+5.00）X=,所以直径落在区间［5.43,5.47）内的个数为8（）X=18,故选B.

答案：B

变式练

1.解析：由题意得频率分布直方图前三组的频率依次为，所以前三组的频数依次为3727,

则后四组的频数和为9（）,又后四组的频数成等差数列，斯以后四组的频数依次为27,24,21,18,

所以视力在以上（含4.8）的频率为39%,故本校高三这500名学生中视力在以上（含4.8）的人数

约为500X39%=195.选C.

答案：C

考点四

例2解析：（1）设新农村建设前，农村的经济收入为小则新农村建设后，农村的经济收

入为24新农村建设前后，各项收入的对比如下表：

新农村新农村新农村建设结论

建设前建设后后变化情况

种植收入60%〃37%X2〃=74%a增加A错

其他收入4%«5%X2a=10%〃增加了一倍以上B对

养殖收入30%。30%X2G=6D%。增加了一倍C对

养殖收入

(30%+6%)。(30%+28%)超过经济收

+第三产