岩体力学计算题

计算题

四、岩石得强度特征

(1)在劈裂法测定岩石单轴抗拉强度得试脸中，采用得立方体岩石试件得边长为5cm,

一组平行试验得到得破坏荷载分别为16、7、17、2、17、OkN,试求其抗拉强度。

解:由公式2=2XRX1(P/3、14X52x10-4=0、255p(MPa)

内产0、255X16、7=4、2585

%=0、255X17、2=4、386

布=。、255X17.0=4、335

则所求抗拉强度：6==(4、2585+4、386+4、335)/3=4、33Mpa。

(2)在野外用点荷载测定岩石抗拉强度，得到一组数据如下：

D(c15、714、614、914、116、316、715、716.6

m)

P21、321、24、820、921、525、326、726、1

0N)9

试计算其抗拉强度。［«=()、96)

解：因为A三0、96/、。为上表数据，由公式7二人75=KP"9代入上述数据依次

5=8、3、9、9、10、7、10、1、7、7、8、7、10、4、9、1。

求平均值有5=9、4MPao

(3)试导出倾斜板法抗剪强度试验得计算公式。

Pf

解

如上图所示：根据平衡条件有：

Lx=0

T-PSin(x/A-Pfcosc/4=0

尸P(sinx-fcosa)/A

Sy=0

a-PCosa-PfSin户0

a=P(cos)+fsino)

式中：〃为压力机得总垂直力。

。为作用在试件剪切面上得法向总压力。

r为作用在试件剪切而上得切向总剪力。

/"为压力机整板下面得滚珠得磨擦系数。

*为剪切面与水平面所成得角度。

则倾斜板法抗剪强度试脸得计算公式为:

<7=/^cos(r+

k/Isintr-fcosa)/A

(4)倾斜板法抗剪强度试验忆已知倾斜板得倾角a分别为30°、40。、50°、和60°,

如果试样边长为5cm,据经险估计岩石得力学参数c=15kPa,尸310,试估计各级破坏荷

载值。(UO、01)

解:已知a分别为30°、40°、50°、和60°,c=15kPa,k31°,伫0、01,

r=(jtg/Fc

cr=P(cos*+fsino)/A

t=P(sin?fcosa)/A

/)(sina-fcosa)/A=P(cos(r+fsin①tg引A+c

(sinar—fccs①二(cosa+/'sina)tgg^-cA/P

P=cA/\{sina—fcosa)-(cos<x+fsitg日

由上式，代入上述数据，计算得：

Pio=15(kN/mm2)X25X102(mm2)/[(sin30-0、OlXcos30)-(cos3D+

0、01Xsin30)tg31]

(Sincr—(Cos4+f(cosa+fsina)

asinacosaP

fcos(z)sin^tgP

0、-111.

300、50、491340、8737510、525002

8660254

0、6420、21、9363

400、6351270、7725220、464178

7887660448

0、7660、64210、1

500、7596170、6477880、38923

0447882456

0、8666、68

600、50、8610250、50、30043

025932

(5)试按威克尔(Wuerkcr)假定，分别导出八生、c、犷得相互关系。

解:如图:

由⑶，⑸

2cros产q(l+sing),2ccos尸q(1-siny),相等有

sin(q—幻/(人+㈤(7)

由(5)+(3)

cos92=4c/(a+g)(8)

由(6),(7),(8)

(5-5)

面0=史吆=专处="”(9)

cos。2yle2Jee

(5+5)

(6)在岩石常规三轴试脸中,已知侧压力内分别为5、IMPa、20、4Mpa、和OMP

a时，对应得破坏轴向压力分别就就是179、9MPas329Mpa、和161MPa,近似取包络线

为直线，求岩石得c、p值。、

1、图解法

由上图可知，该岩石得c、户值分别为：28MPa、52°,

2、计算法

由M-C准则

sin0=---------!-------------

6+g+2cctg。

变形

2c*cos=/（I-sin。）一6（1+sin。）⑴

考虑Cou1omb曲线为直线,则强度线应与Mohr圆中得任意两圆均相切，此时得c、中

值相等，则任一圆都满足（】）式。设任意两圆中得应力分别为。：，封和由（1）式得

er：(1一sin°)一cr；(1+sin0)=b；(1-sin°)—cr；(1+sin。)

整理得

sin如目44(7](l-sin^)-cr(l+sin^)

c—3

(巧—o'])+(cr3-cr3)2cos0

将已知数据代入计算结果如下:

%C

54、4720、853

179、95、1

56593

28、0515

32920、451、57658

2

35、041、

1610

996381673

计算结果分析，第一组数据与第三组数据计算结果明显低于第一组与第二组数据和第二

组与第三组数据得计算结果，考虑包络线为外包，故剔除第一组数据与第三组数据计算结果,

取平均后得：牛二53.02611°,c=24.45272MPa.

（7）某岩石得单轴抗压强度为164、5MPa,产35、2°,如果在侧压力6=40、8

MPa下作三轴试验，请估计破坏时得轴向荷载就就是多少？

解：已知如图所示:

即：二=&jan妊5

CCCSC。

因为：r[=82、25MPa,p=35、2",

所以求得：c=42、64MPa

所以：AO=cctan产60、45MPa

△ABC"ADE得:二=四=……

qAEAO+cr,+r2

解得：/2=137、76MPa

所以内=40、8+2X137、76=316、32MPa

(8)在威克尔(Wucrker)假定条件下，岩石抗压强度就就是她得抗拉强度得多少倍?

解:由上述题(5)知：

2ccos。

5_J1-sin。_1+sin。

cr,2ccos11-sin°

61+sin。

(1-si

7(1+sing)oj5

ny)

1、40、572、46

25

2261873823913

301、50、53

1、5730、4263、690

35

576424172

1、64270、357

404、59891

88212

1、0、295、828

45

7071072893427

1、760、237、548

50

60443956632

55

1、8190、1808410、0

15285901

1、86013、928

60

60251339752

根据此式点绘得图如下:

五、岩石得变形特征

⑴试导出体积应变计算式：S=S9-2SC

解：如上图所示得：

V-乃A/4

V=Xc+Ac）2（a+△，）/4

_V-V_^,(c+Ac):(«+A«)/4-^r26f/4

£v~V~—

ac'+24cAe+«△(*+Sac'+2A«cAc+AaAc，-c'a

=-----------------------------------------------

2ac^c+At/c~

其中略去了Ac、△/得高次项，整理得:

M2Ac

邑一+一%+2邑

ac

（2）岩石变形实验数据如下,a、作应力应变曲线（£,、久、£v）ob、求初始模量、切

线模量、50%分得割线模量和泊松比。

0(MPa)163047627792154164

^(XW6)18837555074093014121913破坏

乩X106)63100175240300350550破坏

解：由公式:£产£口一2品

得:品=250、175、200、260、330、712、713

则初始模量:£=G/S,=16/188=0.085

切线模量：E尸3—6、/缶旬=(77-62)/(930-740)=0^079

割线模量：石,=小0/%5o=77/930=0、083

泊松比:〃=金/科=319、48/990、39=0、32

六、岩石得强度理论

(1)导出莫尔-库伦强度准则。

解：如图：

由图中几何关系，在AABOi中,4就就是直角，44=。

OD=c,OA=cclg0,0出=5；6,0q=5；%

OtA=OA+OO1=cclg。+囚；

5一%

sin0=^2

任+%

。①cctg。+<71+%+2cclg0

2

—l+sin。2ccos。

或：5=-----+

1—sin^1—sin^i

(3)对岩石试样作卸载试脸，已知C:12kPa，9=36°A，=100MPa,当d=2OOMPa

时，按莫尔-库论判据，卸教达到破坏得最大围压就就是多少？如果按米色士判据又就就

是多少？

解:由上题Mohr判据

_14-sin2ccos0

'1-sin(/>'1-sin^

ZH1-sin^2ccosI-sin362x0.012xcos36一会“八

得：a,=---------5------------=------------x200--------------------------=51.87MPa

l+s:n。1一sin。1+sin36I-sin36

按米色士判据:

(5-4)2+(区-。>+(%-5『=2,

等围压时，3=%,上式变为：

5一6=%

er,=a,-<Tr=200-100=IOOMPa

(4)岩体内存在不同方向裂纹，已知八二-8MPa,

当G=42MPag=-6MPa时，按格里菲斯准则就就是否破坏，沿哪个方向破坏？

b、当5=20MPa,O3=-8MPa时，就就是否破坏，沿哪个方向破坏?

解:a、由于5+3。3=42+3乂(一6户24>0,所以其破坏准则为：哇乌2=8区

5+4

把内=42MPa,G=-6MPa,q=8MPa①取绝对值)代入上式,

....(42+6)2-

左边=--------=64

42-6

右边=8x8=64

左边二右边，刚好达到破坏。其破坏面与最大主应力之间得夹角为:

,一o、42+6

cos20二=0.6667

2(5+d)2x(42-6)

6=24.09。

b、由于S+3G=20+3X(-8)=-4<0,所以其准则为/=-8=-q按格里菲斯

准则可判断其刚好破坏,其破坏方向为沿切得方向。

(5)已知岩体中某点应力值为:巧=61、2MPa,内二-19、lMPa,c=50MPa,中=57

“尸-8、7MPa,试用莫尔-库论判据和格里菲斯准则分别判断其就就是否破坏，并讨论其结

果。

解：a、用莫尔-库论判据:

sin”

G+4+2cctg0

61.2-(一19.1)

右边二=0.7492

61.2+(-19.1)+2x50xctg57

左边=sin57=0.8388

等式不成立，所以岩体不破坏。

b、用格里菲斯准则:

5+3b3=61.2—3x19.1=3.9>0

(%一%)=j53.1A/尸“>8b,=69.6MPa

/i%

所以岩体要发生破坏，

c、根据莫尔-库伦判据岩体不破坏，而根据格里菲斯准则岩体要发生破坏。即可认为该

岩体不会发生剪切破坏，但由于岩体内部存在微裂纹和微孔洞，在外力作用下,即使作用得平

均应力不大,在微裂纹和微孔洞得周围将出现应力集中，并可能产生很大得拉应力，这时就要

用格里菲斯准则判断就就是否破坏，此题可认为岩体不产生剪切破坏，但会拉裂破坏,所以此

岩体将破坏。

七、岩体结构面得力学性质

(2)已知某岩石结构面壁抗压强度为70MPa,基本摩擦角35",野外确定JRC为11,试按巴

顿(Barton)公式绘出该结构面得。一工曲线,并试比较该曲线与库伦强度曲线得异同。

JCS

解:根据Barton公式r=crtan(J/?Clg+△)，将〃Gll，%=35JCS=70MPa代入上

式得：r=<rtan(llxlg—+35),将户10,20,…,100MPa代入计算得:

a

<7r(Barton)《ou1omb)

109、7572557、002075

2017、3763914、00415

3024、3349421、00623

4030、8858828、0083

5037、1433135、01038

6043、1722242、01245

7049、0145349、01453

8054、6994356、0166

60,24863、0186

90

418

100656779270、02075

点绘出得曲线如下：

8O

7O

6O

1

5O

O

4—Barton

-WR3O-•—Coulomb

涿2O

1O

0

020406080100120

法向应力(YPa)

从上图可以看出：Battong公式和Goulomb公式结果接近，在低正应力时（低于

JCS）,Barton公式计算得剪应力高于Coulomb公式，在高正应力时,Barton公式计算得剪

应力低于COulomb公式0

八、岩体得力学性质

(1)如图为在岩石试样中存在一结构面，

a、试证明按莫尔-库伦强度准则导出得强度判据为：

sin(2/7+夕)+sin。2c、cos夕

cy.=cy>+

sin(2/7+/)-sin°sin(2/7+°)-sin°

式中C、9为结构面参数。

b、当单轴压缩时/为多少值该岩石得强度最低？提示:可按图b关系导出。、

解：解:a、由图b,在任意/XABO'中,

OB，—%,OA=0,0+0A=/+%+etg。,NA=“，NA80'=180-(21+。)

22

由F正弦±定e理，品sin。=sin^Z.A^BO'

sin。_sin(l80-(2/7+。))

巧一区5+d,

।2+cctg。

2

化简即可张喀喘瓷券…丽建丽

证毕。

2ccos0

b、单轴时，上式为5:

sin(2/7+°)_sin°

求5对§得最小值。

do\_2ccos。•cos(26+。)•2_0

dp(sin(2/y+0)-sin0>

2c*0,cos0w0(0<90),

则只能8S(2[+O)=0,2尸+。=90,〃=45-g

因此，当夕=45-?时，岩石强度最低。

(2)地下岩体中有一结构而，其倾角为40°。当在地下200m深处开挖一洞室，如果利用上

题得公式，仅考虑岩体自重应力，问该结构面在该洞室处会否滑动?(已知Y=26kN/m>=0>

17,结构面C=0、4MPa舟=28°)、

解：

%=小=26kN/m’x200m=5.2MPa

由上题公式：

_sin(2/7+。)+sin。2ccos。

sin(277+°)—sin03sin(2/?+^)-sin(/)

右边得：

sin(2x40o+28°)+sin2800.17»“2x0.4x10'cos28°

——-----------------------------x----------x26x2004------------------------------------=4.743MP«

sin(2x400+23。)-sin2801-0.17sin(2x40°+28°)-sin28°

计算表明，满足破坏所需要得G仅为4、743MPa,而此处得实际应力已达5、2MPa,故

会滑动。

此题有错误,尸=9℃—4℃=5℃

十、地下洞室围岩稳定性分析

三、计算题

(1)考虑地应力为静•水压力状态，分别计算并绘出/=0、1队2队3a、4队5a、

6。时得Of/Qj与On/内随广得变化，并讨论其与<7()得误差。

解:为衿水压力状态即乂二1,洞室围岩中与洞轴垂直断面上任一点得应力由弹性理论得

平面问题可得：

将，=0、1ax2a、3a、4/、5N、6n代入得:

r2a3刁4a5N6；7

03/48/91524/2535/36(9

/16(94%)(96%)7%)

(0%)(75%)(89%)

%/小25/4(110/917/：6(1026/25(137/

25%)(111%)6%)04%)36(103%)

(200%)

从上表可以看出:应力重分布与无关,而与测点径向距离有关，当洞径一定时，加随r增

大而迅速减少，而5随r增大而增大，并都趋近于天然应力值。当r=6a时6、伍与6相差仅为

1/36,小于2、8%,因此一般可认为应力重分布得影响范围为r=6ao

(2)一圆形洞室得直径为5m,洞中心埋深610m,岩层密度27kN/m：泊松比0、25,试次a、

洞壁上各点得应力值并绘成曲线(0=0\10。、20。、…、90°);b当洞内有0、15MPa

得压力时,计算洞壁和拱顶得围岩应力o

解：6二y/尸610X27=16、47MPa,7二〃/'(1-〃)=1/3=%//，%//3

a、洞壁上各点得应力a=0,%=0，a=巴(1-2cos2e)+b,(l+2cos28)。

6,=\6.47(1-2cos20/3+16.47(1+2cos2/9)=21.96(1+cos2。)。

0102030405060708090

43、942、38、732、925^/18、10、95>141、320

260847158

洞壁上各点的应力

B

e

r)n

妇

7

定

b、当洞内有压力P时,洞室周边围岩应力也分布公式为:

ar=P,(r0-0-^(1-2cos2^)+cr/I+2cos2^)-P,=0o将已知条件代入得:

cr,=0.15MPa,4=21.96。+cos2。)-0.15,7“=0

洞壁:即=0crt,=21.96(1+cosO)-0.15=43.77MPa,

拱顶:即=90时,<Trt=21.96(1+cos180)-0.15=-0.15MPao

(3)试导出芬纳(Fenner)公式。、

R

_\数性区

弹性区

解:由上图可知,

在,二7?处，既就就是弹性区又就就是塑性区，故：。『十。。

所以其既满足弹性圉内得支分布应力，又满足塑性区内重分布应力

R

在弹性区：b,=4+(7RX—

R

一4r

当R=i时;

⑴

又因为其满足M-C准则:

即:sin@=(2)

<y,+4+2<?xctg夕

把①代入②式整理得:

=(1-sin。反-excos(p

若松动图已脱离原岩、则c=0,

(3)

在塑性区:

平衡方程成立，考虑静水压力状态，有

+%―%=0

(4)

a=0

由（2）变形整理

2sin°,、

…=匚寸…⑼

⑸代入（4-1）整理并分离变量

d0r2sin°dr

(7r+cctg^>I-sin^jr

两边积分后得

1/、2sin。,八

ln(cr,,+cclge)=---------Inr+C(6)

1-sin^>

将边界条件巴L.二巴,代入⑹

〃।/、2sin。,

C=ln(b“+cctge)--------------Ina⑺

1一sin。

⑺代入（6）取指数（去掉1n）

2sin夕

+cctg夕=(b“+cctgo)

整理后得塑性区应力

，=(q+cctg°)-eelgw(8)

又因为:当/?=/■时，4=6,即(8)二(3)

l-sin©

(1-sin<p卜()=(q+retgo)--c*ctg0

2sin夕

少

=[(l-sin^)cr4-cctg^]三l-sin

化简即得芬纳公式：0a0-cctge

(4)已知〃=100m,a=3m,c=0、3MPa,9二30",尸27kN/m)试求:

不出现塑性区时得国岩压力;

b、允许塑性圈厚度为2m时得围岩压力;

c、允许充分变形时得塑性圈半径。

解:由题意得：4="1=2.7MPa

a、当不出现塑性区时，即R=a时:

所Izn夕

4=[(1-sin+edge].-ctige

2ddy

17n300

=[(l-sin30)x27(X)+0.3xl(T-0.3xl0'xctg3()

=1350kPa

b、当允许塑性图厚度为2m时，即R=2+3=5m时,

2sin3。°

3»rin3O。

=[(l-sin30)x2700+0.3x10’xctg3()-().3x1(户xctg30

=153.45kPa

当允许充分变形时，即当4=0时:

o-a=[(l-sin^)crl>

0+ccig>=[(l-sin(p)a°+cctgw

l-%in3O

(1-sin30)x2700+0.3x1O'xctg302Nn3O

=3x

0.3x10-xctg30

=5.69m

(5)已次口H=100m=3m.c=0、3MPa,p=30°、y=27kN/m）同上及。果

E=120OMPa,/z=0、2,分别求洞周位移u=1Cm和〃=3Cm时得围岩压力。

asinda+cctg。)1"叱

解:由公式:q=[((T04-cctgeXl-sin(p)一cctg8

2Gmu4i

p

式中:Gm为塑性围岩沐得模量：G,=1——r=500x10«,把已知条件代入上式:

2（1+〃）

当:u—1cm时:

cr“=[(2.7xl06+0.3xl06xctg30)(l-sin30)]x

而3"

3xsin30x(2.7x106+0.3x10"xctg30)-

r

X[2X500X106X0.0I-O.3xlO,xclg3O

=0.26MPa

当:u二3cm时:

cr,=[(2.7x106+0.3xIO6xctg30Xl-sin30)]x

wnSO

3xsin30x(2.7xIO6+0.3xIO6xctg30)l-sin30

6

x[2x500x10“x0.03-O.3xiOxctg3O

=-0.26MPa

（此值为负，即不可能产生3cm得位移）

1^一、边坡岩体稳定性分析

1、如图,导出边坡不失稳得最大坡高Hmaxo

解:

解：如上图所示:发仅考虑重力作用下得时，设滑动体得重力为G,则她对于滑劫面得垂

直分量为Gco$B，平行分量为Gsin0,因此，可得滑动而上得抗滑力Fs和滑动力Fr分别为：

F=Gcosptan(p+cLT=Gsinp

则岩体边坡得稳定性系数为：

卜—Geos—tan°+U

-7"Gsi”

由上图几何关系可得：

h=-V—sin(。-/3)L=G=：pghL=.依〃sin(a-p)

sinasinp2sinasinp

将上式整理得:&=坐+-----3题色------

tgp/次〃sin〃sin(a-£)

令k=1即得滑动体极限高度Hmax：

H_2csin(zcos^?

"""/^[sin/?sin(«-/?)sin(77-^)]

2、导出楔形破坏得稳定性系数得计算式(不计凝聚力c),给出式中各项参数如何取得

得方法或公式。

解:如图所示:

BB

如图(b)所示，可能滑动体得滑动力为Gsin因垂直交线得分量为N=Gcosp,如图(c)所示,

将GcosR投影投影到AABD和ABCD面得法线方向上，得作用二滑面上得法向力为：

NNsin。_Geos/sin仇

1sin(4+4)sin(4+a)

N_Nsin仇_Geos/?sin

"sin(01+0Jsin(q+4)

T=Gsin?

设C产c2=0及Qi,较分别为滑面AABD和ABCD得粘聚力和磨擦角，则二滑面得抗滑

力为：

F=N)tantf]+N21a1192

则边坡得稳定性系怒为：

Gcos/7sin。，Gcos/？sin^.

•[ang+----------Ltan中、

k_F_Njanq+Njans?_sin©+OJsin(^+02)'

"7"Gsin7_Gsin/?

_sinHlang+sin^tan^:

sin(〃+q)tan£

3、已知边坡岩体丫=201^/0?,9=30。,(:二0、017Mpa,有一结构面倾角为40。，若设计

一坡高H=14m得边坡，问没计坡角应为多少度？(设安全系数取k=l、3)

上

解：:k=1、3K

1.3T

tan^92csina

即:K=---------1--------------------

tanp汝sin尸sin(a—1)

解法1:

由上公式，解得

K=*+2csina

lan6的sin£sin(a—尸)

K_0=__