课时跟踪检测（十五） 万有引力定律与航天

课时跟踪检测（十五）万有引力定律与航天A组—重基础·体现综合1．北斗问天，国之夙愿。我国北斗三号系统的收官之星是地球静止轨道卫星，其轨道半径约为地球半径的7倍。与近地轨道卫星相比，地球静止轨道卫星()A．周期大 B．线速度大C．角速度大 D．加速度大解析：选A近地轨道卫星的轨道半径稍大于地球半径，由万有引力提供向心力，可得Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)，解得线速度v＝eq\r(\f(GM,r))，由于地球静止轨道卫星的轨道半径大于近地轨道卫星的轨道半径，所以地球静止轨道卫星的线速度较小，选项B错误；由万有引力提供向心力，可得Geq\f(Mm,r2)＝mreq\f(2π,T)2，解得周期T＝2πeq\r(\f(r3,GM))，所以地球静止轨道卫星的周期较大，选项A正确；由ω＝eq\f(2π,T)，可知地球静止轨道卫星的角速度较小，选项C错误；由万有引力提供向心力，可得Geq\f(Mm,r2)＝ma，解得加速度a＝Geq\f(M,r2)，所以地球静止轨道卫星的加速度较小，选项D错误。2．(2025·河南高考)2024年天文学家报道了他们新发现的一颗类地行星Gliese12b，它绕其母恒星的运动可视为匀速圆周运动。已知Gliese12b的轨道半径约为日地距离的eq\f(1,14)，其母恒星质量约为太阳质量的eq\f(2,7)，则Gliese12b绕其母恒星的运动周期约为()A．13天 B．27天C．64天 D．128天解析：选A地球绕太阳运动周期约为T0＝365天，设太阳的质量为M0，日地距离为r0，Gliese12b的轨道半径为r，其母恒星的质量为M，根据万有引力提供向心力得eq\f(GM0m地,r02)＝m地eq\f(4π2,T02)r0，eq\f(GMm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r，整理得eq\f(T2,T02)＝eq\f(r3M0,r03M)，已知r＝eq\f(1,14)r0，M＝eq\f(2,7)M0，则T＝eq\f(1,28)T0≈13天，故选A。3．[多选]北斗卫星导航系统由不同轨道卫星组成，其中北斗IGSO­3卫星的运行轨道为倾斜地球同步轨道，倾角为55.9°，高度约为3.59万千米；北斗­M3卫星运行轨道为中圆地球轨道，倾角为55.3°，高度约为2.16万千米。已知地球半径约为6400千米，两颗卫星的运行轨道均可视为圆轨道，则下列说法中正确的是()A．北斗IGSO­3卫星的线速度大于北斗­M3卫星的线速度B．北斗IGSO­3卫星的周期大于北斗­M3卫星的周期C．北斗IGSO­3卫星连续经过地球非赤道上某处正上方的时间间隔约为24hD．北斗IGSO­3卫星与地面上的北京市的距离恒定解析：选BC根据Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)＝meq\f(4π2,T2)r，可知v＝eq\r(\f(GM,r))，T＝2πeq\r(\f(r3,GM))，因北斗­IGSO3卫星的轨道半径大于北斗­M3卫星的轨道半径，则北斗­IGSO3卫星的线速度小于北斗­M3卫星的线速度，北斗­IGSO3卫星的周期大于北斗­M3卫星的周期，选项A错误，B正确；北斗­IGSO3卫星运行轨道为倾斜地球同步轨道，可知其周期为24h，可以在每天的同一时刻经过地球上某点的上空，则卫星连续经过地球非赤道上某处正上方的时间间隔约为24h，但是不能定点在北京市的上空，故选项C正确，D错误。4．由中山大学发起的空间引力波探测工程“天琴计划”拟对一个超紧凑双白矮星系统产生的引力波进行探测。该计划采用三颗相同的卫星岱(SC1、SC2、SC3)构成一个等边三角形，三角形边长约为地球半径的27倍，地球恰好处于三角形中心，卫星将在以地球为中心的圆轨道上运行，如图所示(只考虑卫星和地球之间的引力作用)，则()A．卫星绕地球运行的周期大于近地卫星的运行周期B．卫星绕地球运行的向心加速度大于近地卫星的向心加速度C．卫星绕地球运行的速度等于第一宇宙速度D．卫星的发射速度应大于第二宇宙速度解析：选A根据Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r，可知轨道半径越大，周期越大，故卫星绕地球运行的周期大于近地卫星的运行周期，A正确；由Geq\f(Mm,r2)＝ma，可知轨道半径越大，向心加速度越小，所以卫星绕地球运行的向心加速度小于近地卫星的向心加速度，故B错误；第一宇宙速度是最大的环绕速度，该卫星绕地球运行的速度小于第一宇宙速度，所以C错误；地球卫星的发射速度应大于第一宇宙速度，小于第二宇宙速度，所以D错误。5.如图为某双星系统A、B绕其连线上的O点做匀速圆周运动的示意图，若A星的轨道半径大于B星的轨道半径，双星的总质量为M，双星间的距离为L，其运动周期为T，则()A．A的质量一定大于B的质量B．A的线速度一定大于B的线速度C．L一定，M越大，T越大D．M一定，L越小，T越大解析：选B双星系统中两星间距不变，角速度相等，根据v＝rω，因为rB<rA，故vA>vB，故B正确；双星靠相互间的万有引力提供向心力，所以向心力相等，故mArAω2＝mBrBω2，因为rB<rA，所以mB>mA，即B的质量一定大于A的质量，故A错误；根据牛顿第二定律得Geq\f(mAmB,L2)＝mAeq\f(4π2,T2)rA＝mBeq\f(4π2,T2)rB，其中rA＋rB＝L，联立解得：T＝2πeq\r(\f(L3,GmA＋mB))＝2πeq\r(\f(L3,GM))，故L一定，M越大，T越小，M一定，L越小，T越小，故C、D错误。6．[多选]甲、乙两颗人造卫星质量相等，均绕地球做圆周运动，甲的轨道半径是乙的2倍。下列应用公式进行的推论正确的有()A．由v＝eq\r(gR)可知，甲的速度是乙的eq\r(2)倍B．由a＝ω2r可知，甲的向心加速度是乙的2倍C．由F＝eq\f(GMm,r2)可知，甲的向心力是乙的eq\f(1,4)D．由eq\f(r3,T2)＝k可知，甲的周期是乙的2eq\r(2)倍解析：选CD两卫星均绕地球做圆周运动，甲的轨道半径是乙的2倍，由eq\f(GMm,r2)＝eq\f(mv2,r)，可得v＝eq\r(\f(GM,r))，则乙的速度是甲的eq\r(2)倍，选项A错误；由ma＝eq\f(GMm,r2)，可得a＝eq\f(GM,r2)，则乙的向心加速度是甲的4倍，选项B错误，由F＝eq\f(GMm,r2)，结合两人造卫星质量相等，可知甲的向心力是乙的eq\f(1,4)，选项C正确；两卫星均绕地球做圆周运动，且甲的轨道半径是乙的2倍，结合开普勒第三定律可知，甲的周期是乙的2eq\r(2)倍，选项D正确。7．半径R＝4500km的某星球上有一倾角为30°的固定斜面，一质量为1kg的小物块在力F作用下从静止开始沿斜面向上运动，力F始终与斜面平行。如果物块和斜面间的动摩擦因数μ＝eq\f(\r(3),3)，力F随时间变化的规律如图所示(取沿斜面向上方向为正)，2s末物块速度恰好又为0。引力常量G＝6.67×10－11N·m2/kg2。试问：(1)该星球的质量大约是多少？(2)要从该星球上抛出一个物体，使该物体不再落回星球，至少需要多大速度？(计算结果保留两位有效数字)解析：(1)设星球表面的重力加速度为g。小物块在力F1＝20N作用过程中有：F1－mgsinθ－μmgcosθ＝ma1，1s末速度为v＝a1t1，小物块在力F2＝4N作用过程中有：F2＋mgsinθ＋μmgcosθ＝ma2，且有v＝a2t2，联立以上四式，解得g＝8m/s2，由Geq\f(Mm,R2)＝mg，得M＝eq\f(gR2,G)＝eq\f(8×4500×1032,6.67×10－11)kg＝2.4×1024kg。(2)要从该星球上抛出一个物体，使该物体不再落回星球，抛出物体的最小速度为v′，必须满足：mg＝meq\f(v′2,R)，得v′＝eq\r(gR)＝eq\r(8×4500×103)m/s＝6×103m/s＝6.0km/s。答案：(1)2.4×1024kg(2)6.0km/seq\a\vs4\al(B)组—重应用·体现创新8．(2024·安徽高考)2024年3月20日，我国探月工程四期鹊桥二号中继卫星成功发射升空。当抵达距离月球表面某高度时，鹊桥二号开始进行近月制动，并顺利进入捕获轨道运行，如图所示，轨道的半长轴约为51900km。后经多次轨道调整，进入冻结轨道运行，轨道的半长轴约为9900km，周期约为24h。则鹊桥二号在捕获轨道运行时()A．周期约为144hB．近月点的速度大于远月点的速度C．近月点的速度小于在冻结轨道运行时近月点的速度D．近月点的加速度大于在冻结轨道运行时近月点的加速度解析：选B冻结轨道和捕获轨道的中心天体是月球，根据开普勒第三定律得eq\f(R13,T12)＝eq\f(R23,T22)，解得在捕获轨道运行周期T2＝T1eq\r(\f(R23,R13))≈288h，A错误；根据开普勒第二定律得，近月点的速度大于远月点的速度，B正确；鹊桥二号从捕获轨道到冻结轨道进行近月制动，在捕获轨道运行时近月点的速度大于在冻结轨道运行时近月点的速度，C错误；两轨道的近月点所受的万有引力相同，根据牛顿第二定律可知，近月点的加速度等于在冻结轨道运行时近月点的加速度，D错误。9．(2024·重庆高考)在万有引力作用下，太空中的某三个天体可以做相对位置不变的圆周运动。假设a、b两个天体的质量均为M，相距为2r，其连线的中点为O，另一天体c(图中未画出)质量为m(m≪M)，若c处于a、b连线的垂直平分线上某特殊位置，a、b、c可视为绕O点做角速度相同的匀速圆周运动，且相对位置不变，忽略其他天体的影响。引力常量为G。则()A．c的线速度大小为a的eq\r(3)倍B．c的向心加速度大小为b的一半C．c在一个周期内的路程为2πrD．c的角速度大小为eq\r(\f(GM,8r3))解析：选Aa、b、c三个天体角速度相同，由于m≪M，则对a天体有Geq\f(MM,2r2)＝Mω2r，解得ω＝eq\r(\f(GM,4r3))，故D错误；设c与a、b的连线跟a、b连线中垂线的夹角为α，对c天体有2Geq\f(Mm,\f(r,sinα)2)cosα＝mω2eq\f(r,tanα)，解得α＝30°，则c的轨道半径为rc＝eq\f(r,tan30°)＝eq\r(3)r，由v＝ωr，可知c的线速度大小为a的eq\r(3)倍，故A正确；由a＝ω2r，可知c的向心加速度大小是b的eq\r(3)倍，故B错误；c在一个周期内运动的路程为s＝2πrc＝2eq\r(3)πr，故C错误。10．神奇的黑洞是近代引力理论所预言的一种特殊天体，探寻黑洞的方案之一是观测双星系统的运动规律，天文学家观测河外星系大麦哲伦云时，发现了LMCX­3双星系统，它由可见星A和不可见的暗星B构成，两星可视为质点，不考虑其他天体的影响，A、B围绕两者连线上的O点做匀速圆周运动，它们之间的距离保持不变，如图所示。引力常量为G，由观测能够得到可见星A的线速度v和运行周期T。(1)可见星A所受暗星B的引力FA可等效为位于O点处质量为m′的星体(视为质点)对它的引力，设A和B的质量分别为m1、m2，试求m′(用m1、m2表示)；(2)求暗星B的质量m2与可见星A的线速度v、运行周期T和质量m1之间的关系式。解析：(1)设A、B的轨道半径分别为r1、r2，由题意知A、B做匀速圆周运动的角速度相同，设为ω。由牛顿第二定律，有FA＝m1ω2r1，FB＝m2ω2r2，又FA＝FB，设A、B之间的距离为r，有r＝r1＋r2，由以上各式得r＝eq\f(m1＋m2,m2)r1， ①由万有引力定律，有FA＝Geq\f(m