2025年高考数学培优讲义2-构造函数：指对同构（朗博同构）

题1-2指对同构（朗博同构）

【常见同构形式】

aealnbelnbf(x)=xex

aaa

（1）乘积模型：aeblnbelneblnbf(x)=xlnx

lna+alnb+ln(lnb)f(x)=x+lnx

eabx

afx()=

lnelnblnx

eabeaelnbex

（2）商式模型：fx()=

alnbalnbx

a−lnalnb−ln(lnb)f(x)=x−lnx

eaalneblnbf(x)=xlnx

（）和差模型：eaablnb

3aalnbx

elneelnbf(x)=elnx

1/11

1

【六大超越函数图像】

（6）

2/11

1

2020新高考1卷21（2）

1．已知函数f(x)=aex−1−lnx+lna，若f（x）≥1，求a的取值范围．

2022新高考1卷第22题

2．已知函数f()x=−exx和g(x)=−xlnx，证明：存在直线yb=，其与两条曲线y=f()x和y=g()x共

有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．

2022全国甲卷（理）21题

ex

3．已知函数f(x)=−lnx+−xa．

x

(1)若fx()0，求a的取值范围；

(2)证明：若fx()有两个零点xx12,，则xx121．

2023新高考1卷T19（2）同构+切线放缩或2次求导

3

4．已知函数f(x)=a(ex+a)−x，证明：当a＞0时，f(x)+2lna.

2

2022全国乙卷（理）16题

x2

5．已知xx=1和xx=2分别是函数f(x)=−2aex（a0且a1）的极小值点和极大值点．若xx12，则a

的取值范围是．

重点题型·归类精讲

题型一一元同构

2023深圳高二下期末·21（2）

1．已知f(x)=axe2x(aR)，若关于x的f(x)−2x−lnx0恒成立，求实数a的取值范围.

3/11

1

x+lnaalnx

2．若关于x的不等式−0对x(0,1)恒成立，则实数a的取值范围为（）

exx

1111

A．−,B．,+C．,1D．0,

eeee

宁波九校高三上期末·22（2）

1ax

3．已知函数f(x)=x+lnx−2x，e是自然对数的底数．若不等式2f(x)a(e+1)−4x对x＞0恒

x

成立，求实数a的取值范围．

江苏盐城2023届高三5月三模·22

4．已知函数f(x)=exa−e(a+lnx).

(1)当a＝1时，求fx()的单调递增区间；

(2)fx()0恒成立，求a的取值范围．

湖南九校联盟第二次联考·16

xax(1−)

5．已知不等式ealn(a0)恒成立,则实数a的最大值为_______

e

湖南省2023届高三下3月考试·16

6．已知e是自然对数的底数．若x(0，+)，mxemxln成立，则实数m的最小值是．

7．若不等式aex−+lnxlna0恒成立，则a的取值范围是()

12e

A．[,+)B．[,+)C．[,+)D．[e，+)

ee2

湖北鄂东南联考·8

8．已知函数f(x)=lnx−x−xe−x−k恒有零点，则实数k的取值范围是()

4/11

1

111

A．(−,1−B．−,1−−C．−1−,−1D．−−1,0

eee

福建龙岩九校联考·16

9．已知函数f(x)=mln(x+1)−mx，若不等式f(x)x+1−ex在(0,+)上恒成立，则实数m的取值范

围是____________.

湖南常德3月模拟

10．已知不等式ln(x+a)ex−a对x[1,+)恒成立，则a的取值范围为．

浙江省衢州、丽水、湖州三地市2023高三下学期4月教学质量检测·8

11．对任意的实数x0，不等式2ae2x−lnx+lna0恒成立,则实数a的最小值为()

2221

A.B.C.D.

e2ee2e

2022湖北四地七校高二下期中·7

12．已知实数a＞0，不等式ex-＞aln(ax)0恒成立，则a的取值范围是（）

1

A．<<aeB．0＜a＜1C．0＜a＜eD．a＞e

e

湖南郴州高二下期末·16

13．函数f(x)=emx+(m−1)x−lnx(mR)．若对任意x0，都有fx()0，则实数m的取值范围为

_________．

2023湖南邵阳二模·8

tx1

14．若不等式txe−1−ln(−1)0对任意x2e+1,+)恒成立，则正实数t的取值范围是（）

x

ln2ln2+1ln2+1ln2ln2+1

A.,+B.,+C.0,D.,

2e+12e+12e+12e++12e1

15．已知函数fxexalnaxaaa0，若关于x的不等式fx0恒成立，则实数a的取值

范围为（）

A．(0,e]B．(0,e2]C．[1,e2]D．(1,e2)

5/11

1

exaxln

16．关于x的不等式eax−−1−恒成立，则a的取值范围为．

xx

2022衡阳市八中高二期末·16

1

17．已知函数f(x)=x+alnx+−xa(a0)，若fx()0在x[2，+)上恒成立，则实数a的取值范围

ex

为．

2023届郴州三模·16

mx

1mxlnxe1

18．设实数m0，若对任意的x+，，不等式e−−恒成立，则实数m的取值范围

e2mmmx

为．

湖北省部分学校高三下5月适应性考试·14

19．对于任意实数x0，不等式2ae2x−lnx+lna0恒成立，则a取值范围是__________.

2023·广东惠州·一模T22(2)

20．已知函数f(x)=−2xalnx，若函数f(x)(a+2)x−xex恒成立，求实数a的取值范围．

2023·广东深圳·南山区高三上期末联考·22

21．已知定义在(0,+)上的函数f(x)=xeax.

(1)若aR，讨论fx()的单调性；的

2a

eaxlnx

(2)若a0，且当x(0,+)时，不等式恒成立，求实数a的取值范围.

xax

2023·广东汕头·一模T22

22．已知函数f(x)=aex−ln(x+2)+lna−2．

(1)若函数fx()在x=2023处取得极值，求a的值及函数的单调区间；

(2)若函数fx()有两个零点，求a的取值范围．

6/11

1

题型二二元同构

2022届山东聊城一模·8

23．已知正数x，y满足ylnx+ylny＝ex，则xy﹣2x的最小值为（）

11

A．12nB．2﹣2ln2C．−12nD．2+2ln2

22

ex

24．实数x，y满足ex=+ylnxylny，则−2lny的最小值为________

x

2022届T8第一次联考·8

25．设a，b都为正数，e为自然对数的底数，若aea+1+bblnb，则()

A．abeB．bea+1C．abeD．bea+1

2023茂名市高三一模·12

26．(多选)e是自然对数的底数，mn,R，已知mem+lnnnlnn+m，则下列结论一定正确的是（）

A．若m0，则mn−0B．若m0，则e0m−n

C．若m0，则mn+ln0D．若m0，则e2m+n

河北省衡水中学2023届高三下学期第三次综合素养评价·16

1

27．若正实数a，b满足a(lnb−lna+a)bea−1，则的最小值为．

ab

101

28．设ab==e11,11ln1.1，则（）

11

A．1abaB．1abb

C．aab1D．bab1

题型三局部同构

华大新高考五月押题卷·12

7/11

1

ex−1

29．(多选)已知＞0，若关于x的方程−+xxln()＝0存在正零点，则实数的值可能为

x

11

A．B．C．eD．2

e2

30．已知函数f(x)=aex−lnx−1，若f(x)0恒成立，则实数a的取值范围是．

2023·广东·海珠区高三2月联考·22

1

31．已知函数f(x)=axe0x−(a)．

2

(1)讨论函数fx()的单调性；

lnx

(2)已知函数g(x)=−f(x)有两个零点，求实数a的取值范围．

x

2023·广东3月·中学生标准学术能力诊断测试联考模拟预测T22（2）部分同构+放缩

x

32．设f(x)=(xR)，若(ex)f(x)k(lnx+1)在x(1,+)上恒成立，求k的取值范围.

ex

2023·广东·深圳中学5月适应性测试T22（1）部分同构

ex

33．已知函数f(x)=ax−alnx−，若不等式fx()0恒成立，求实数a的取值范围.

x

题型四同构+切线放缩

2023佛山一模T11

34．(多选)若正实数x，y满足xex−1=+y(1lny)，则下列不等式中可能成立的是（）

A．1xyB．1yx

C．xy1D．yx1

巴蜀中学2023届高考适应性月考卷（八）T8——局部构造+切线放缩

8/11

1

2lnx+1

35．已知函数f(x)=xe2x−−a，当x(0,+)时，fx()0恒成立，则实数a的取值范围是（）

x

2

A．(−,e−1B．(−,eC．(−,2D．(−,1

2023届湖南四大名校5月“一起考”T7

π

36．若当x0,时，关于x的不等式ex−xcosx+cosxlncosx+ax21恒成立，则满足条件的a的最小

2

整数为（）

A.1B.2C.3D.4

37．（2023·广东珠海·高三联考模拟考试）已知函数f(x)=lnx−ax−2(aR),g(x)=xex−x−a(x+1).

(1)求函数fx()的单调区间；

(2)若不等式f(x)g(x)恒成立，求实数a的取值范围.

38．（2023·广东·统考一模）已知函数f(x)=xex+1.

(1)求fx()的极值；(2)当x0时，f(x)(a+1)x+lnx+2，求实数a的取值范围.

补充练习

杭州一模（高三上期末）T16——同构有一定难度，函数分析也比较麻烦

1．已知不等式axlnaaln(x−1)()a0,a1对x(1,+)恒成立，a的取值范围是________.

2023湖北高三九师联盟1月·8

2．已知a＞b＞1，若ea+bea=aeb+1+a，则

A．ln(a＋b)＞1B．ln(a－b)＜0

C．3ab+3−23D．3ab−13

湖北名校联合体高三下学期开学考·16

9/11

1

3．已知关于x的不等式ex−1+aaln(ax−2a)(a0)恒成立，则实数a的取值范围为________.

ax1

4．对x0，恒有a(e+1)2x+lnx，则实数a的最小值为________.

x

10/11

1

专题1-2指对同构（朗博同构）

【常见同构形式】

aealnbelnbf(x)=xex

aaa

（1）乘积模型：aeblnbelneblnbf(x)=xlnx

lna+alnb+ln(lnb)f(x)=x+lnx

eabx

afx()=

lnelnblnx

eabeaelnbex

（2）商式模型：fx()=

alnbalnbx

a−lnalnb−ln(lnb)f(x)=x−lnx

eaalneblnbf(x)=xlnx

（3）和差模型：eaablnb

aalnbx

elneelnbf(x)=elnx

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【六大超越函数图像】

（6）

2/46

2020新高考1卷21（2）

1．已知函数f(x)=aex−1−lnx+lna，若f（x）≥1，求a的取值范围．

【答案】1，+)

［方法一］：【最优解】：同构

由fx()1得aex−1−lnx+lna1，即elnax+−1+lna+x−1lnx+x，而lnx+x=elnx+lnx，所以

elna+−x1+lna+x−1elnx+lnx．

令h()m=+emm，则h(m)=em+10，所以hm()在R上单调递增．

lna+−x1lnx

由e+lna+x−1e+lnx，可知h(lna+x−1)h(lnx)，所以lna+x−1lnx，所以lna(lnx−x+1)max．

11−x

令F(x)=lnx−x+1，则Fx()=−1=．

xx

所以当x(0,1)时，F(x)0,F(x)单调递增；

当x(1,+)时，F(x)0,F(x)单调递减．

所以[F(x)]max==F(1)0，则lna0，即a1．

所以a的取值范围为a1．

［方法二］:换元同构

由题意知ax0,0，令aex−1=t，所以lna+x−1=lnt，所以lna=lnt−x+1．

于是f(x)=aex−1−lnx+lna=t−lnx+lnt−x+1．

由于f(x)1,t−lnx+lnt−x+11t+lntx+lnx，而y=+xlnx在x()0,+时为增函数，故tx，即

x

aex−1x，分离参数后有a．

ex−1

xex−1−−xex−1ex−1(1x)

令gx()=，所以gx()==．

ex−1ee2xx−−222

当01x时，g(x)0,g(x)单调递增；当x1时，g(x)0,g(x)单调递减．

x

所以当x=1时，gx()=取得最大值为g(1)=1．所以a1．

ex−1

［方法三］：通性通法

1

f(x)=aex−1−lnx+lna,f()x=aex−1−，且a0.

x

3/46

1

设g(x)=f(x),则g(x)=aex−1+0,

x2

∴g(x)在(0,+)上单调递增，即fx()在(0,+)上单调递增，

f(1)=0fx==f11fx1

当a=1时，,∴()min(),∴()成立.

1

11−1

−11a

当a1时，1，a，f()f(1)=a(e−1)(a−1)0,

a∴e1a

1

x0−1

∴存在唯一x00，使得f(x0)=ae−=0，且当xx(0,0)时fx()0，当xx(0,+)时fx()0，

x0

x0−11

=ae，lna+x00−1=−lnx，

x0

x0−1

因此f(x)min=f(x0)=ae−lnx0+lna

11

=+lna+x00−1+lna2lna−1+2x=2lna+1>1,

xx00

∴fx()1,∴fx()1恒成立；

当01a时，f(1)=a+lnaa1,∴f(1)1,f(x)1不是恒成立.

综上所述，实数a的取值范围是[1,+∞).

［方法四］：

因为定义域为(0,+)，且fx()1，所以f(1)1，即aa+ln1．

1

令S(a)=+alna，则Sa()=1+0，所以Sa()在区间(0,+)内单调递增．

a

因为S(1)=1，所以a1时，有S(a)S(1)，即aa+ln1．

下面证明当a1时，fx()1恒成立．

令T(a)=aex−1−lnx+lna，只需证当a1时，Ta()1恒成立．

1

因为T(a)=ex−1+0，所以Ta()在区间[1,+)内单调递增，则[T(a)]=T(1)=ex−1−lnx．

amin

x−1

因此要证明a1时，Ta()1恒成立，只需证明[T(a)]min=e−lnx1即可．

由exx+1,lnxx−1，得ex−1x,−lnx1−x．

上面两个不等式两边相加可得exx−1−ln1，故a1时，fx()1恒成立．

当01a时，因为f(1)=a+lna1，显然不满足fx()1恒成立．

4/46

所以a的取值范围为a1．

【整体点评】（2）方法一：利用同构思想将原不等式化成elna+−x1+lna+x−1elnx+lnx，再根据函数

h()m=+emm的单调性以及分离参数法即可求出，是本题的最优解；

方法二：通过先换元，令aex−1=t，再同构，可将原不等式化成t+lntx+lnx，再根据函数y=+xlnx的

单调性以及分离参数法求出；

方法三：利用导数判断函数fx()的单调性，求出其最小值，由fmin0即可求出，解法虽稍麻烦，但是此类

题，也是本题的通性通法；

方法四：由特殊到一般，利用f(1)1可得a的取值范围，再进行充分性证明即可

2022新高考1卷第22题

2．已知函数f()x=−exx和g(x)=−xlnx，证明：存在直线yb=，其与两条曲线y=f()x和y=g()x共

有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．

【解答】

易得fx()在(0,+)，(−,0)；gx()在(0,1)，(1,+)

只有yb=过fx()与gx()交点时，恰有3个不同交点

则有f(x1)=f(x2)=g(x2)=g(x3)=b，

xx12

即e−x1=e−x2=x2−lnx2=x3−lnx3=b①

x1x1x1x1x1

∵e−x1=e−lne=x2−lnx2，且ex1,21，∴e=x2x1=lnx2②

lnx3x2x2

又∵x3−lnx3=e−lnx3=e−x2，且lnxx320,0，∴lnx3=x2x3=e③

x2

由①②③可得：x1+x3=e+lnx2=(b+x2)+(x2−b)=2x2，证毕

2022全国甲卷（理）21题

5/46

ex

3．已知函数f(x)=−lnx+−xa．

x

(1)若fx()0，求a的取值范围；

(2)证明：若fx()有两个零点xx12,，则xx121．

【详解】（1）[方法一]：同构处理

由fx()0得：e−+lnxx+x−lnx−a0

令t=x−lnx,t1，则f(t)=et+t−a0即a+ett

令g(t)=et+t,t1,+)，则g'(t)=et+10

故g(t)=+ett在区间1,+)上是增函数

gt=g11=e+

故()min()，即ae+1

所以a的取值范围为(−,e+1]

[方法二]：常规求导

fx()的定义域为(0,+)，则

111111xe−1x

xx

f(x)=−2e−+1=1−e+1−=+1

xxxxxxxx

令fx()=0,得x=1

当x(0,1),f(x)0,f(x)单调递减

当x(1,+),f(x)0,f(x)单调递增f(x)f(1)=e+1−a，

若fx()0,则ea+10−,即ae+1

所以a的取值范围为(−,e+1]

（2）法一：极值点偏移+同构简化计算

1

由题知,fx()一个零点小于1,一个零点大于1，不妨设xx121，要证xx121,即证x1

x2

11

因为x1,(0,1),即证f(x1)f，

x2x2

1x1

ex1

又因为f(x12)=f(x),故只需证f(x2)f，即证−lnx+x−xe−lnx−0,x(1,+)

x2xx

1

+lnx1

同构，原不等式变形为：exx−ln+(x−lnx)ex++lnx

x

x1

令g()x=+ex，则有g(x−lnx)g+lnx

x

6/46

1

即证：x−lnxx+ln,x(1,+)

x

1

即证h(x)=+2lnx−x0,x(1,)+

x

2

21−−(x1)

h'(x)=−−1=0,(x1)，即hx()递减，故h(x)=h(1)0，证毕.

xx22x

[方法二]：对数平均不等式

eexx

由题意得：f(x)=+ln−a

xx

ex1

令t=1，则f(t)=t+lnt−a，ft'()=1+0

xt

所以g(t)=t+lnt−a在(1,+)上单调递增，故gt()=0只有1个解

eexxeexx12

又因为f(x)=+ln−a有两个零点xx12,，故t==

xxxx12

xx12−

两边取对数得：x1−lnx1=x2−lnx2，即=1

lnxx12−ln

xx12−

又因为xx12(*)，故xx121，即xx121

lnxx12−ln

xx12−

下证xx12(*)

lnxx12−ln

x1−−x2x1x2x1x1x2

因为x1x2lnx1−lnx2ln−

lnx1−lnx2xx12x2x2x1

x1

不妨设t=11，则只需证2lntt−

x2t

2

1211

构造ht=2lnt−t+,t1，则

()ht'()=−1−2=−1−0

tttt

1

故h(t)=2lnt−t+在(1,+)上单调递减

t

1

故h(t)=h(10)，即2lntt−得证

t

2023新高考1卷T19（2）同构+切线放缩或2次求导

3

4．已知函数f(x)=a(ex+a)−x，证明：当a＞0时，f(x)+2lna.

2

3

解：即证：当a＞0时，aex+a2−x2lna+

2

7/46

33

第一步，指数化，同构变形：elna++x+a2−x2lna+elnax−(lna+x)lna−a2+

22

3

第二步，换元：令t=+lnax，tR，有et−tlna−a2+

2

3

第三步，放缩：ett−1（证明略），即证1lnaa−2+

2

3122

第四步，构造函数：令2，，故ga()在，，

g(a)=lna−a+g'(a)=−2a0,+

2a22

22132

g(a)g=ln−+=ln+11

22222

2022全国乙卷（理）16题

x2

5．已知xx=1和xx=2分别是函数f(x)=−2aex（a0且a1）的极小值点和极大值点．若xx12，则a

的取值范围是．

1

【答案】,1

e

【详解】[方法一]：转化法，零点的问题转为函数图象的交点

xx

因为f(x)=2lnaa−2ex，所以方程2lnaa−2ex=0的两个根为xx12,，

x

即方程lna=aex的两个根为xx12,，

即函数y=lnaax与函数yx=e的图象有两个不同的交点，

x2

因为xx12,分别是函数f(x)=−2eax的极小值点和极大值点，

所以函数fx()在(−,x1)和(x2,+)上递减，在(xx12,)上递增，

yx=ex

所以当时(−,x1)(x2,+)，fx()0，即图象在y=lnaa上方

yx=ex

当x(x12,x)时，fx0，即图象在y=lnaa下方

a1，图象显然不符合题意，所以01a．

令g(x)=lnaax，则g(x)=ln2aax,0a1，

x0

设过原点且与函数y=g(x)的图象相切的直线的切点为(x0,lnaa)，

2x0xx002

则切线的斜率为g(x0)=lnaa，故切线方程为y−lnaa=lnaa(x−x0)，

1

xx0021

则有−lnaa=−xlnaa，解得x=，则切线的斜率为22lna，

00lnalna=aelna

因为函数y=lnaax与函数yx=e的图象有两个不同的交点，

8/46

11

所以eln2ae，解得ae，又01a，所以a1，

ee

1

综上所述，a的取值范围为,1．

e

[方法二]：【通性通法】构造新函数，二次求导

x

f(x)=2lnaa−2ex=0的两个根为xx12,

x2

因为xx12,分别是函数f(x)=−2eax的极小值点和极大值点，

所以函数fx()在(−,x1)和(x2,+)上递减，在(xx12,)上递增，

设函数g(x)=f(x)=2(axlna−ex)，则g(x)=−2ax(lna)22e，

若a1，则g(x)在R上单调递增，此时若g0(x0)=，则fx()在

(-,x0)上单调递减，在(x0,+)上单调递增，此时若有xx=1和xx=2分别是函数

x2

f(x)=2a−ex(a0且a1)的极小值点和极大值点，则xx12，不符合题意；

若01a，则g(x)在R上单调递减，此时若g0(x0)=，则fx()在(−,x0)上单调递增，在(x0,+)上单

e

调递减，令g0(x)=，则ax0=，此时若有xx=和xx=分别是函数f(x)=2ax−ex2(a0且a1)的

0(lna)212

x0e

极小值点和极大值点，且xx12，则需满足fx(0)0，f(x0)=2(alna−ex0)=2−ex00，即

lna

e

1x01

x，xlna1故lna=x0lna=ln21，所以a1.

00lna(lna)e

[方法三]：同构+放缩（简证）

①先得出01a

xaln

xxlnaee

②alna=exelna=ex=（xaln0）

xaln(lna)2

9/46

ex

③放缩：exexe

x

e21

e(lna)1−1lna0a1

(lna)2e

重点题型·归类精讲

题型一一元同构

2023深圳高二下期末·21（2）

1．已知f(x)=axe2x(aR)，若关于x的f(x)−2x−lnx0恒成立，求实数a的取值范围.

1

【答案】a

e

【简证】f(x)−2x−lnx0恒成立等价于axe2x−(2x−lnx)0恒成立，

2xx+ln

即