四川省蓉城名校联盟2027届高二上学期期末考试数学（含答案）

高二期末试卷时间120分钟，满分150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有2.双曲线的渐近线方程为A.x±√3y=0B.√3x±y=0C.x±2y=0调查得知全年级有1000人参与该活动，且选择这三个活动项目的学生占比的饼状图如图①所示，各项目中男女生占比的条形图如图45%B.选择篮球的女生比选择足球的男生多D.选择乒乓球的同学比选择篮球的男生多4.已知抛物线y²=2x的焦点为F,P为抛物线上一点，且|PF|=2,则P的横坐标为5.抛掷一枚质地均匀的硬币两次，设事件A=“第1次正面朝上”,事件B=“第2次正面朝上”,事件C=“两次硬币朝上的面相同”,则下列结论正确的是A.事件A与事件B互斥B.事件A与事件B互为对立C.事件A与事件C相互独立D.P(AB)=P(C)A.1B.27.在正四面体P-ABC中，点E,F分别是线段BC,PC的中点，则cos<PE,AF>=l一3l一38.已知双曲线)的中心为点0,一个焦点为F.点M在双曲线上，二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9.掷一枚质地均匀的骰子6次，得到一组样本数据：5,2,3,2,x,6,则A.众数可能为2B.极差可能为3C.若x=6,则方差为3D.第30百分位数恒为2 10.在平面直角坐标系xOy中，点P是曲线E:y=√1-x²上一动点，点A,B分别是直线x-y-2=0与x,y轴的交点，则A.△PAB面积的最小值为1C.若直线x-y+a=0与曲线E有且只有一个公共点，则a∈(-1,1)A.过B,E,D₁三点作长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的截面，则截面为菱形B.存在实数a,使得直线AC₁与平面BED₁垂直C.直线AC₁∩平面CB₁D₁=P,则AP=2PC₁高二数学试卷第2页(共4页)三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。14.已知椭圆与双曲的焦点相同，若该椭圆与该双四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.(13分)已知圆C的圆心在直线x+y-1=0上，且圆C经过(-2,0),(4,0)两点.(1)求圆C的标准方程；(2)若过点(0,2)的直线1交圆C于A,B两点，且|AB|=4√2,求直线I的方程.16.(15分)为了解高二年级学生在期末考试中的数学成绩情况，某校调查了该年级500名同学的数学成绩并绘制成频率分布直方图.507090110130150成绩/分(2)求这500名同学数学成绩的中位数与平均数(同一组中的数据用该组区间的中(3)现拟在区间(50,70),[130,150]用分层抽样的方法抽取6人，然后在这6人中随机选取2人举行座谈，求选取的2人均位于区间[130,150]的概率.17.(15分)在平面直角坐标系xOy中，已知点F,F₂的坐标分别为(-√3,0),(√3,0),且该平面上的动点M(x,y)满足：√(x+√3)²+y²+√(x-√3)²+y²=4,,设点M的轨迹为E.(2)若直线y=x+m交轨迹E于A,B两点，且△AOB的面积为1,求m的值.18.(17分)(1)设PC⊥AB,三棱锥P-ABC的各个顶点都在球O的表面上.(i)证明：平面PAC⊥平面ABC;(ii)求球O的半径；(2)求平面PAC与平面PBC夹角的最大值.19.(17分)已知直线l:x-my+(m-1)t+2m=0(t∈R)与抛物线I:y²=4x交于A,B两点，不同于I的直线l₂:x-ny+(n-1)t+2n=0(t∈R)与T交于C,D两点，设直线l与l₂的交(1)证明：点T在直线x-y+2=0上；(ii)求四边形ABDC面积的最小值.1数学参考答案及评分标准一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目12345678ADCBCBCD二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.(13分)解：(1)∵圆心在直线x+y-1=0上，又∵圆C经过(-2,0),(4,0)两点，√(a+2)²+(-a+1)²=√a-4)²+(-a+1)²,…………3分解得a=1,即圆C的圆心为(1,0),∴圆C的半径r=|1-(-2)|=3,…………4分∴圆C的标准方程为(x-1)²+y²=9;…………6分(2)①当直线I的斜率不存在时，直线1为x=0,…………7分此时|AB|=4√2,满足题意；②当直线1的斜率k存在时，设l为kx-y+2=0,综上所述：直线l为x=0或3x+4y-8=0.…………13分216.(15分)解：(1)由20×(0.0025+0.005+0.01+a+0.02)=1,解得a=0.0125;…………3分(2)由图可知，成绩在区间(50,70),(70,90),(90,110),(110,130),[130,150]的频率分别为0.05,0.25,0.4,0.2,0.1,设中位数为x,解得中位数x=100分，…………6分这500名同学数学成绩的平均数x为：60×0.05+80×0.25+100×0.4+120×0.2+140×0.1=101分；…………9分不妨设为A₁,A₂,不妨设为B₁,B₂,B₃,B₄,…………11分设事件A=“这6人中选取2人，选取的2人均位于区间[130,150]”,由样本空间Ω={A₁A₂,A₁B₁,A₁B₂,A₁B₃,A₁B₄,A₂B₁,A₂B₂,A₂B₃,A₂B₄,B₁B₂,B₁B₃,得n(Ω)=15,…………13分…………15分17.(15分)∴点M的轨迹为椭圆，…………2分∴E的标准方程…………5分3(2)不妨设A,B两点的坐标分别为(x₁,y₁),(x₂,y₂),判别式△=(8m)²-4×5×(4m²-4)=16(5-m²)>0,得m²<5,…………7分…………8分…………11分又∵O到直线x-y+m=0距离…………12分即…………15分18.(17分)∴平面PAC⊥平面ABC;…………4分又∵在平行四边形ABCD中，…………5分AB⊥AC,∴ACICP,又∵平面PAC⊥平面ABC,平面PAC∩平面ABC=AC,∴PC⊥BC,∴外接球O的半径为…………10分4则A(0,0,0),B(1,0,0),C(0,1,0),设P(x,y,z),可得y=1,x²+z²=1,不妨令x=cosa,z=sina,α∈(0,π),则P(cosa,1,sinα),∴CA=(0,-1,0),CB=(1,-1,0),CP=(cosa,0,sinα),…………11分设平面PAC的一个法向量为m=(x₁,y₁,z),取x₁=sina,得m=(sina,0,-cosα),…………13分设平面PBC的一个法向量为n=(x₂,y₂,z₂),设平面PAC与平面PBC的夹角为θ,∴平面PAC与平面PBC夹角的最大值为19.(17分)解：(1)∵I与l₂的交点为T,由得…………17分…………3分…………4分5(2)(i)不妨设B(x₁,y₁),D(x₂,y₂),∴点A的坐标为…………5分整理得y²-2(t+2)y-(t-2)²=0,…………7分∴y1,y₂是关于y的方程y²-2(t+2)y-(t-2)²=0的两根，…………9分∴y+y₂=-[-2(t+2)]=2t+4,y₁y₂=-(t-2)²,…………10分即…………11分∴直线PT的斜率…………12分(ii)设四边形ABDC的面积为S,…………13分又由(i)知：直线PT平行于x轴或与x轴重合，…………15分…………∴四边形ABDC面积的最小值为…………17分61.解：直线斜率为,由斜率与倾斜角的关系易得倾斜角为,故选A.3.解：选篮球的男女生分别为315,135人，选乒乓球的男女生分别为150,150人，选足球的男女生分别为150,100人，故选C.4.解：y²=2x的准线为,由抛物线的定义知点P到准线的距离为2,∴P的横坐标为,故选B.的顶点时，|OP|²取最小值9,∴PF·PF₂≥9-7=2.故选B.7.解：不妨设P-ABC的棱长为2,PA=2a,PB=2b,PC=2c,∵E,F分别是BC,PC的中点，则PE=b+c,AF=c-2a,又∵|PE|=|A