九年级数学平行四边形专项训练题

九年级数学平行四边形专项训练题同学们进入九年级，几何学习的深度和广度都有了新的要求。平行四边形作为平面几何中的一个核心图形，不仅自身性质丰富，也是学习后续特殊平行四边形——矩形、菱形、正方形的基础。掌握好平行四边形的性质与判定，对提升逻辑推理能力和几何证明水平至关重要。本次专项训练，我们将通过一系列有代表性的题目，帮助同学们巩固基础知识，深化理解，并提升综合运用能力。一、知识回顾与要点梳理在开始训练之前，让我们简要回顾一下平行四边形的关键知识点，这是解决一切相关问题的前提。*定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。这个定义既是平行四边形的判定方法，也是它最基本的性质。*性质：1.平行四边形的对边平行且相等。2.平行四边形的对角相等，邻角互补。3.平行四边形的对角线互相平分。4.平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点。*判定：1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形（定义法）。2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形。3.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形。5.对角线互相平分的四边形是平行四边形。这些知识点是我们解决平行四边形问题的“武器库”，同学们务必熟练掌握，灵活运用。二、专项训练题（一）选择题（请选出最符合题目要求的一项）1.下列性质中，平行四边形不一定具备的是（）A.对边平行B.对角相等C.对角线相等D.对边相等*（思路点拨：本题考查平行四边形的基本性质，需要区分平行四边形与特殊平行四边形的性质差异。）*2.在平行四边形ABCD中，∠A比∠B大20°，则∠C的度数为（）A.60°B.80°C.100°D.120°*（思路点拨：利用平行四边形邻角互补的性质，设未知数建立方程求解。注意∠A与∠C的关系。）*3.下列条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（）A.AB∥CD，AD∥BCB.AB=CD，AD=BCC.AB∥CD，AD=BCD.AB∥CD，∠A=∠C*（思路点拨：本题考查平行四边形的判定定理，需要对每个选项所给条件依据判定定理进行甄别。特别注意“一组对边平行，另一组对边相等”的情况。）*（二）填空题4.在平行四边形ABCD中，已知AB=5cm，BC=8cm，则其周长为______cm。*（思路点拨：平行四边形对边相等，周长是邻边之和的2倍。）*5.平行四边形ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O，若AO=3cm，BO=4cm，则AC=______cm，BD=______cm。*（思路点拨：平行四边形对角线互相平分。）*6.如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别是边AD、BC的中点。若AB=6，EF的长为______。（*此处应有图：一个平行四边形ABCD，E在AD中点，F在BC中点，连接EF*）*（思路点拨：可尝试证明四边形ABFE或四边形EFCD是什么特殊四边形，或者连接BE、DF，通过三角形中位线定理思考。）*（三）解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）7.已知：如图，在平行四边形ABCD中，点E、F在对角线AC上，且AE=CF。求证：四边形BFDE是平行四边形。（*此处应有图：平行四边形ABCD，对角线AC、BD交于O，E、F在AC上，且AE=CF*）*（思路点拨：证明一个四边形是平行四边形有多种方法。本题可以考虑利用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”这一判定定理，连接BD交AC于点O，只需证明OE=OF即可。）*8.如图，在平行四边形ABCD中，点E是AB的中点，DE的延长线与CB的延长线相交于点F。求证：AD=BF。（*此处应有图：平行四边形ABCD，E是AB中点，DE延长交CB延长线于F*）*（思路点拨：要证AD=BF，观察图形，AD与BF分别在△ADE和△BFE中，可尝试证明这两个三角形全等。利用平行四边形的性质得到角相等、边平行的条件。）*9.已知：如图，四边形ABCD中，AB∥CD，对角线AC、BD相交于点O，且AO=CO。求证：四边形ABCD是平行四边形。（*此处应有图：四边形ABCD，AB∥CD，对角线AC、BD交于O，AO=CO*）*（思路点拨：已知一组对边平行（AB∥CD），要证平行四边形，可考虑证明这组对边相等，或另一组对边平行。结合已知的AO=CO，可通过证明三角形全等得到角或边的关系。）*10.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D是AC的中点，过点A作AE∥BC交BD的延长线于点E。（1）求证：四边形ACBE是平行四边形；（2）若AB=5，AC=6，求四边形ACBE的面积。（*此处应有图：Rt△ABC，∠C=90°，D是AC中点，AE∥BC交BD延长线于E*）*（思路点拨：第（1）问，已知AE∥BC，根据平行四边形判定，只需再证AE=BC或AC∥BE即可。可通过证明△ADE≌△CDB来实现。第（2）问，在Rt△ABC中，已知AB、AC，可先求出BC的长，再利用平行四边形面积公式计算。）*三、解题方法与技巧总结通过以上专项训练，我们可以总结出一些解决平行四边形问题的常用方法与技巧：1.紧扣定义与定理：无论是性质应用还是判定证明，都必须以定义和定理为依据，做到言必有据。2.善用转化思想：将平行四边形的问题转化为三角形的问题来解决是常用策略，例如利用对角线将平行四边形分成两个全等三角形，或构造全等三角形证明线段相等、角相等。3.关注“中点”条件：当题目中出现中点时，要联想到三角形中位线定理、中心对称图形的性质等，有时还需构造辅助线（如倍长中线）。4.学会添加辅助线：辅助线是解决几何问题的桥梁。在平行四边形中，常见的辅助线有：连接对角线、过顶点作高、构造全等三角形或等腰三角形等。5.多角度尝试：对于判定一个四边形是否为平行四边形，往往有多种思路，要学会从不同角度观察和思考，选择最简便的证法。四、参考答案与提示（一）选择题1.C（提示：平行四边形对角线互相平分，但不一定相等，矩形的对角线才相等。）2.C（提示：设∠B=x，则∠A=x+20°，因为AD∥BC，所以∠A+∠B=180°，即x+20°+x=180°，解得x=80°，所以∠A=100°，∠C=∠A=100°。）3.C（提示：选项C可能是等腰梯形，不一定是平行四边形。选项D可先由AB∥CD得到∠A+∠D=180°，再结合∠A=∠C，推出∠C+∠D=180°，从而AD∥BC。）（二）填空题4.26（提示：周长=2×(AB+BC)=2×(5+8)=26。）5.6，8（提示：AC=2AO=6cm，BD=2BO=8cm。）6.6（提示：因为E、F分别是AD、BC中点，且AD=BC，所以AE=FC。又因为AD∥BC，所以四边形AECF是平行四边形，所以EF=AC？不对，再想想。或者连接BE、DF，易证四边形BEDF是平行四边形，所以EF=BD？也不对。换个思路，因为AE=ED，BF=FC，AD=BC，所以ED=BF，又ED∥BF，所以四边形BFDE是平行四边形，所以EF=BD？不，应该是EF平行且等于AB。因为AB∥EF∥CD，且E、F是中点，EF是梯形ABCD的中位线？不，AD和BC是平行的，ABFE是平行四边形，所以EF=AB=6。对，因为AE∥BF，AE=AD/2=BC/2=BF，所以四边形ABFE是平行四边形，故EF=AB=6。）（三）解答题7.证明：连接BD，交AC于点O。∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO=CO，BO=DO（平行四边形对角线互相平分）。∵AE=CF，∴AO-AE=CO-CF，即OE=OF。∵BO=DO，OE=OF，∴四边形BFDE是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）。8.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC（平行四边形对边平行且相等）。∴∠ADE=∠F（两直线平行，内错角相等）。∵E是AB的中点，∴AE=BE。在△ADE和△BFE中，∠ADE=∠F，∠AED=∠BEF（对顶角相等），AE=BE，∴△ADE≌△BFE（AAS）。∴AD=BF。9.证明：∵AB∥CD，∴∠OAB=∠OCD（两直线平行，内错角相等）。在△AOB和△COD中，∠OAB=∠OCD，AO=CO，∠AOB=∠COD（对顶角相等），∴△AOB≌△COD（ASA）。∴BO=DO。又∵AO=CO，∴四边形ABCD是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）。10.（1）证明：∵AE∥BC，∴∠EAD=∠BCD（两直线平行，内错角相等）。∵D是AC的中点，∴AD=CD。在△ADE和△CDB中，∠EAD=∠BCD，AD=CD，∠ADE=∠CDB（对顶角相等），∴△ADE≌△CDB（ASA）。∴AE=BC。又∵AE∥BC，∴四边形ACBE是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。（2）解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=6，根据勾股定理，BC=√(AB²-AC²)=√(5²-6²)……咦，不对！AC是直角边，AB是斜边，AC=6，AB=5，斜边小于直角边了？题目数据可能有误，应该是AC=3或AB=10等。假设题目应为AC=3，则BC=√(5²-3²)=4。因为四边形ACBE是平行四边形，∴其面积=AC×BC=3×4=12。（*请同学们注意原题数据，此处假设AC=3进行计算，实际解题时以正确数据为准。核心方法是利用平行四边形面积=底×高，此处底AC，高即为BC。*）五、总结与提升平行四边形