江苏省盐城市、南京市2026届高三上学期期末调研测试数学试题（学生版+解析版）

1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，计40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，请在答题纸的指定位置填涂答案选项.1已知集合A=(-1,4),B={x∈Z|x|≤3},则A∩B=()A.{-1,0,1,2}B.{0,1,2,3}C.{0,1,2}D.(-1,3)2.若复数z满足z·(1+i)=5i,则z在复平面内所对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.已知随机变量X服从正态分布,且P(X<1)=0.3,则P(X<2)=()A.0.2B.0.3C.0.44.已知直线y=x-2与抛物线C:x²=2py(p>0)相切，则抛物线的焦点到准线的距离为()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件6.已知数列{a,}满足a₁=1,a₂=2,a+1=a·a²₋1(n≥2),记bₙ=log₂(aa+1),S,为数列{bₙ}的前n项和，则S₈=)A.63B.127C.2557.在VABC中，则tanA=()A2-√3C.18.已知函数f(x)=x+e,g(x)=x+lnx,若f(x)=g(x₂)=t(t>0),则x₁+x₂-lnt的取值范围为A.[-∞,1]B.(-∞,e)C.(1,+∞)29.已知a>b>0,c>0,则10.“水韵江苏·家门口享非遗”展示活动中，主办方从全省遴选70余项极具地方特色的非遗代表性项目，并少从中选择一个主题体验，每个主题都恰有1人体验，记事件A₁=“甲体验指尖非遗”,A₂=“甲体验潮玩非遗”,A₃=“乙体验舌尖非遗”,则()A.A₁与A₂对立BC.A₁与A₃相互独立11.在直角VABC中，已知AC=√3,D为斜边AB的中点，将△ACD沿着CD所在直线翻折，得到△PCD,记三棱锥P-BCD体积为V,则在翻折过程中()A.V的最大值为B.存在某个位置，使得CP⊥BDC.当V取最大值时，直线PC与平面BCD所成的角最大D.当V取最大值时，三棱锥P-BCD外接球的半径为12.若定义在(0,+∞)上的减函数f(x)满足f(x³)=3f(x),,请写出满足条件的一个函数f(x)=_·13.已知直线l:x+y-4=0与圆C:(x-3)²+y²=4交于A,B两点，与y轴交于点P,H为AB的中314.已知w>0,曲线y=sinwx与相邻的三个交四、解答题：本大题共5小题，计77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.(1)求数列{a,}的通项公式；(2)记bₙ=(-1)"·a²,求数列{bₙ}的前2n项和Tn·16.如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PCD是等边三角形，AB//CD,且(1)求证：平面PCD⊥平面ABCD;(2)求平面PAD与平面PBC所成角的正弦值.17.在VABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知(1)若,求A;(1)求椭圆E的标准方程；4(2)若,M,N为椭圆E上两点(均在x轴上方),且AN//BM.4②求四边形ABMN面积的最大值.419.设函数f(x)=e*(sinx+cosx),其导函数记为g(x).(1)求曲线y=f(x)在x=0处的切线方程；(3)设xn是f(x)=1在区间根，其中n∈N,求证：一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，计40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，请在答题纸的指定位置填涂答案选项.1.已知集合A=(-1,4),B={x∈Z≤3},则A∩B=()A.{-1,0,1,2}B.{0,1,2,3}C.{0,1,2}【答案】B【解析】【分析】由B={-3,-2,-1,0,1,2,3}结合集合的交集运算即可求解.详解】B={x∈Z/|x|≤3}={-3,-2,-1,0,1,2,3},所以A∩B={0,1,2,3},2.若复数z满足z·(1+i)=5i,则z在复平面内所对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】A【解析】【分析】求出,根据复数的几何意义即可求出答案.5【详解】由z·(1+i)=5i得所以z在复平面内所对应的点位于第一象限.3.已知随机变量X服从正态分布,且P(X<1)A.0.2B.0.3C.0.4【解析】【分析】利用正态分布的对称性求解即可.【详解】已知随机变量X服从正态分布,且P(X<1)=0.3,由于正态分布关于均值对称，所以P(X<2)=1-P(X>2)=1-0.3=0.7.4.已知直线y=x-2与抛物线C:x²=2py(p>0)相切，则抛物线的焦点到准线的距离为()【答案】D【解析】【分析】联立方程组，利用△=0,列出方程，求得p=4,结合抛物线的性质，即可求解.因为直线y=x-2与抛物线C:x²=2py相切，则△=(-2p)²-4×4p=0,解得p=4或p=0,因为p>0,所以p=4,所以抛物线的焦点到准线的距离为4.6A.充分不必要条件B.必要不充分条件【解析】【分析】根据充分条件、必要条件的定义结合二倍角公式即可得解.所以可以推出cos2x=cos²x-sin²x=当cosx=sinx,得tanx=1;当cosx=-sinx,得tanx=-1,∴cos2x=0推不出tanx=1.6.已知数列{a}满足a=1,a₂=2,a+1=an·a²-1(n≥2),记bₙ=log₂(aaa+1),S,为数列{b}的前n项和，则S₈=()A.63B.127C.255【答案】C【解析】【分析】由题意可得数列{b}是以1为首项，2为公比的等比数列，利用等比数列的前n项和公式即可两边同时取以2为底的对数得log₂(a+a₄)=log₂(a²·a²-1)=2log₂(a·a₋1),即bₙ=2bₙ₋1(n≥2),又b=log₂(aa)=log₂2=1,所以数列{b}是以1为首项，2为公比的等比数列，则77.在VABC中，则tanA=()【答案】B【解析】【分析】设角A,B,C对边分别为a,b,c,根据题意，得到,且,再由,求得,得到,即可求解.【详解】在VABC中，设角A,B,C对边分别为a,b,c,因为A∈(0,π),所以,所以8.已知函数f(x)=x+e,g(x)=x+lnx,若f(x)=8(x₂)=t(t>0),则x₁+x₂-lnt的取值范围为A.[-∞,1]B.[-∞,e]C.(1,+∞)D.【答案】C【解析】【分析】分析f(x),g(x)的单调性，确定x₁和x₂都是唯一的，化简g(x₂)=x₂+Inx₂=t,得t=e-x²+(t-x₂)=f(t-x₂),得x₁+x₂=t,构造函数h(t)=t-lnt,求导后即可求解.【详解】由f(x)=x+e,得f'(x)=1+e>0,所以f(x)在R上单调递增，8由g(x)=x+lnx,得x>0,且,所以g(x)在(0,+∞)上单调递增由题意：f(x₁)=x₁+eˣ=t,8(x₂)=x₂+lnx₂=t,故t=x₂+(t-x₂)=e²-2²+(t-x₂),故t=e⁻x²+(t-x₂)=f(t-x₂),根据f(x₁)=x₁+eˣ=故x₁+x₂-Int=t-lnt,t>0因此h(t)≥1,即：x₁+x₂-1nt∈(1,+∞).二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，计18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知a>b>0,c>0,则下列不等式成立的是()【答案】ABD【解析】【分析】利用作差法来比较大小可判断AB,利用指数函数单调性可判断C,利用基本不等式可判断D.9【详解】因为a>b>0,所以即,故A正确；因为a>b>0,c>0,所因为c>0,不能确定指数函数y=c×是增函数，即c⁴>c不一定成立，故C错误；因为a>0,c>0,所当且仅当ac=1时取等号，即故D正确；少从中选择一个主题体验，每个主题都恰有1人体验，记事件A₁=C.A₁与A₃相互独立【答案】BD【解析】【分析】3名游客，4个主题，每人至少从中选择一个主题体验且每个主题都恰有1人体验，则必有1名游客选择2个主题，其余2人选择1个主题，结合排列组合知识依次计算总的样本点数，事件A₁,A₂,A₃,A₁∩A₃包含的样本点数，依次判断选项即可.【详解】3名游客，4个主题，每人至少从中选择一个主题体验且每个主题都恰有1人体验，则必有1名游客选择2个主题，其余2人选择1个主题，对于A选项，甲可能同时体验两个主题，所以事件A₁与A₂不对立，故A错误；当甲只选“指尖非遗”时，则剩余2名游客有名游客选择两个主题，另外1人选择1个主题，所以样本点数丙，所以样本点数为：C₃×A²=6,所以事件A₁包含的样本点数为12,所以事件A₁∩A₃包含的样本点数为：2+2+1=5,所以所以A₁与A₃不独立，故C错误；对于D,△PCD,记三棱锥P-BCD体积为V,则在翻折过程中()A.V的最大值为C.当V取最大值时，直线PC与平面BCD所成的角最大D.当V取最大值时，三棱锥P-BCD外接球的半径为.【答案】BCD【解析】以EA,EC,EP为基底，利用空间向量的数量积公式计算可判定B,利用线面角的定义可判定C,建立空间直角坐标系，利用空间两点距离公式计算可判定D.【详解】在直角VABC中，因为AC=√3,,AB为斜边，所以AB=2√3,CB=3,△ACD为正三角形，取CD的中点E,易知A对于A,易知当面PCD垂直于底面BCD时，此时P到底面BCD的距离最远为对于B,以EA,EC,EP为空间中的一组基底，显然存在某个位置，使得CP⊥BD,故B正确；对于C,设P在底面BCD的投影为G,则直线PC与平面BCD所成的角为∠PCG,对于D,结合A知，V取最大值时PE⊥底面BCD,建立如图所示的空间直角坐标系，设三棱锥P-BCD外接球的半径为r,球心O(x,y,z),解之得故D正确.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，计15分.请把答案写在答题纸的指定位置上.12.若定义在(0,+∞)上的减函数f(x)满足f(x³)=3f(x),,请写出满足条件的一个函数f(x)=【答案】(可以是f(x)=logax,其中a∈(0,1))【答案】【解析】【分析】利用定义在(0,+∞)上的减函数，可得递减的对数函数满足题意.【详解】根据定义在(0,+∞)上的减函数，结合题意可13.已知直线l:x+y-4=0与圆C:(x-3)²+y²=4交于A,B两点，与y轴交于点P,H为AB的中【答案】【解析】【分析】由圆与直线相交可求解A,B,再由中点坐标公式求解H,令x=0,求解P,再由两点间的距离公式求解PH即可.【详解】直线与圆联立，,2x²-14x+21=0,解得,所以则中点H横坐标,纵坐标,所以14.已知w>0,曲线y=sinwx与相邻的三个交点恰为一个直角三角形的三个顶点，则【解析】【分析】利用三角恒等变换化简函数，并得到三个交点的坐标，结合直角三角形条件列出方程求解即可.【详解】设三个交点分别为A(x₁,y),B(x₂,y₂),C(x₃,y₃).,解得.(k∈Z),令k=-1,0,1,得到代入y=sinwx中得到，因此三个交点四、解答题：本大题共5小题，计77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.15.设等差数列{a,}的前n项和为Sn,已知a₄=4,S₆=15.(1)求数列{a,}的通项公式；(2)记bₙ=(-1)"·a²,求数列{bₙ}的前2n项和T₂n·【答案】(1)an=3n-8【解析】【分析】(1)设出等差数列首项与公差，根据已知条件列方程组求解即可得通项公式；(2)首先写出数列{b}的通项公式，得到T₂n的表达式，分组求和即可.【小问1详解】设等差数列{a}的首项为q,公差为d,所以aₙ=a₁+(n-1)d=-5+3(n-1)=3n-8,小问2详解】因为b2n₋1+b₂n=-(6n-11)²+(6n-8)²=3(12n-1所以数列{bn的前2n项和T₂n=(b₁+b)+(b₃+b₄)+…+(b₂₋1+b2m)16.如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PCD是等边三角形，AB//CD,且(1)求证：平面PCD⊥平面ABCD;(2)求平面PAD与平面PBC所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析【解析】【分析】(1)分别取AB,CD的中点F,E,连接EF,PE,BE,根据等腰梯形的性质得EFICD,根据等边三角形的性质得PE⊥CD,根据勾股定理得PE⊥BE,进而可证PE⊥平面ABCD,从而可证平面PCD⊥平面ABCD.(2)建立空间直角坐标系，分别求出平面PAD与平面PBC的法向量，进而可求所成角的正弦值.【小问1详解】如图，分别取AB,CD的中点F,E,连接EF,PE,BE,因为侧面PCD是边长为2的等边三角形，所以PE⊥CD,又CD,BEc平面ABCD,CDnBE=E,所以PE⊥平面ABCD,【小问2详解】由(1)知平面PCD⊥平面ABCD,又EFICD,所以EF,EC,PE两两垂直，以E为原点，以EF,EC,PE分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设平面PAD的法向量为n=(x,y,z),则取c=1,则b=√3,a=-1,所以m=(-1,√3,1)所以平面PAD与平面PBC所成角的余弦值所以平面PAD与平面PBC所成角的正弦值为17.在VABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知(1)若,求A;(2)若VABC外接圆半径为1,当VABC的面积取最大值时，求【解析】【分析】(1)由切化弦得到sinA=cos(A+B),再结合A+B=π-C,即可求解；面积公式化为得到时面积最大，进而可求解.【小问1详解】因为即sinA(1+sinB)=cos故sinA=cos(A+B),又【小问2详解】因为VABC外接圆半径为1,由正弦定理可得：a=2sinA,b=2sin(1)求椭圆E的标准方程；(2)若,M,N为椭圆E上两点(均在x轴上方),且AN//BM.,①已知直线AN的斜率为,求直线MN的斜率；②求四边形ABMN面积的最大值