2026届高考二轮专题复习：答题模板14 数列通项公式构造解题技巧有关的12类核心题型（方法+题型+实战）（原卷版）

1/2答题模板14数列通项公式构造解题技巧有关的12类核心题型目录第一部分命题解码洞察命题意图，明确攻坚方向第二部分方法建模构建方法体系，提供通用工具【结论背记清单】方法一用与关系求通项公式的解题技巧方法二已知用累加法求通项公式的解题技巧方法三已知用累乘法求通项公式的解题技巧方法四已知用求通项公式的解题技巧方法五已知用求通项公式的解题技巧方法六已知用求通项公式的解题技巧方法七已知用求通项公式的解题技巧方法八已知用求通项公式的解题技巧方法九已知用求通项公式的解题技巧方法十已知用求通项公式的解题技巧方法十一构造常数列求通项公式的解题技巧方法十二直接证明等差数列或等比数列的解题技巧第三部分题型专攻实施靶向训练，提升应试效率。【题型01】用与关系求通项公式【题型02】已知用累加法求通项公式【题型03】已知用累乘法求通项公式【题型04】已知用求通项公式【题型05】已知用求通项公式【题型06】已知用求通项公式【题型07】已知用求通项公式【题型08】已知用求通项公式【题型09】已知用求通项公式【题型10】已知用求通项公式【题型11】构造常数列求通项公式【题型12】直接证明等差数列或等比数列第四部分答题实战检验学习成效，锤炼应用能力模块说明：洞察命题意图，明确攻坚方向模块说明：洞察命题意图，明确攻坚方向1.考向聚焦：精炼概括本专题在高考中的核心考查方向与价值。

2.思维瓶颈：精准诊断学生在此类题目上的高阶思维误区与能力短板。1.考向聚焦1.考向聚焦（精炼概括本专题在高考中的核心考查方向与价值）在新高考数学中，对数列通项公式构造的考查已从单一的记忆、套用公式，发展为对数学思想方法综合运用能力的系统检验。命题旨在通过形式各异的递推关系，考查学生识别数列结构、选择并实施转化策略，最终将未知数列化归为基本数列（等差、等比）的核心素养。试题常与函数、方程、不等式等知识深度融合，在抽象推理或实际应用情境中，检验学生的逻辑思维链条与代数运算功底。核心考查三大方向：递推关系的识别与策略选择：面对繁杂的递推式，能否快速识别其结构特征，并准确匹配相应的构造方法（累加、累乘、待定系数、倒数变换等），是首要考查能力。系统化的化归与转化思想：整个求解过程本质是“化归”思想的体现。考查学生能否通过引入参数、构造辅助数列、变量替换等技巧，将复杂问题转化为等差、等比数列的模型，或构造出常数列等简单情形。“验”与“算”的严谨性：在求出通项后，是否养成验证初始项（n=1）的习惯；在利用时，是否自觉讨论n≥2与n=1的情况。这体现了数学表达的严谨性。2.思维瓶颈（精准诊断学生在此类题目上的高阶思维误区与能力短板）对型入座”僵化，缺乏结构分析，套用固定解法，当递推式稍作变形时，仍机械套用导致复杂化或错误。面对陌生的递推式缺乏主动变形、尝试将其向已知模型靠拢的探究意识。“桥梁”意识薄弱，忽略中间过程：在累加、累乘法中，混淆通项，导致项数计算错误或表达式不完整。对于待定系数法，只记结果公式，不理解构造辅助等比数列{an+λ}的由来，导致参数λ求解错误。对特殊构造（如倒数、取对数）的数学本质理解不清：对为何在分式递推时取倒数、在指数形式时取对数缺乏深刻理解，仅停留在记忆步骤层面。一旦题目稍加伪装或与其他性质结合，便无法自主构造。模块说明：模块说明：构建思维框架，提炼通用解法1.模模块化知识体系：熟记数列通项公式构造解题技巧有关的12类核心题型的相关知识内容，形成清晰的解题思维基础逻辑，便于快速定位解题切入点。2.通用解法模板化：针对高频题型，总结“审题-建模-推导-验证”法，规范解题流程，减少思维漏洞，提升答题效率。3.易错点专项突破：整理常见误区，设计针对性训练题，通过对比正确与错误解法，强化对知识边界的理解，避免重复犯错。结论背记一、基础公式/基础结论1.2.3.4.技法归纳方法一用与关系求通项公式的解题技巧核心思路：已知数列的前n项和Sn的表达式，利用关系an=例题1（2025·甘肃·模拟预测）已知数列的前项和为.(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和.例题2（2025·黑龙江吉林·模拟预测）已知数列的首项为1，其前项和为，且满足.(1)求数列的通项公式.(2)证明：.方法二已知用累加法求通项公式的解题技巧核心思路：当递推式为后项减前项等于一个关于n的函数fn解题步骤：1.写出递推式：列出an2.逐项列出：aa⋯a3.累加求和：将左边所有式子相加，中间项a2a4写出通项：移项得an=a例题3（25-26高三上·贵州遵义·月考）已知首项为1的正项数列满足．(1)求的通项公式；(2)令，求数列的前n项和．例题4（25-26高三上·吉林延边·开学考试）已知正项数列满足，.(1)求的通项公式；(2)求的前项和.方法三已知用累乘法求通项公式的解题技巧核心思路：当递推式为后项与前项的商等于一个关于n的函数fn解题步骤：1.写出递推式：列出an+12.逐项列出：aa4+4a3.累乘求积：将左边所有式子相乘，中间项a2a4.写出通项：移项得an=a例题5（2025高三·全国·专题练习）已知数列中，，，求数列的通项公式.例题6（25-26高三上·河北承德·期中）已知数列的前n项和为，且满足.(1)求数列的通项公式；(2)已知函数，求.方法四已知用求通项公式的解题技巧解题步骤：1.设出待定式：假设存在常数λ,使得an2.求解常数：展开上式得an+1=pan+3.构造新数列：原递推式可变形为a4.求新数列通项：数列an+np−1因此a5.得出最终通项：a例题7（24-25高三上·陕西·月考）已知在数列中，，且当时，.(1)求的通项公式；(2)设，数列的前项和为，证明：.例题8（25-26高三上·河南周口·月考）在数列中，，．(1)求的通项公式；(2)求的前n项和．方法五已知用求通项公式的解题技巧核心思路：将非齐次项（关于n的一次函数)也纳入待定系数，构造一个与n有关的等比数列：解题步骤：1.设出待定式：假设存在常数A,B,使得2.求解常数：展开并对比原递推式an+1=3.构造新数列：得到A,B后，数列4.求新数列通项：利用等比数列通项公式写出a5.得出最终通项：移项即可得到an例题9在数列中，已知．(1)求的通项公式；(2)求数列的前项和．例题10在数列中，．(1)证明：数列为常数列．(2)若，求数列的前项和．方法六已知用求通项公式的解题技巧核心思路：通过等式两边同时除以qn+1,构造一个关于解题步骤：1.等式变形：在原递推式an+1=a2.换元构造：令bn=a3.转化为类型四：此时bn+1=4.按方法四求解：按照方法四的步骤，先求出bn5.还原得通项：由an例题11（25-26高三上·云南昆明·月考）已知数列{}的首项且满足(1)求数列{}的通项公式；(2)求数列{}的前n项和Sn.例题12（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·月考）已知数列满足，且.(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前项和.方法七已知用求通项公式的解题技巧例题13（2025高三·全国·专题练习）已知在数列中，，，，求通项．例题14（2025高三·全国·专题练习）已知数列满足，求的通项．方法八已知用求通项公式的解题技巧1.等式变形：在递推式两边同时除以an1(注意：这里an与an+12.构造新数列：令bn=1an3.识别数列类型：数列bn是公差为−4.求新数列通项：利用等差数列通项公式b5.还原得通项：a例题15（25-26高三上·四川广安·月考）已知，．(1)证明：为等差数列，并求的通项公式；(2)令，为的前项之积，求证：．则方法九已知用求通项公式的解题技巧核心思路：对于分式型递推，取倒数可将形式简化为关于1a解题步骤1.取倒数：对递推式an12.构造新数列：令bn=13.识别问题类型：这成为关于bn4.按方法四求解：利用方法四的待定系数法，求出bn5.还原得通项：an例题16（2025高三·全国·专题练习）已知数列满足，．证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式．例题17（2025·山西·模拟预测）已知数列中，，.(1)求；(2)数列满足，设为数列的前项和，证明：.(3)设，证明：数列中任意不同的三项都不能构成等差数列.方法十已知用求通项公式的解题技巧核心思路：对于幂指数型递推，通过对数运算将乘法指数关系转化为加法线性关系。解题步骤：1.取对数：在递推式an+1=lg2.构造新数列：令bn=lg3.识别问题类型：这成为关于bn4.按方法四求解：利用方法四的待定系数法，求出bn5.还原得通项：由an=10例题18（2025高三·全国·专题练习）若数列满足，且，求的通项公式.方法十一构造常数列求通项公式的解题技巧例题19（24-25高三上·山东·月考）已知数列为正项数列，且，.(1)求数列的通项公式；(2)令，求数列的前项和.例题20（25-26高三上·辽宁·月考）记为正项数列的前项和，已知．(1)证明：数列是常数列；(2)求的通项公式；(3)记数列的前项和为，证明：．方法十二直接证明等差数列或等比数列的解题技巧例题21（2025·河南·二模）已知数列的各项均为正数，前项和为，且，是与的等差中项.(1)证明：数列是等差数列；(2)设，求数列的前项和.例题22（2025·全国·模拟预测）记为数列的前n项和，已知，，．(1)求，；(2)证明：为等比数列；(3)求．模块说明：模块说明：聚焦前沿题型，靶向提升解题能力1.精选各省市最新模拟题，确保训练内容紧密贴合当前考查方向与命题动态，帮助学生把握前沿考点。2.按题型进行系统分类与专项训练，使学生能够集中突破特定题型，深度掌握其核心解题思路与技巧。【题型01】用与关系求通项公式1．（2025·湖南永州·模拟预测）记数列的前项和为，已知.(1)求的通项公式；(2)设，求数列的前项和.2．（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）已知等比数列的前n项和为，且．(1)求m的值及的通项公式；(2)若，求数列的前n项和．3．（2025·四川成都·一模）已知正项数列的前项和为，且.(1)求的通项公式；(2)若数列满足，证明：.4．（2025·山东济宁·一模）已知数列和满足．(1)求数列和的通项公式；(2)设数列的前项和为，求证：．5．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知各项都是正数的数列，其前项和为，，且.(1)求的通项公式；(2)若，求证：.【题型02】已知用累加法求通项公式6．（2025高三·全国·专题练习）已知数列满足，，求数列的通项．7．（25-26高三上·湖北·月考）设数列的前项和为，，且，.(1)求；(2)求最小的正整数，使得.8．（2025高三·全国·专题练习）已知数列满足，，求数列的通项．【题型03】已知用累乘法求通项公式9．（2025高三·全国·专题练习）已知，，求数列的通项．10．（2025高三·全国·专题练习）已知，，求数列的通项．11．（2025高三·全国·专题练习）已知，，求数列的通项．12．（25-26高三上·江苏徐州·期中）已知数列的前项和为.(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前项和.13．（25-26高三上·湖北·期中）已知数列的首项，且满足.(1)求数列的通项公式；(2)若，求满足条件的最大整数的值.【题型04】已知用求通项公式14．（25-26高三上·江苏南京·期中）已知数列的首项，且满足递推关系.(1)求证：是等比数列，并求数列的通项公式；(2)记，数列的前项和为，若，求.15．（25-26高三上·湖南长沙·期中）已知数列满足，.(1)求的通项公式；(2)设，求数列的前项和；(3)若，从数列中依次取出第2项，第4项，第8项，…，第项，按原来顺序组成新数列，求使得不等式成立的最小正整数的值.16．（25-26高三上·广东广州·月考）已知数列满足，且．(1)证明：数列是等比数列；(2)求数列的通项公式；(3)设，若对恒成立，求b的最小值．17．（25-26高三上·上海·月考）已知数列满足，.(1)求证：数列是等比数列；(2)求数列的通项公式；(3)写出的具体展开式，并求其值.【题型05】已知用求通项公式18．（2025高三·全国·专题练习）已知数列满足，，求出数列的通项公式.19．（2025高三上·湖北孝感·专题练习）数列满足：，，．(1)求数列的通项公式.(2)数列满足：，求数列的前项和．【题型06】已知用求通项公式20．（2025·甘肃武威·模拟预测）已知数列满足，且.(1)证明：数列为等比数列，并求出的通项公式；(2)设，求数列的前项和.21．（24-25高二下·辽宁大连·期中）已知数列满足，(1)求数列的通项公式；(2)设，记数列的前项和为．①求；②若，成立，求的取值范围．22．（25-26高三上·辽宁·月考）已知数列满足，.(1)证明：数列是常数列，并求数列的通项公式；(2)设，为的前项和.（i）求；（ii）若，恒成立，求实数的最大值.23．（25-26高三上·湖南长沙·开学考试）已知数列中，，，令(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前项和．24．（24-25高二上·福建莆田·月考）已知数列满足，且．(1)求的值；(2)求证：数列是等差数列，并求出数列的通项公式；(3)求数列的前项和．【题型07】已知用求通项公式25．（2025高三·全国·专题练习）已知数列满足，，求的通项公式．26．（2025高三·全国·专题练习）已知数列满足，()，，求数列的通项公式．27．（2025高三·全国·专题练习）已知数列中，，求．28．（25-26高三上·吉林长春·期中）已知数列满足，，.(1)证明：数列是等比数列；(2)求数列的通项公式及其前项和.29．（25-26高三上·河南·月考）已知数列中，，.(1)证明：数列为等比数列；(2)求数列的通项公式；(3)设点，，.当为等腰三角形时，求的值.30．（2025高三·全国·专题练习）已知数列满足．(1)若，求数列的通项公式；(2)在（1）的条件下，是否存在，使得成等比数列？【题型08】已知用求通项公式31．（2025高三·全国·专题练习）已知在数列中，，且满足，求证：．32．（25-26高三上·广西南宁·开学考试）已知．(1)求的通项公式；(2)令，为的前项之积，求证：．33．（2025高三上·河南鹤壁·专题练习）已知数列满足，，，.(1)证明：数列是等比数列，并求的通项公式；(2)记，求的前项和为.【题型09】已知用求通项公式34．（25-26高三上·四川成都·期中）已知数列中，．(1)求数列的通项公式；(2)已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（假设糖全部溶解），糖水变甜了，请将这一事实提炼为一个不等式___________，并证明这个不等式成立；若恒成立，求正整数的最小值．35．（2025·四川绵阳·模拟预测）已知数列的首项，且满足(1)求证：为等比数列；(2)设，记的前项和，求满足的最小正整数．36．（2025·全国·模拟预测）已知数列满足.(1)证明：为等比数列；(2)求数列的前项和．37．（2025高三·全国·专题练习）已知数列满足，.求的通项公式.38．（24-25高三下·江苏苏州·开学考试）已知数列中，，(1)求数列的前项和；(2)证明：．39．（2025·陕西榆林·模拟预测）已知数列满足，，，若．(1)求证：是等差数列；(2)求的前项和的最小值；(3)求的前项和．【题型10】已知用求通项公式40．（2025·山东泰安·模拟预测）已知在数列中，，，设.(1)证明数列为等比数列，并求的通项公式；(2)设，将数列和数列的所有项，按照从小到大的顺序排列得到一个新数列，求数列的前50项和.41．（2025高三·全国·专题练习）已知数列满足，，求数列的通项．42．（2025高三·全国·专题练习）已知在数列中，，，求数列的通项．【题型11】构造常数列求通项公式43．（2025·全国·一模）设数列满足.(1)求并证明：；(2)证明：44．（25-26高三上·广东惠州·期中）已知正项数列满足且，(1)求数列的通项公式；(2)设，数列的前项和为，求（表示不超过的最大整数）.45．（2025高三·全国·专题练习）已知数列中，，．(1)证明：数列为常数列；(2)求数列的前项和．46．（2025高三·全国·专题练习）已知数列满足.(1)求的通项公式；(2)若为的前项和，求时的最小值.47．（2025·湖南·三模）已知数列满足，数列满足，且.(1)求的通项公式；(2)求的通项公式；(3)将中的项按从小到大的顺序插入中，且在任意的之间插入项，从而构成一个新数列，设的前项和为，求.48．（23-24高三上·河北廊坊·期中）在数列中，．(1)证明：数列为常数列．(2)若，求数列的前项和．【题型12】直接证明等差数列或等比数列49．（25-26高三上·江苏南京·月考）数列中，，，.(1)证明：是等差数列；(2)设，求.50．（24-25高三下·广东·开学考试）在数列中，，.(1)证明：数列是等差数列.(2)求的通项公式.(3)若，求数列的前项和.51．（2025·河南·一模）数列满足，且.(1)证明：数列是等差数列；(2)设数列的前项和为，求使成立的最小正整数的值52．（2025·贵州·三模）在数列中，，，且.(1)证明：数列是等差数列；(2)记，数列的前项和为，证明：；(3)证明：.53．（2025·云南昆明·模拟预测）设为数列的前n项和，当时，，已知，，．(1)证明：数列为等比数列；(2)求数列的通项公式；(3)求．54．（24-25高二下·河北邢台·开学考试）设数列的前项和为.(1)证明：数列为等比数列；(2)求数列的通项公式，并求数列的最大项.模块说明：模块说明：答题强化训练，实现能力跃迁。模块题量适中，全部选用最新高质量模拟题，侧重对方法模型的直接应用与巩固。题量15题1．（2025高三·全国·专题练习）已知在数列中，，，求通项．2．（24-25高二下·广东广州·期末）已知数列的首项为，且满足．(1)求数列的通项公式；(2)若，求满足条件的最大整数．3．（2025高三