习题课（二） 随机变量及其分布

习题课（二）随机变量及其分布一、选择题1．已知事件A发生时，事件B一定发生，P(A)＝eq\f(1,3)P(B)，则P(A|B)等于()A.eq\f(1,6) B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,3) D.eq\f(1,2)解析：选C因为P(AB)＝P(A)＝eq\f(1,3)P(B)，所以P(A|B)＝eq\f(PAB,PB)＝eq\f(1,3).2．甲击中目标的概率是eq\f(1,2)，如果击中赢10分，否则输11分，用X表示他的得分，计算X的均值为()A．0.5分 B．－0.5分C．1分 D．5分解析：选BE(X)＝10×eq\f(1,2)＋(－11)×eq\f(1,2)＝－0.5.3．已知离散型随机变量ξ的概率分布列如下：ξ135P0.5m0.2则数学期望E(ξ)等于()A．1 B．0.6C．2＋3m D．2.4解析：选D由题意得m＝1－0.5－0.2＝0.3，所以E(ξ)＝1×0.5＋3×0.3＋5×0.2＝2.4.4．已知随机变量X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6，\f(1,2)))，则D(2X＋1)等于()A．6 B．4C．3 D．9解析：选A因为D(2X＋1)＝D(X)×22＝4D(X)，D(X)＝6×eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))＝eq\f(3,2)，所以D(2X＋1)＝4×eq\f(3,2)＝6.5．1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，则两次都取到红球的概率是()A.eq\f(11,27) B.eq\f(11,24)C.eq\f(8,27) D.eq\f(9,24)解析：选C设从1号箱取到红球为事件A，从2号箱取到红球为事件B.由题意，P(A)＝eq\f(4,2＋4)＝eq\f(2,3)，P(B|A)＝eq\f(3＋1,8＋1)＝eq\f(4,9)，所以P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝eq\f(2,3)×eq\f(4,9)＝eq\f(8,27)，所以两次都取到红球的概率为eq\f(8,27).6．一台仪器每启动一次都随机地出现一个5位的二进制数A＝(例如：若a1＝a3＝a5＝1，a2＝a4＝0，则A＝10101)，其中二进制数A的各位数中，已知a1＝1，ak(k＝2,3,4,5)出现0的概率为eq\f(1,3)，出现1的概率为eq\f(2,3)，记X＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5，现在仪器启动一次，则E(X)＝()A.eq\f(8,3) B.eq\f(11,3)C.eq\f(8,9) D.eq\f(11,9)解析：选B法一：X的所有可能取值为1,2,3,4,5，P(X＝1)＝Ceq\o\al(4,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))0＝eq\f(1,81)，P(X＝2)＝Ceq\o\al(3,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))3×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))1＝eq\f(8,81)，P(X＝3)＝Ceq\o\al(2,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2＝eq\f(8,27)，P(X＝4)＝Ceq\o\al(1,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))1×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))3＝eq\f(32,81)，P(X＝5)＝Ceq\o\al(0,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))0×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))4＝eq\f(16,81)，所以E(X)＝1×eq\f(1,81)＋2×eq\f(8,81)＋3×eq\f(8,27)＋4×eq\f(32,81)＋5×eq\f(16,81)＝eq\f(11,3).法二：由题意，X的所有可能取值为1,2,3,4,5，设Y＝X－1，则Y的所有可能取值为0,1,2,3,4，因此Y～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(2,3)))，所以E(Y)＝4×eq\f(2,3)＝eq\f(8,3)，从而E(X)＝E(Y＋1)＝E(Y)＋1＝eq\f(8,3)＋1＝eq\f(11,3).二、填空题7．从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B＝“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)＝________.解析：P(A)＝eq\f(C\o\al(2,3)＋C\o\al(2,2),C\o\al(2,5))＝eq\f(4,10)＝eq\f(2,5)，P(AB)＝eq\f(C\o\al(2,2),C\o\al(2,5))＝eq\f(1,10)，由条件概率公式，得P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(\f(1,10),\f(2,5))＝eq\f(1,4).答案：eq\f(1,4)8．邮局工作人员整理邮件，从一个信箱中任取一封信，记一封信的质量为X(单位：克)，如果P(X<10)＝0.3，P(10≤X≤30)＝0.4，那么P(X>30)等于________．解析：根据随机变量的概率分布的性质，可知P(X<10)＋P(10≤X≤30)＋P(X>30)＝1，故P(X>30)＝1－0.3－0.4＝0.3.答案：0.39．某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为________．解析：种子发芽率为0.9，不发芽率为0.1，每粒种子发芽与否相互独立，故设没有发芽的种子数为ξ，则ξ～B(1000,0.1)，∴E(ξ)＝1000×0.1＝100，故需补种的种子数X的期望为2E(ξ)＝200.答案：200三、解答题10．某一射手射击所得环数X的分布列如下：X45678910P0.020.040.060.09m0.290.22(1)求m的值；(2)求此射手“射击一次命中的环数≥7”的概率．解：(1)由分布列的性质得m＝1－(0.02＋0.04＋0.06＋0.09＋0.29＋0.22)＝0.28.(2)P(射击一次命中的环数≥7)＝0.09＋0.28＋0.29＋0.22＝0.88.11．为深入学习贯彻党的二十大精神，认真贯彻落实习近平总书记在二十大报告中指出的“加快义务教育优质均衡发展和城乡一体化，优化区域教育资源配置”指示精神，促进城乡教育高质量共同发展．某市第一中学打算从各年级推荐的总共6名老师中任选3名去参加“送教下乡”的活动．这6名老师中，英语老师、化学老师、数学老师各2名．(1)求选出的数学老师人数多于英语老师人数的概率；(2)设X表示选出的3人中数学老师的人数，求X的均值与方差．解：(1)推荐的6名老师中任选3名去参加活动基本事件总数n＝Ceq\o\al(3,6)＝20，设事件A表示“选出的数学老师人数多于英语老师人数”，A1表示“恰好选出1名数学老师和2名化学老师”，A2表示“恰好选出2名数学老师”，A1，A2互斥，且A＝A1∪A2，P(A1)＝eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(2,2),C\o\al(3,6))＝eq\f(2,20)＝eq\f(1,10)，P(A2)＝eq\f(C\o\al(2,2)C\o\al(1,4),C\o\al(3,6))＝eq\f(1,5)，∴选出数学老师人数多于英语老师人数的概率为p＝P(A1)＋P(A2)＝eq\f(1,10)＋eq\f(1,5)＝eq\f(3,10).(2)由于从6名老师中任选3名的结果为Ceq\o\al(3,6)，从6名老师中任选3名，其中恰有m名数学老师的结果为Ceq\o\al(m,2)Ceq\o\al(3－m,4)(m＝0,1,2)，那么6名中任选3人，恰有m名数学老师的概率为P(X＝m)＝eq\f(C\o\al(m,2)C\o\al(3－m,4),C\o\al(3,6))，∴P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(0,2)C\o\al(3,4),C\o\al(3,6))＝eq\f(1,5)，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(2,4),C\o\al(3,6))＝eq\f(3,5)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,2)C\o\al(1,4),C\o\al(3,6))＝eq\f(1,5)，∴E(X)＝0×eq\f(1,5)＋1×eq\f(3,5)＋2×eq\f(1,5)＝1，D(X)＝(0－1)2×eq\f(1,5)＋(1－1)2×eq\f(3,5)＋(2－1)2×eq\f(1,5)＝eq\f(2,5).12．随机抽取某中学高一年级若干名学生的一次数学统测成绩，得到样本，并进行统计，已知分组区间和频数是[50,60)，2；[60,70)，7；[70,80)，10；[80,90)，x；[90,100]，2，其频率分布直方图受到破坏，可见部分如图所示，据此解答如下问题．(1)求样本容量及x的值；(2)从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，记2人中成绩不低于90分的人数为ξ，求ξ的数学期望．解：(1)由题意，得分数在[50,60)内的频数为2，频率为0.008×10＝0.08，所以样本容量n＝eq\f(2,0.08)＝25，x＝25－(2＋7＋10＋2)＝4.(2)成绩不低于80分的人数为4＋2＝6，成绩不低于90分的人数为2，所以ξ的所有可能取值为0,1,2，因为P(ξ＝0)＝eq\f(C\o\al(2,4),C\o\al(2,6))＝eq\f(