北师大版三年级数学上册：带小括号的混合运算（过河）

北师大版三年级数学上册：带小括号的混合运算（过河）一、教学内容分析

本课隶属于“数与代数”领域，是学生在掌握了加减乘除四则运算的基础上，首次正式学习使用小括号来改变运算顺序。从《义务教育数学课程标准（2022年版）》看，其知识定位在于理解并掌握“在含有两级运算的算式中，有小括号时要先算小括号里面的”这一基本规则，这是后续学习复杂混合运算及解决实际问题的关键基石。过程方法上，本课是发展学生“模型意识”与“运算能力”的绝佳载体。通过“过河”这一现实情境，引导学生经历“发现问题—分析数量关系—列出综合算式—认识小括号的必要性—掌握运算顺序—解决问题”的完整建模过程，将生活问题抽象为数学算式，再通过运算还原为问题答案。在素养价值层面，小括号的引入不仅是一种计算规则，更蕴含着“规定优先顺序以保证结果唯一性”的数学规则意识，以及面对复杂信息时，能通过添加“符号”来清晰表达运算逻辑的结构化思维，这为培养思维的条理性和严谨性埋下种子。因此，教学的重心应从单纯记忆规则，转向深刻理解小括号产生的必要性及其在结构化表达中的核心作用。

从学情看，学生已具备分步解决两步实际问题的能力，并能列出分步算式。然而，他们的思维正从具体形象向初步逻辑过渡，将分步算式合并为综合算式时，常因运算顺序与解题思路不一致而产生认知冲突——“我明明先算加法，为什么列成式子后变成了先算乘法？”这正是小括号引入的认知起点和思维难点。教学前测可通过一道典型的“先加后除”或“先减后乘”的实际问题（如：总人数先减去已坐船人数，再求每船坐几人），观察学生列综合算式的尝试，精准诊断其认知困境。基于此，教学调适应提供多层次支持：对于基础薄弱的学生，强化用“先算……再算……”的语言描述解题步骤，搭建从生活逻辑到数学表达的桥梁；对于多数学生，引导其在列式冲突中主动寻求“一种能标明先算哪部分的记号”；对于学有余力的学生，则可鼓励其探索同一问题不同解法的列式差异，体会小括号在确保算式意义唯一性上的力量。二、教学目标

知识目标：学生能在“过河”等具体情境中，体会小括号产生的必要性，理解“算式中有小括号时，要先算小括号里面的”这一运算顺序规定。能够正确读出带有小括号的算式，并准确计算这类两步混合运算。

能力目标：学生能够将用“先算……再算……”描述的两步实际问题，正确列成含有小括号的综合算式，并选择合适的方法进行计算，发展将实际问题抽象为数学问题的模型意识和运算能力。咱们试着把你们的想法，用数学式子清清楚楚地写下来。

情感态度与价值观目标：在小组合作探索“如何让算式听我们的话”的过程中，体验数学规定（符号）的简洁与力量，激发创造符号解决实际问题的兴趣，培养合作交流的意识。看，咱们自己发现的这个办法，和数学家想到一块儿去了！

科学（学科）思维目标：重点发展符号意识与模型思维。通过创造符号标记运算顺序的需求，到认识统一符号（小括号）的必要性，体会数学符号是表达和交流数学思想的通用语言。通过“情境—问题—算式—解答”的建模过程，提升结构化分析问题的能力。

评价与元认知目标：引导学生学会通过“先看运算顺序，再下笔计算”的步骤进行自我监控。在练习后，能依据“顺序对、计算准、格式好”的简单量规与同伴互评，并反思：“我今天遇到需要先算的情况时，想到用小括号了吗？”三、教学重点与难点

教学重点：感受小括号产生的必要性，掌握含有小括号的混合运算的运算顺序。其确立依据在于，从课标“数的运算”主题看，理解并遵循运算顺序是保证运算结果唯一、准确的“游戏规则”，是运算能力的核心要素之一。从学业评价看，能否正确使用小括号解决两步实际问题，是检验学生是否真正理解运算顺序层级、能否进行规范数学表达的关键考点。

教学难点：理解小括号的作用，并能根据实际问题正确列出含有小括号的综合算式。预设难点成因在于：学生思维中“解决问题的步骤顺序”与“综合算式的默认运算顺序”存在矛盾。例如，解决“先算总数，再平均分”的问题时，学生易列出如“29+25÷9”的错误算式。突破方向在于，强化用语言描述解题步骤，并通过对比错误算式与正确算式的不同结果，凸显“必须有一种方式告诉别人我们要先算加法”，从而让小括号的引入水到渠成。四、教学准备清单1.教师准备1.1媒体与教具：交互式课件（包含“过河”情境动画、可拖拽的人物图片、算式生成器）；实物小括号卡片（可粘贴）；板书设计规划（左侧呈现问题情境与数量关系，中部呈现列式冲突与探索过程，右侧总结运算规则）。1.2学习材料：分层学习任务单（含基础模仿题、变式应用题、开放挑战题）；小组讨论记录卡。2.学生准备2.1学具：草稿本、铅笔、橡皮。2.2心理与知识：回顾两步实际问题的分步解决方法，做好小组交流的准备。五、教学过程第一、导入环节

1.情境创设与问题驱动：同学们，暑假里幻想过去探险吗？今天，我们的数学探险队就来到了一条河边。（课件出示：河边有29名男生，25名女生，每条小船限乘9人）瞧，这就是我们遇到的第一个挑战——全体安全过河。谁能快速告诉我，我们总共有多少人？哦，29+25=54（人），反应真快。那，需要几条船呢？

1.1激发认知冲突：现在，请把你的完整想法，试着用一个综合算式表示在任务单上。我看到了不同的写法，有的同学写“29+25÷9”，有的写成了别的样子。别急着说对错，我们先来算算“29+25÷9”等于多少？按以前学的顺序，先算？对，25÷9除不尽，有点麻烦。可我们刚才明明是先算的29+25得总人数啊！看来，这个算式好像没听我们的话，它表达的运算顺序和我们的解题思路不一样了。

1.2明晰学习路径：怎么办？怎样才能让一个综合算式清清楚楚地告诉别人“请先算加法”呢？这就是今天我们探险要解决的核心问题。我们将通过小组合作，自己想办法，最后认识一位能让算式“听话”的数学新朋友。第二、新授环节任务一：分析数量关系，暴露列式冲突教师活动：首先，引导学生清晰地复述解题步骤。“我们是怎么一步一步想的？先求什么？再求什么？”根据学生回答，板书“①总人数：29+25=54（人）”、“②船数：54÷9=6（条）”。接着，提出挑战：“现在，请将这两个步骤‘压缩’成一个综合算式。就写‘29+25÷9’行不行？为什么？”组织学生小组讨论，让学生自己发现这个算式表示的是“先算25÷9”，与解题步骤矛盾。学生活动：跟随教师引导，口头表述解题思路。尝试将两个分步算式合并。在小组内讨论“29+25÷9”这个算式表达的意思，与解决问题的实际顺序进行对比，发现不一致，产生困惑并尝试表达：“我们需要先算加法，但这个式子先算除法了。”即时评价标准：1.能否清晰、完整地口述两步问题的解决步骤。2.在讨论中，能否发现所列综合算式与解题思路在运算顺序上的矛盾。形成知识、思维、方法清单：

★解决问题的步骤性：解决两步实际问题，需明确“先算什么，再算什么”的先后顺序。这是分析数量关系的核心。

▲列综合算式的冲突：当分步计算的步骤顺序（如先加后除）与综合算式的默认运算顺序（先乘除后加减）不一致时，直接合并会产生错误。这是学习新知识的逻辑起点。任务二：创造“先算标记”，体会符号必要性教师活动：肯定学生的发现，并抛出新任务：“这个矛盾提得特别好！那我们能不能自己发明一个‘标记’，加在算式里，用来提醒大家‘这里要先算’呢？小组合作，在‘29+25÷9’这个算式上做做文章，看看能创造出哪些方法。”巡视指导，收集典型方案（如画圈、画横线、打箭头、加框等）。学生活动：以小组为单位进行创造性活动。在算式上尝试用各种图形或符号将需要先算的部分“29+25”标记出来，并准备向全班展示和解释自己的设计：“我们的方法是……，它的意思是先算这一部分。”即时评价标准：1.创造的方法是否能明确指向“29+25”这个整体。2.能否向同伴清晰解释自创符号的含义。形成知识、思维、方法清单：

★符号意识的萌芽：当现有表达方式（算式）无法满足需求（指定运算顺序）时，可以创造符号来进行标识。这是数学发展的内在动力之一。

▲数学表达的规范性需求：个人的创造符号多样，不利于交流。因此，数学上需要一个统一、简洁的符号来实现这个功能。为引入小括号做好充分心理准备。任务三：认识小括号，掌握读写与算序教师活动：展示各组的创意，并给予赞赏：“你们的想法和数学家历史上思考的一模一样！最终，数学家族统一采用了这样一个符号——（）。它叫做小括号。”板书小括号，并示范写法。将小括号引入算式，写成（29+25）÷9。提问：“这个算式现在该怎么读呢？”引导学生尝试，并规范读作“29加25的和除以9”。追问：“那现在，这个算式应该按什么顺序计算？”让学生先说说，再尝试计算。学生活动：认识小括号的写法与名称。学习含有小括号算式的正确读法。在教师引导下，明确计算顺序：先算小括号里的29+25=54，再算54÷9=6。完成计算。即时评价标准：1.能否正确读出含有小括号的算式。2.计算时，是否自觉优先计算小括号内的部分。形成知识、思维、方法清单：

★小括号的形式与引入：小括号“（）”是数学中用来改变运算顺序的统一符号。它的出现源于实际需要。

★含有小括号的运算顺序规则：一个算式里有小括号，要先算小括号里面的。这是必须掌握的核心计算规则。

▲算式的规范读法：读算式时，要体现小括号的意义。如（29+25）÷9读作“29加25的和除以9”，强调“和”字。任务四：对比归纳，强化小括号功能教师活动：组织学生进行对比练习。出示两组算式：①29+25÷9与（29+25）÷9；②54÷(93)与54÷93。让学生分别计算，并观察、讨论：“小括号的加入，给算式带来了什么变化？它到底有什么本事？”引导学生总结：小括号能改变算式原有的运算顺序。学生活动：独立或同桌合作计算两组算式。通过对比计算结果的不同，直观感受小括号的强大功能——它能让算式的计算顺序“听从”我们的安排。用语言总结小括号的作用：“小括号可以改变运算顺序。”即时评价标准：1.能否通过计算对比，发现小括号对运算顺序及结果的决定性影响。2.能否用自己的话概括小括号的核心作用。形成知识、思维、方法清单：

★小括号的核心作用：小括号能改变原有的运算顺序。这是其最本质的功能。

▲对比与归纳的学习方法：通过计算具体例子并对比结果，是发现数学规律、理解概念本质的有效方法。任务五：回归情境，完整建模教师活动：带领学生回顾“过河”问题的解决全过程。从情境出发，分析数量关系，列出分步算式，遇到列综合算式的矛盾，引入小括号解决问题，最后计算得出答案。强调：“小括号是我们为了清晰、正确地表达思考过程而请来的好帮手。”板书完整解答过程。学生活动：跟随教师回顾，在任务单上整理完整解题过程：先算总人数，再算船数，列出带小括号的综合算式（29+25）÷9，最后计算作答。同桌互相讲述一遍解决问题的思路。即时评价标准：1.能否完整复述解决问题的步骤和列式理由。2.解答格式是否规范（算式、单位、答语）。形成知识、思维、方法清单：

★应用小括号解决问题的完整流程：理解题意→分析步骤（先…再…）→列出带小括号的综合算式→按顺序计算→检验作答。这是解决此类问题的通用模型。

▲数学建模思想的初步体验：将“需要多少条船”的实际问题，转化为“（总人数）÷（每船人数）”的数学模型，并用含有小括号的算式精确表达，体现了用数学解决实际问题的完整循环。第三、当堂巩固训练

设计分层练习，实施“星级挑战”。

1.基础层（★）：先说运算顺序，再计算。（156）÷3、8×（2+4）。目标：巩固基本规则。反馈：同桌互查顺序表述和结果，教师巡视，用“你的顺序说得真清楚”等语言即时鼓励。

2.综合层（★★）：解决情境问题。①一盒钢笔有8支，妈妈买了5盒，送给阿姨2支，现在还剩多少支？（列综合算式）这道题的小括号应该加在哪里？和同桌说说你的想法。目标：在新情境中灵活运用。反馈：展示不同列式（如8×52或(8×5)2，后者小括号可加可不加），讨论：这里的小括号是必须的吗？从而深化对“小括号在需要改变默认顺序时才使用”的理解。

3.挑战层（★★★）：开放编题。你能用“20”、“4”、“+”、“÷”和“（）”这些数和符号，编出两道不同的算式，并让它们的结果不一样吗？目标：创造性应用，深刻理解小括号改变顺序的本质。反馈：收集典型作品（如20÷(4+1)=4与20÷4+1=6）进行展示，请创作者讲解，激发全班思维。第四、课堂小结

知识整合：同学们，今天的探险收获满满！谁来当小老师，用“我知道了……”“我明白了……”这样的句式来总结一下？教师根据学生发言，形成简易思维导图板书：中心“小括号”——作用（改变顺序）、规则（先算括号里）、来源（表达需要）。

方法提炼：我们不仅认识了新朋友，更经历了一次完整的数学探索：遇到问题→发现冲突→创造（寻找）工具→解决问题。以后遇到新知识，也可以试着这样去想。

作业布置：必做作业：完成练习册基础题部分，并给家人讲讲“过河”问题为什么要用小括号。选做作业（二选一）：①寻找生活中一个需要“先算一部分”的例子，试着用带小括号的算式表示。②挑战数学阅读：了解一下“中括号”[]，它又有什么本领呢？六、作业设计

基础性作业（必做）：

1.计算：（12+18）÷6、7×（95）、45÷（3+6）。

2.解决问题：老师有30颗糖，平均分给6个小组的小组长，每人拿到糖后都又得到了2颗奖励，现在每人有多少颗糖？（先分步思考，再尝试列综合算式）

拓展性作业（建议完成）：

请扮演“小括号”，写一段“自我介绍”，向大家说明你的样子、你的作用、以及大家应该在什么时候请你来帮忙。可以配上图画。

探究性/创造性作业（选做）：

数字游戏：用2、4、6、8这四个数字和+、、×、÷、（）组成一个算式，使结果等于24。看看你能找到多少种不同的方法？（提示：可以网上搜索“24点游戏”规则，和家人一起玩）七、本节知识清单及拓展

★小括号的引入原因：当我们需要列一个综合算式来解决“先算加（减）法，再算乘（除）法”的问题时，原有的运算顺序规则无法满足要求，为了明确指定运算顺序，必须使用小括号。例如，先算29与25的和，再除以9，必须写成（29+25）÷9。

★含有小括号的运算顺序规则：在一个混合运算的算式里，如果有小括号，必须先算小括号里面的，再算小括号外面的。这是铁定的计算法则，计算前一定要先观察。

★小括号的作用：小括号可以改变算式原有的运算顺序。它将括号内的运算提升为最高优先级。

▲算式的读法：读含有小括号的算式时，要读出小括号的意义。如（5020）÷5读作“50减20的差除以5”，强调“差”这个结果。

▲解决问题中的列式步骤：1.分析数量关系，明确“先算什么，后算什么”。2.根据步骤列出分步算式。3.将分步算式合并。4.若合并后的综合算式运算顺序与解题步骤不一致，则请出小括号来帮忙。

★易错点提醒：列式时，要确保小括号把需要“先算”的部分完整地括起来，不能只括一部分。如“先算60减25，再把差除以7”，应列式为（6025）÷7，而非6025÷7。

▲小括号的历史与文化：小括号等数学符号是人类为了更简洁、精确地交流数学思想而发明的。历史上，人们曾用过横线、字母等不同方式来表示先算部分，直到16世纪左右，小括号才逐渐被广泛接受和使用。

▲进阶思考：如果算式里需要改变顺序的地方不止一处，或者一层小括号里面还需要再区分顺序怎么办？这就会引出“中括号”[]和“大括号”{}，它们共同构成了运算顺序的层级系统：先算小括号，再算中括号，最后算大括号。这是四年级将要学习的内容。八、教学反思

（一）教学目标达成度分析本课预设的核心目标是让学生理解必要性、掌握运算序。从巩固练习的完成情况看，约85%的学生能正确说出含有小括号算式的运算顺序并计算，表明基本规则已掌握。在解决“综合层”情境问题时，约70%的学生能正确添加或判断小括号的使用，说明多数学生已初步理解其功能。然而，在“挑战层”编题活动中，仅有少数学生能主动、灵活地运用小括号构造不同算式，反映出将知识进行创造性迁移的能力尚在发展中，这也是后续教学中需持续关注和培养的“高阶思维”部分。

（二）各环节有效性评估“导入环节”通过快速口算总人数与列综合算式的矛盾，迅速聚焦问题，激发了学生的探究欲，效果显著。“新授环节”的五个任务构成了一个逻辑严密的认知阶梯：任务一、二直面冲突、鼓励创造，是本节课的“灵魂”，学生在此处投入的思考和讨论最为热烈，生成了宝贵的课堂资源；任务三、四进行规范与归纳，将学生的感性认识提升为理性规则；任务五完成建模闭环，巩固了应用意识。整个过程中，“创造标记”任务耗时稍长，但笔者认为值得，因为这是学生真正将知识“内化于心”的关键过程，远比直接告知小括号更有价值。

（三）对不同层次学生的表现剖析在小组创造符号时，思维活跃的学生提出了多种富有想象力的方案（如画上小旗子、标上“第一步”），成为了小组的“创意引擎”；大多数学生能在同伴启发下理解和改进自己的想法；对于个别基础较弱、显得有些迷茫的学生，教师的个别指导策略是引导他反复说解题步骤，并帮他在算式中找出“应该先算