基于模型建构的行程问题探究：相遇问题专项学习（六年级数学）

基于模型建构的行程问题探究：相遇问题专项学习（六年级数学）一、教学内容分析  本课内容隶属《义务教育数学课程标准（2022年版）》中“数与代数”领域“数量关系”主题，是小学阶段运用算术方法解决实际问题的典型与高阶内容。从知识图谱看，它上承“速度、时间、路程”三量关系，下启初中用方程、函数分析动态问题，是算术思维向代数思维过渡的关键桥梁。其认知核心在于引导学生将复杂的动态情境抽象为“线段图”这一数学模型，并在此模型基础上进行逻辑推理与运算。课标强调的“模型意识”与“推理能力”在此得到集中体现：学生需经历“现实情境抽象为数学问题→构建几何直观模型（线段图）→利用模型分析数量关系→解决问题并解释结果”的完整过程。这不仅是解决一类问题技能的掌握，更是数学建模思想的初步萌芽和逻辑思维能力的结构化训练。从素养渗透视角，本课通过探究两个物体在运动中的时空关系，有助于学生形成用联系的、动态的眼光分析问题的科学世界观，并在合作解题中培养严谨求实的科学态度。  学情研判显示，六年级学生已牢固掌握速度、时间、路程的单一关系，具备基本的画线段图表示数量关系的经验，但对涉及两个物体“相向运动”、“中途变速”等复杂情形的综合分析能力薄弱。常见认知误区包括：混淆“速度和”与单个速度的概念；在非同时出发或路程分段的情境中找不准对应关系；线段图绘制不规范导致分析失误。教学难点源于学生从静态、单一对象分析转向动态、多对象关系分析的思维跨度。因此，教学将设计“前测”环节，通过一道基础相遇问题快速诊断学生建模水平的层次差异（如：能否画图、能否找准“路程和”）。后续教学将以此为基点，提供差异化的“脚手架”：对于基础层学生，强化“一动一静”到“两动同时”的认知铺垫与标准作图规范；对于进阶层学生，则引导其探究变式情境，挑战思维定式。课堂将通过“追问链”、小组互评作图、变式题即时反馈等方式，持续进行形成性评估，动态调整教学节奏与支持策略。二、教学目标  1.知识目标：学生能准确阐述相遇问题的核心数量关系“路程和=速度和×相遇时间”，并能在“同时出发、相向而行、途中相遇”的标准情境及“不同时出发”、“中途休息”等变式情境中，辨识出该关系的各种变化形式，运用算术方法正确求解未知量。  2.能力目标：学生能够独立、规范地绘制描述相遇问题的线段图，并借助线段图这一几何直观模型，清晰地分析复杂行程情境中的数量关系，进行有条理的逻辑推理，形成解决问题的一般性策略。  3.情感态度与价值观目标：在小组合作探究与交流中，学生能积极参与讨论，乐于分享自己的解题思路，并认真倾听、辩证评价同伴的解法，体验通过协作攻克思维难题的成就感，增强学习数学的信心。  4.科学（数学）思维目标：重点发展学生的模型建构思想与几何直观能力。通过将文字描述转化为线段图的多次训练，学生能体会到用数学模型简化现实问题的力量，初步形成“抽象建模求解验证”的思维路径。  5.评价与元认知目标：学生能依据清晰的评价标准（如线段图的完整性、对应关系的准确性）对自我及同伴的解题过程进行评价；能在课堂小结时，反思自己从“无从下手”到“掌握方法”的学习过程，总结构建模型的关键步骤。三、教学重点与难点  教学重点：构建相遇问题的基本数学模型（路程和=速度和×相遇时间），并掌握通过画线段图来分析数量关系、解决问题的策略。其确立依据在于，此模型是解决所有相遇类问题的逻辑核心与通用工具，深刻体现了数学建模思想，是课标强调的“模型意识”在本学段的具体落脚点，也是小升初能力考查中高频出现的核心考点，对学生后续学习分阶段行程、工程问题等具有奠基性作用。  教学难点：在非标准化的变式情境（如不同时出发、一方中途停留、速度变化）中，学生能够灵活、准确地抽象出“路程和”与“相遇时间”的对应关系，并正确绘制线段图进行表征。难点成因在于，这些情境破坏了标准模型的“对称性”与“同时性”，对学生分析动态过程、进行分段处理的能力要求较高，学生容易因思维不全面或线段图绘制不当而导致关系识别错误。突破方向在于，通过“慢镜头”分解运动过程、对比标准图与变式图差异、强化“时间轴”意识等策略进行引导。四、教学准备清单1.教师准备1.1媒体与教具：交互式课件（含动态演示两物体相向而行的动画）、实物投影仪。1.2学习材料：分层学习任务单（含前测题、核心探究任务、分层巩固练习）、标准线段图绘制模版贴板、不同颜色磁贴（代表两个运动物体）。2.学生准备2.1学具：直尺、铅笔、不同颜色的彩笔。2.2预习：复习速度、时间、路程三者关系，并尝试用自己的话解释。3.环境布置3.1座位：四人小组合作式就坐。3.2板书：左侧预留核心模型与线段图范例区，右侧作为学生作品展示与问题生成区。五、教学过程第一、导入环节1.情境创设与问题提出  （播放一段两个同学从校门两侧相向步行至相遇的简短视频）同学们，生活中你们有没有和好朋友约好碰面的经历？假如已知你和小明的步行速度，以及你们两家之间的距离，你能算出多久后能会面吗？这其实就是数学中一个非常经典的问题——相遇问题。今天，我们就化身“行程分析师”，一起来揭开其中的奥秘。1.1唤醒旧知与路径明晰  要解决这个会面时间问题，我们需要哪些“旧兵器”？（速度×时间=路程）没错。但当两个人一起动起来时，情况就变复杂了。本节课，我们将通过“画图”这个强大的工具，把动态的过程“定格”下来分析，从而找到隐藏的规律。我们的探索路线是：从最简单的情形入手建模，再挑战更复杂的现实情境。第二、新授环节任务一：基础情境，初建模型教师活动：  出示例1：甲、乙两人从相距1000米的A、B两地同时出发，相向而行。甲每分钟走60米，乙每分钟走40米。几分钟后两人相遇？  首先，不急着算。请大家想象一下这个画面，然后用手中的彩笔和直尺，尝试在任务单上把题目描述的情景“画”出来。怎么用一条线段表示1000米？怎么表示两个人“同时”、“相向而行”？我给大家一个小提示：可以用不同的点或符号代表甲和乙。（巡视，选取用箭头表示方向、用线段表示行进路程的画法进行展示）看，这位同学用两个箭头从线段两端往中间画，非常形象！大家同意吗？有没有不同思路？学生活动：  独立思考并尝试画图表示题意。小组内交流各自的画法，讨论哪种方式最清晰易懂。观察教师展示的同伴作品，理解用带箭头的线段（即“线段图”）表示运动过程和方向的方法。即时评价标准：  1.作图规范性：能否用直线段表示总路程，并用不同颜色或标识区分两个物体。  2.运动表征准确性：能否用从两端指向中间的箭头正确表示“相向而行”。  3.信息标注完整性：能否在线段图上标出已知的距离、速度。形成知识、思维、方法清单：  ★线段图是分析行程问题的利器。它能将抽象的“相向而行”转化为直观的视觉图像，是构建数学模型的第一步。教学时需强调作图规范：先画一条线段表示总路程，两端标出出发点和方向。  ★“相遇点”的意义。在线段图上，两人相遇点将总路程分割为两部分，这两部分路程分别由甲和乙在相同时间内走完。引导学生发现“时间相同”这个隐藏条件。  ▲从“单独动”到“一起动”的思维转换。可以设问：“如果只有甲走完全程要多久？只有乙呢？现在两人一起走，总路程不变，但‘工作效率’（速度）发生了什么变化？”从而引出“速度和”概念。任务二：数形结合，提炼公式教师活动：  现在图已经画好了，看着图，谁能说说“1000米”在这个运动过程中，到底是什么？（是甲走的路程加上乙走的路程）非常好！数学上，我们称之为“路程和”。（板书：路程和）那么，甲每分钟走60米，乙每分钟走40米，两人“1分钟”靠近多少米？我们一起来动动手：让两个磁贴代表甲和乙，在黑板线段图上从两端同时移动一格（代表1分钟行程）。（学生答：100米）这100米就是他们的“速度和”。（板书：速度和）  现在，问题“几分钟后相遇”其实就是问：几个这样的“速度和”加起来等于总路程“1000米”？怎么列式？（1000÷(60+40)=10分钟）谁能根据这个算式，总结出一个通用的数量关系式？学生活动：  观察教师动态演示，理解“路程和”与“速度和”的直观含义。根据线段图和分析，列出算式并计算。尝试用语言概括关系：总路程除以速度和等于相遇时间。进而抽象出：路程和=速度和×相遇时间。即时评价标准：  1.概念理解：能否准确解释“路程和”与“速度和”在此情境中的具体意义。  2.逻辑表达：能否依据线段图，清晰地阐述算式的每一步所对应的实际含义。  3.抽象概括：能否从具体算式中，提炼出一般化的数学模型（公式）。形成知识、思维、方法清单：  ★核心模型：路程和=速度和×相遇时间(S=(v1+v2)×t)。这是解决所有相遇问题的基石。务必让学生理解其推导过程，而非死记硬背。  ★“数形结合”思想的典范。公式的得出完全依赖于线段图的直观支持。要强调“看图想关系”，让图形思维引导代数思维。  ◉公式的变式应用。引导学生推导出：相遇时间=路程和÷速度和；速度和=路程和÷相遇时间。明确三者知二求一。任务三：变式探究一：不同时出发教师活动：  现实情况往往更复杂。变式题：甲先从A地出发去B地，每分钟走60米。3分钟后，乙从B地出发去A地，每分钟走40米，两地相距1000米。问乙出发后几分钟两人相遇？  “3分钟后乙才出发”，这个条件让我们的线段图该怎么调整？请大家以小组为单位，合作画出新的线段图。重点思考：当乙出发时，甲已经走了多远？此时两人之间的“路程和”还是1000米吗？（巡视指导，关注小组能否将甲先走的3分钟路程单独表示出来）学生活动：  小组合作讨论，重新绘制线段图。关键点在于表示出甲单独行走的3分钟路程（60×3=180米），并认识到乙出发时，剩余的路程和为1000180=820米。在此基础上，应用模型解决问题。即时评价标准：  1.读题与转化能力：能否将“不同时出发”准确转化为线段图中的“一段先行路程”。  2.合作有效性：小组成员是否全员参与作图讨论，能否共同纠错。  3.模型迁移能力：能否在调整后的新“路程和”基础上，正确应用相遇模型。形成知识、思维、方法清单：  ▲“路程和”的动态性。在非同时出发的问题中，“路程和”并非一开始就是总距离，而是从“后者出发时”算起，两人之间剩下的距离。这是突破此类难点的关键。  ◉分段处理思想。复杂行程问题常需“分段看待”：先处理单独运动阶段，再处理共同运动阶段。画图时常用“时间轴”或分段线段来清晰呈现。  ★“相遇时间”的指向。明确问题所问的“相遇时间”是针对谁而言的。本题问“乙出发后几分钟”，所以计算时用的“路程和”和“速度和”都是以乙出发为起点的。任务四：变式探究二：中途停顿或折返教师活动：  挑战升级！如果相遇途中有人“开小差”或走错路呢？出示题目：A、B两地相距480米，甲、乙同时从两地相向而行，甲每分走50米，乙每分走30米。甲在途中遇到朋友停留了1分钟，然后继续前进。问从出发到相遇共用了多少分钟？  “甲停留1分钟”，这段时间乙在干嘛？（继续走）那么，这1分钟乙走的路程，对两人的“路程和”有什么影响？请大家先独立思考画图，再和同桌交换意见，看看你们的图能否清晰展示这“丢失的1分钟”。学生活动：  独立思考并作图，重点表现甲停留的1分钟。通过与同桌讨论，理解可以将甲停留的1分钟视为乙单独走了1分钟（30米），这相当于乙“提前”消耗掉了一部分总路程。然后，剩余路程再由两人以速度和共同走完。最后总时间需加上甲停留的1分钟。即时评价标准：  1.动态过程分析能力：能否将“一方停顿”合理转化为“另一方单独行走一段”。  2.作图创意与清晰度：线段图能否创新性地（如用虚线、标注“停”）表示停顿时段。  3.综合思维：能否将“分段处理”与“模型应用”有机结合，不重不漏地计算总时间。形成知识、思维、方法清单：  ▲“停顿”问题的转化策略。将一方的停顿时间，等价视为另一方单独前进的时间，从而将不规则运动“修正”为标准的相遇模型来处理。这是一种重要的数学转化思想。  ◉“总时间”的组成分析。最终所求时间可能包含共同运动时间与单独运动时间（或停顿时间）。解题后需引导学生复盘时间构成，验证合理性。  ★几何直观的优越性。面对如此复杂的描述，线段图几乎是厘清思路的唯一有效工具。再次强调研图习惯的必要性。第三、当堂巩固训练  现在进入我们的“练兵场”，请大家根据自身情况，至少完成A组，鼓励挑战B组，学有余力的同学可以冲击C组。  A组（基础应用）：  1.两列火车从相距570千米的两地同时相向开出。甲车每小时行110千米，乙车每小时行80千米。经过几小时两车相遇？  B组（综合变式）：  2.小张和小李在环形跑道上跑步，跑道一圈400米。他们从同一地点同时反向出发，小张速度是6米/秒，小李是4米/秒。第一次相遇时，小张比小李多跑了多少米？  C组（挑战拓展）：  3.甲、乙从A、B两地出发相向而行。第一次在离A地600米处相遇。相遇后继续前进，到达对方出发地后立即返回，第二次在离B地300米处相遇。求A、B两地距离。  【反馈机制】学生独立完成后，首先小组内互批A组题，重点依据“是否画图”、“算式依据是否清晰”进行互评。教师随即利用投影展示具有代表性的B组题解法（包括正确和典型错误），引导学生聚焦“环形跑道相遇问题中‘路程和’是什么？”（一圈的长度）。对于C组题，请做出答案的学生简要分享思路，重点揭示“第二次相遇时，两人共走了几个全程？”这一关键突破点，激发全体学生的深层思考。第四、课堂小结  旅程即将到站，我们来绘制一张属于今天的“思维地图”。请大家以“相遇问题”为中心，用关键词和箭头的方式，梳理我们今天学到了什么。（请几位学生分享他们的思维导图，教师整合板书）核心是“建模”：通过画线段图这个法宝，把生活问题变成数学问题，提炼出路程和=速度和×时间这个核心模型，再用它去攻克不同时、会停顿等各种变式堡垒。  【作业布置】必做（基础）：完成练习册上关于标准相遇问题的3道题，要求必须配线段图。选做（拓展）：1.寻找一个生活中的“相遇”或“合作”情境，编一道数学题并解答。2.探究：如果甲乙不是相向而行，而是同向而行，快者追慢者，那又会是什么模型？试着画图研究一下。六、作业设计基础性作业（必做）：  1.巩固概念：默写相遇问题的核心公式，并用自己的话解释每个量的含义。  2.标准应用：两道标准的同时出发相向相遇应用题。要求：规范绘制线段图，并列式解答。拓展性作业（建议大多数学生完成）：  3.情境应用（微型项目）：假设你和朋友计划周末从各自家同时出发，前往中间的图书馆汇合。请通过地图软件估算两家到图书馆的大致距离，并假设合理的步行速度，计算你们需要约在几点同时出发，才能刚好在图书馆开门时间到达。写出完整的计算过程。探究性/创造性作业（选做）：  4.变式深究：自行设计一道“一方中途折返取物后再相遇”的复杂行程问题，并给出详细解答。要求情节合理，线段图清晰。  5.跨学科联系：查阅资料，了解物理学中的“相对速度”概念。思考：在相遇问题中，“速度和”与“相对速度”有什么联系？写一份简要的发现报告。七、本节知识清单及拓展  ★1.相遇问题基本模型：指两个物体从两地同时出发，相向而行，最终在途中某点相遇的问题。其最核心、最通用的数量关系是：路程和=速度和×相遇时间。这是所有分析的出发点。  ★2.线段图建模法：解决相遇问题的首选策略。步骤：①画一条线段表示总路程，标出两端点（出发地）；②用箭头从两端向中间画，表示相向而行；③标出已知的速度、距离；④在相遇点做标记。图形能将复杂的动态关系静态化、可视化。  ★3.“路程和”概念：指从开始到相遇，两个物体所行驶的路程总和。在标准同时出发问题中，路程和等于两地的初始距离。这是模型中的“S”。  ★4.“速度和”概念：指两个物体单位时间内共同靠近的距离。即(v1+v2)。它衡量了两人“合作”缩短距离的效率。  ◉5.同时性理解：基本模型的前提是“同时出发”，从而保证“相遇时间”对两者相同。若不同时，需先处理先行者单独走的路程。  ◉6.变式1：不同时出发的处理：先计算先行者在单独时间内走过的路程，再从总路程中减去它，得到两人“共同运动阶段”的“路程和”。公式应用于此段路程和与速度和。  ◉7.变式2：中途停顿的处理：将一方的停顿时间，等价转化为另一方单独前进的时间。即在这段时间内，总路程被单独运动者消耗掉一部分，剩余路程再按相遇模型处理。总时间需加上停顿时间。  ▲8.环形跑道相遇：在环形跑道上反向（相向）而行，第一次相遇时，两人路程之和等于跑道一圈的长度。这是“路程和”概念在封闭路线上的应用。  ▲9.多次相遇问题：从两端出发的多次相遇中，第n次相遇时，两人共走过的路程和通常是(2n1)个全程。理解这一点需要强大的空间想象和过程分析能力，通常作为拓展。  ◉10.方程思想的渗透：对于复杂问题，设未知数（通常设时间为x），根据“甲路程+乙路程=总路程”列方程求解，是更通用的代数方法，为初中学习做铺垫。八、教学反思  （假设课堂实况复盘）本节教学设计以“模型建构”为主线展开，从课堂反馈看，教学目标基本达成。通过前测，迅速识别出约20%的学生能直接套用公式但说不清原理，30%的学生画图困难。这为后续的差异化指导提供了明确靶向。导入环节的生活情境和动态演示成功激发了兴趣，“化身分析师”的角色赋予让学生代入感更强。  核心任务环节，任务一（基础建模）中，让学生先自由画图再引导优化，比直接教授标准画法更能暴露认知原点，生成性资源丰富。当有学生画出“背对背”箭头时，我意识到这是对“相向”理解不清，立即让两名学生上台模拟表演，误会瞬间消解。任务二（提炼公式）的数形结合推进顺利，磁贴的动态演示是亮点，将抽象的“速度和”变得可触摸。我追问：“如果不画图，只看文字，你能直接想到‘速度和’吗？”不少学生摇头，这恰恰证明了直观模型对思维的支持作用。任务三、四（变式探究）是分化点。小组合作在这里发挥了关键作用，“兵教兵”让理解较快的学生在讲解中深化了思维，也让困惑者得到同伴的即时帮助。我巡视时重点关注那些沉默的学生，提供“先画甲单独走的一段”等提示性脚手架。  对不同层次学生的剖析：基础层学生在本课中最大的收获是掌握了“画图→找路程和→用公式”的标准化流程，建立了解决此类问题的信心。他们可能在独立应对全新变式时仍有困难，但有了可操作的方法步骤。进阶层学生的思维在变式探究中得