江苏省镇江市2025-2026学年第一学期高三零模数学试题（含答案）

2025～2026学年第一学期高三“零模”

数学试卷2026.02

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用

橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无

效。

3.考试结束后，将答题卡交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的。

1.已知i为虚数单位，iz=2+i,则|z|=

A.1-2iB.√3C.2D.√5

2.已知直线1与平面α.命题p:l在平面α外，命题q:l//α,则p是q的

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

3.已知随机变量X-N(1,σ²),P(X≥3)=0.2,则P(-1<X<1)=

A.0.1B.0.2C.0.3D.0.5

4.已知曲线(,曲线的离心率分别为e,e₂,且e₂=√se,则a=

AB.√2C.√3D.√5

5.在△ABC中，CD=DB,CE=EA,若AD=a,BE=b,则AB=

A.B.C.D.

6.若20252025-a能被7整除，则a的一个值可能为

A.2024B.2025C.2026D.2027

7.若圆(x-2)²+y²=4上有且仅有2个点到直线y=k(x+1)(k>0)的距离为1,则k的取值范围

ABUD

8.已知△ABC的内角A,B,C所对的边别是a,b,c,若c=1,,角C的角

平分线交AB于点D,则线段CD的最大值为

D

A.B.C

高三数学试卷第1页(共4页)

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每题给出的选项中，有多项符合题目要求.全

部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.将函数y=cos2x的图象沿x轴向右平移·个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到函数

y=g(x)的图象，则

A.g(x)的最小正周期为π

B.g(x)在)上单调递增

C.g(x)的图象关于直线：对称

D.g(x)的图象关于点中心对称

10.已知函数f(x)=x²(3-x)-t(1∈R)有三个不同零点a,b,c,其中a<b<c,则

A.1的取值范围为(-4,0)

B.若a,b,c成等差数列，则t=2

C.0<a+b<1

D.

11.在直角梯形ABCD中，AB//CD,∠BAD=90°,CD=2AB=2AD=4,将△ABD沿BD翻折，

形成一个二面角A'-BD-C.则

A.在翻折的过程中，存在某个位置，使得AC⊥BD

B.若二面角A'-BD-C的大小为60°,则异面直线A'B与CD所成角的余弦值为

C.在翻折的过程中，存在某个位置，使得三棱锥A'-BCD外接球的体积为12π

D.若二面角A'-BD-C的大小为90°,点E为线段A℃上的动点，则EB·ED最小值为·

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已,则

13.圆台的上底面半径为1m,下底面半径和母线长均为5m,则它的体积为▲m¹.

14.已知函,则的解集为▲1

y=f(x)与y=g(x)图象的交点横坐标之和为▲·

高三数学试卷第2页(共4页)

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.(本小题13分)

游乐场中，甲、乙两位同学进行射箭游戏.规则如下：如果射中标靶，则继续射箭；如果未射

中，则换另一位同学射箭.两位同学每次射箭相互独立，甲同学命中率为0.6,乙同学命中率为0.8.由

抽签确定第1次射箭的人选，第1次射箭是甲、乙的概率均为0.5.

(1)求第2次射箭的人是甲同学的概率：

(2)甲、乙两位同学一共射箭2次，用随机变量X表示乙同学射箭的次数，求X的分布列及数

学期望.

16.(本小题15分)

己知等比数列{an}的前n项和为Sn,a₁=1,S₄=a₃+4a2-1.

(1)求{a}的通项公式；

(2)设数列{na。}的前n项和为T,求T₀.

17.(本小题15分)

在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC,PA=AB=3√2,BC=4,PB⊥BC.

点M满足BM=2MP.

(1)求点A到平面PBC的距离：

(2)点T在线段CM上，若AT与平面PBC所成角为θ,求tanθ的最大值.

B

(第17题图)

高三数学试卷第3页(共4页)

18.(本小题17分)

已知抛物线H:y²=2px(p>0)的焦点F到其准线的距离为2,

(1)求抛物线H的标准方程：

(2)过点(2,0)的直线与抛物线H交于A,B两点，点A在第一象限.

①直线FB与抛物线H的另一个交点为T,当TA=√13时，求直线AB的方程；

②是否存在定点Q,使得直线AQ与BQ斜率互为相反数，如果存在，请求出点Q的坐标；

如果不存在，请说明理由.

19.(本小题17分)

已知函,a∈R.

(1)若存在正数x₀,使得f(x₀)<0,求实数a的取值范围；

(2)设y=f(x)在x=0处的切线方程为y=g(x).

①求g(x)的解析式；

②当x≠0时，x.[f(x)-g(x)]<0恒成立，求a的取值集合.

高三数学试卷第4页(共4页)

镇江市高三年级试题数学

锤子数学精彩解析

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的.

1.已知i为虚数单位，iz=2+i,则|z|=

A.1-2iB.√3C.2D.√5

【答案】D

【锤子数学解析】|ill2|=|2+i,∴|2|=√5,选D.

2.已知直线l与平面α,命题p:l在平面α外，命题q:l//a,则p是q的

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

【答案】B

【锤子数学解析】I在平面α外书I//α,不充分；I//a→l在平面α外，必要，选

B.

3.已知随机变量X～N(1,o²),P(X≥3)=0.2,则P(-1<X<1)=

A.0.1B.0.2C.0.3D.0.5

【答案】C

【锤子数学解析】X～N(1,σ²),P(X≥3)=0.2,则P(1≤X≤3)=0.3,

∴P(-1<X<1)=0.3,选C.

4.已知曲线,曲线C₂:的离心率分别为e₁,e₂,且e₂=√5e,则a=

B.√2C.√3D.√5

【答案】A

【锤子数学解析】曲线C₁离心率,曲线C₂离心率,,=√5ę,

,选A.

5.在△ABC中，CD=DB,CE=EA,若AD=a,BE=b,则AB=

【答案】A

【锤子数学解析】CD=DB,则D为BC中点，CE=EA,则E为AC中点

,2AD=AB+AC=2a①

,∴BA+BA+AC=2BE=2b,∴-2AB+AC=2b②

①-②,3AB=2a-2b,∴

6.若2025²025-a能被7整除，则a的一个值可能为

A.2024B.2025C.2026D.2027

【答案】A

【锤子数学解析】2023=7×289,∴2025202⁵-a=(2023+2)3²²-a

=C2025202320252⁰+C202520230242+…

22⁰25-a可以被7整除，8675-a可以被7整除

(7+1)⁶⁷-a=C6776751+…+C677+C675-a=7m+1-a

其中,∴1-a能被7整除，a可取2024.

7.若圆(x-2)²+y²=4上有且仅有2个点到直线y=k(x+1)(k>0)的距离为1,则k的取值范围

B

【答案】D

【锤子数学解析】圆心(2,0),半径2,直线kx-y+k=0,圆上有且仅有2个点到直

线l的距离为1,则圆心到I的距离d满足|d-2|<1,∴1<d<3,

,选D.

锤子点评：直线与圆的位置关系，圆上有两个点到直线的距离为1,则直线与圆可能相离，相切，

相交，2025年高考题的改编题。此类题型也是江苏老高考填空题后四题常见题型，没写出来的话

需要课后多写写此类专题，也可以报名我们的集训课程，老师可以提供相关专题。

8.已知△ABC的内角A,B,C所对的边别是a,b,c,若c=1,,角C的角平分线交AB

于点D,则线段CD的最大值为

【答案】C

【锤子数学解析】方法一：艮

S△ABC=S△ACD+S△BCD,

∴ab=(a+b)CD,,而(a+b)²-ab=1,∴ab=(a+b)²-1

方法二：由正弦定理

角平分线长,余弦定理1=c²=a²+b²-2abcosC=a²+b²+ab,

且a+b≥2√ab,.

时取等，∴CD最大值为

由即将开始的2026锤子寒假线上集训：

1、一般化结论：定边定角下角平分线的最大值公式：固定AB=c与角C,角平分线长

由对称性极值在a=b处取得，令a=b=t,

2、推广：若改为且c=1,则

,并由上条一般

,代λ=1回到本题即

锤子点评：解三角形问题，无中生有将边乘到左边，再将边变成角，就可以求出角C,然后余弦定

理找到a,b的关系，等面积法表示角平分线长，然后基本不等式求最值，依然是江苏老高考常考

题，流行是一种轮回。

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每题给出的选项中，有多项符合题目目要

求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.将函数y=cos2x的图象沿x轴向有平移个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到函数

y=g(x)的图象，则

A.g(x)的最小正周期为π

B.g(x)在上单调递增

C.g(x)的图象关于直线，对称

D.g(x)的图象关于点中心对称

【答案】AC

【锤子数学解析】

A对.

g(x)单调递增，单调递减，B错.

,k∈Z,k=1时，是一条对称轴，C

对.对称中心纵坐标为2,D错，选AC.

10.已知函数f(x)=x²(3-x)-t(t∈R)有三个不同零点a,b,c,其中a<b<c,则

A.t的取值范围为(-4,0)

B.若a,b,c成等差数列，则t=2

C.0<a+b<1

【答案】BCD

【锤子数学解析】f'(x)=-3x²+6x=0,x=0或2,f(x)在(-,0)单调递减，

(0,2)单调递增，(2,+∞)单调递减，f(x)极大值=f(2)=4-t,f(x)极小值=f(0)=-t

f(x)有三个不同的零点，则∴0<t<4,A错.

a,b,c是-x³+3x²-t=0的三个根，

对于B,a,b,c等差数列，则b=1,a+c=2,t=2,B对.

对于D,,D对.

对于C,如图，c>2,∴a+b=3-c<1,由①②③知,∴0<a+b<1

选BCD.

锤子点评：三次韦达定理问题，此公式还算是比较常见的，考完自己可以去推导下然后记住，这

样在下次考试中就可以直接应用了。

11.在直角梯形ABCD中，AB//CD,∠BAD=90°,CD=2AB=2AD=4,将△ABD沿BD翻折，

形成一个二面角A'-BD-C.则

A.在翻折的过程中，存在某个位置，使得A'C⊥BD

B.若二面角A'-BD-C的大小为60°,则异面直线A'B与CD所成角的余弦值为

C.在翻折的过程中，存在某个位置，使得三棱锥A'-BCD外接球的体积为12π

D.若二面角A'-BD-C的大小为90°,点E为线段A'C上的动点，则EB·ED最小值为

C

C

【答案】BCD

【锤子数学解析】方法一：取BD中点M,A'M⊥BD,若A'C⊥BD,则BD⊥面

A'CM,则BD⊥C′M与CB⊥BD矛盾，A错.

C

取CD中点N,则A'M⊥BD,NM⊥BD,二面角A'-BD-C为∠A'MN

对于B,A'M=√2,MN=√2,∴△A'MN为正三角形，A'N=√2

,CD=2ND=2(NM+MD)

设二面角∠A'MN=α,过A'作A'Q⊥MN,垂足为Q,则A'Q=√2sina

NQ=√2-√2cosa,设球心为0,半径为R,

+(√2-√2cosa)²

,∴R≥2,而,C对.

对于D,∠A'MN=90°,A'M⊥面BCD,以M为原点建系，则B(0,-√2,0)

D(o,√2,0),c(2√2,-√2,0),A'(0,0,√2),CE=ACA,

∴E(2√2(1-2),√2(λ-1),√2a),

=(2√2-2√2a)²+2(a-1)²+22²-2=12λ²-20λ+8

当时，EB·ED取最小值

方法二：A(0,0,0),B(2,0,0),D(0,2,0),C(4,2,0);

N为BD中点，N(1,1,0),BD=(-2,2,0);由2026寒假线上集训立体几何鬼门10招得：

对A,AC=(3+cosθ,1+cosθ,-√2sine),

A'C·BD=(-2)(3+cosθ)+2(1+cosθ)=-4≠0,故不存在A'C⊥BD,A错.

对B,φ=60°→θ=120°,

对C,∠CBD=90°→△BCD外接圆圆心P为CD中点，P(2,2,0);设外接球球心

0(2,2,t),则OB²=0C²=OD²=4+t².

由OA'=OB,OA²=(1+cosθ)²+(1+cosθ)²+(t-√2sinθ)²=4+t²

→2(1+cosθ)²-2√2sinθ·t+2sin²θ=4→t=√2cotθ,

,故存在θ满足，C对.

对D,φ=90°→θ=90°,A'(1,1,√2),N(1,1,0),

EB·ED=(EN-BN)·(EN+BN)=EN²-BN²=EN²-2.

令参数为t则EN=(31,t,√2(1-t)),EN²=9t²+t²+2(1-t)²=12t²-4t+2,

,D对；故选BCD.

由即将开始的2026锤子寒假线上集训：

1、A选项的本质一般化因A'在过N且垂直BD的圆上，恒有NA⊥BD,故对任意

定点X,A′X·BD=(NX-NA)·BD=NX·BD,与θ无关；因此A'X⊥BD要么恒

成立要么恒不成立，本题取X=C即直接出答案.

2、B由2026寒假线上集训立体几何鬼门10招秒杀：

本题|A'B|=|AB|=2,

代φ=60°得

3、D选项秒杀：对任意定点E与定点B,D,N为BD中点，

本题最小值等价于EN²最小值；在E∈A'C上用参数

锤子点评：动态立体几何问题，立体几何无难题，我们的课程系统的讲解最常见的立体几何压轴

小题。本题是折叠类动态问题，动的过程中要知道谁是定值谁是动值。

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知

【答案】

【锤子数学解析】

13.圆台的上底面半径为1m,下底面半径和母线长均为5m,则它的体积为_m³.

【答案】31π

【锤子数学解析】h=√25-(5-1)²=3,

锤子点评：圆台体积问题，画图求高，带公式求体积，公式一定要记清楚。

14.已知函数,则的解集为_;y=f(x)与

y=g(x)图象的交点横坐标之和为_·

【答案】(-∞,0);2

【锤子数学解析】方法一：

解集为(-∞,0),

中心对称，

∴f(x)关于中心对称

关于

对称，∴g(x)也关中心对称，∴f(x),g(x)它们图象的交点也关于

中心对称，令f(x)=g(x)→f(x)-g(x)=0,注意到

在(-∞0,0)和(2,+∞)上分别递减

且x>2,x→2时，f(x)→+00;x→+∞0时，

y=f(x)-g(x)在(2,+∞)上只有一个零点x₁

由对称性它在(-∞,0)上也只有一个零点x₂,且x₁+x₂=2

应填：(-∞,0);2.

方法二：

或x>2,,∴x<0,解集(-∞,0).

设h(x)=f(x)-g(x),x∈(-∞,0)U(2,+∞),

两区间各至多一根.

∴(-∞0,0)内恰一根x₁;5

∴(2,+∞)内恰一根x₂·

∴f(x)=g(x)→f(2-x)=g(2-x),且x,x₂=x,2-x₁,∴x₁+x₂=2.

锤子点评：利用函数的单调性解对数不等式，第二空是考函数的对称性，两个函数有相同的对称

中心，有两个交点横坐标之和就可以求出来了。

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(本小题13分)游乐场中，甲、乙两位同学进行射箭游戏.规则如下：如果射中标靶，则继续射

箭；如果未射中，则换另一位同学射箭.两位同学每次射箭相互独立、甲同学命中率为0.6,乙同

学命中率为0.8.由抽签确定第1次射箭的人选，第1次射箭是甲、乙的概率均为0.5.

(1)求第2次射箭的人是甲同学的概率；

(2)甲、乙两位同学一共射箭2次，用随机变量X表示乙同学射箭的次数，求X的分布列及数学

期望.

【锤子数学解析】

10

(1)第2次射箭的人是甲的概率为：

(2)X的所有可能取值为0,1,2.

∴X的分布列如下

X012

P

16.(本小题15分)已知等比数列{a}的前n项和为S,a₁=1,S₄=a₃+4a₂-1.

(1)求{an}的通项公式：

(2)设数列{na,}的前n项和为T,求T₁₀·

【锤子数学解析】

(1)设{an}公比为q,a₁+a₂+a₃+a₄=a₃+4a₂-1

∴a₄-3a₂+a₁+1=0→q³-3q+2=0

∴q³-q-2q+2=0→q(q+1)(q-1)-2(q-1)=0

∴(q-1)²(q+2)=0,∴q=1或-2

∴aₙ=1或aₙ=(-2)"⁻¹.

(2)①当q=1时，nan=n,此时，

②当q=-2时，naₙ=n.(-2)"-¹

∴T,=1.(-2)°+2·(-2)³+3.(-2)²+…+(n-1)·(-2)"⁻²+n.(-2)"⁻¹①

-2T,=1·(-2)³²+2·(-2)²+…+(n-2)(-2)⁻²+(n-1)·(-2)“⁻¹+n·(-2)”②

①-②→3T,=1+(-2)²+(-2)²+…+(-2)"⁻¹-n.(-2)"

17.(本小题15分)在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC,PA=AB=3√2,BC=4,PB⊥BC,

点M满足BM=2MP.

(1)求点A到平面PBC的距离；

(2)点T在线段CM上，若AT与平面PBC所成角为θ,求tanθ的最大值.

B

【锤子数学解析】

(1)∵PA⊥底面ABC,∴PA⊥BC,又∵PB⊥BC,PA∩PB=P

∴BC⊥平面PAB,∵BCc平面PBC,∴平面PBC⊥平面PAB,

过A作AQ⊥PB于点Q,∴AQ⊥平面PBC

∵AB=PA=3√2,∴PB=6,∴AQ=3,∴A到平面PBC的距离为3.

(2)方法一：AT在平面PBC内的射影为QT,∴θ=∠ATQ

,BC=4,∴∠BMC=45°

方法二：如图建系，∴A(0,3√2,0),B(0,0,0),C(4,0,0),M(0,2√2,2√2)

P(0,3√2,3√2),设CT=λCM=(-4,2√22,2√2z),z∈[0,1]

AT=AC+CT=(4-4λ,2√2λ-3√2λ,2√22)

.BP=(0,3√2,3√2),BC=(4,0,0),设平面PBC的一个法向量n=(x,y,z)

∴tanθ≤3√2.

18.(本小题17分)已知抛物线H:y²=2px(p>0)的焦点F到其准线的距离为2.

(1)求抛物线H的标准方程；

(2)过点(2,0)的直线与抛物线H交于A,B两点，点A在第一象限.

①直线FB与抛物线H的另一个交点为T,当TA=√13时，求直线AB的方程；

②是否存在定点Q,使得直线AQ与BQ斜率互为相反数，如果存在，请求出点Q的坐标；如果不

存在，请说明理由.

【锤子数学解析】

方法一：(1)由题意知p=2,∴抛物线H方程为y²=4x.

(2)①设直线AB方程为：x=my+2,

→y²-4my-8=0,..Y₁V₂=-8,同理可得y₂J₃=-4,:

∵A在第一象限，∴y₁>0→y₁=4,∴A(4,4),∴

∴直线AB方程为2x-y-4=0

②假设存在这样的Q,设Q(x₀,y。),y²+y₂²=(v₁+y₂)²-2y₁V₂=16m²+16

→-2·4m-4mx₀-4y。(m²+1)+2x₀yo=0

即(-8-4x。)m-4ym²-4y。+2x₀Jo=0对Vm∈R恒成立

∴存在定点Q(-2,0)满足题意.

方法二：

(2)①设A(t²,2t₁)(t₁>0),B(t2,2t₂)为y²=4x上的两点

AB:(t+t₂)y=2(x+t₁t₂),∵(2,0)∈AB→0=2(2+t,t₂)→t₁t₂=-2

设T(t3,2t₃)且F,B,T三点共线，

则弦BT过

令u=t²>0:9u²+16u-208=0→u=4

∴t₁=2,,∴A(4,4),B(1,-2),

直线AB过(2,0)且斜率∴AB:y=2x-4

(2)由2026寒假线上集训解析几何鬼门13招秒杀：

②设A(r,2t₁)(₁>0),由(2,0)∈AB得

取Q(-2,0)

∴kAQ=-kB,定点Q存在，Q(-2,0)

锤子拓展与深挖

14

1、(2)问的推广：定点Q其实是D的轴对称点：对y²=4ax,AB恒过D(d,0),

则定点Q(-d,0)恒满足kQ=-kB验证：设则

本题a=1,d=2→Q(-2,0)

2、锤子改编：把条件TA=√13改成TA=L(L>0),仍有

令u=t得9u²+16u-16L²=0,从而直接反推出弦AB斜率

锤子点评：第二问第一小问主要就是将直线AB,直线BT分别和抛物线联立，寻找A,T两点间纵

坐标的关系，比如y3=y1/2,底下将AT长统一成y1的式子，就可以解出A的坐标了，从而算出

直线AB方程.本问本质考察的是抛物线的平均性质，知道这一结论，可立即秒杀.第二小问属于

探究类问题，可以先设出这样的点Q,表示出AQ和BQ的斜率，令它们斜率之和为0,底下就可

以化简代入韦达求顶点坐标了，其实这问还可以简化一下，由对称性可以知道，如果存在这样的

Q,则这个定点Q必在x轴上，底下设Q(t,0),处理起来就会简单不少了.

19.(本小题17分)已知函数,a∈R.

(1)若存在正数x₀,使得f(x。)<0,求实数a的取值范围；

(2)设y=f(x)在x=0处的切线方程为y=g(x).

①求g(x)的解析式；

②当x≠0时，x.[f(x)-g(x)]<0恒成立，求a的取值集合.

【锤子数学解析】

(1),x>0,f(0)=0

①当a≤1时，f'(x)>0,f(x)在(0,+∞)上单调递增，∴f(x)>f(0)=0

此时不存在这样的x₀,舍去.

②当a>1时，令f'(x)=0→x=a-1且f(x)在(0,a-1)上单调递减；

(a-1,+∞)上单调递增，二只需

显然成立，综上：实数a的取值范围是(1,+o).

(2)方法一：①切点(0,0),k=1-a,∴g(x)=(1-a)x,

②x≠0时，x[f(x)-g(x)]<0恒成立

∴x>0时，f(x)-g(x)<0;-1<x<0时，f(x)-g(x)>0

令F(x)=f(x)-g(x),F(0)=0,

令h(x)=(a-1)(