同步测试：生活中的优化问题举例

7/71.4生活中的优化问题举例一、选择题（本题共2小题，每小题7分，共14分）1.在底面直径和高均为a的圆锥内作一内接圆柱，则该内接圆柱的最大侧面积为（）A.B.C.D.2.已知正四棱锥的侧棱长为23，那么当该棱锥体积最大时,它的高为（A.1B.3C.2D.3二、填空题（本题共2小题，每小题6分，共12分）3.周长为20的矩形，绕一条边所在直线旋转成一个圆柱，则该圆柱体积的最大值为.4.电动自行车的耗电量y与速度x之间的关系为y=1三、解答题（本题共4小题,共75分）5.（本小题满分14分）某银行准备新设一种定期存款业务，经预测存款量与利率的平方成正比，比例系数为k(k＞0)，贷款的利率为4.8%，且银行吸收的存款能全部放贷出去.求：(1)若存款的利率为x,x∈(0，0.048),试写出存款量g(x)及银行应支付给储户的利息h(x)的函数表达式；(2)存款利率定为多少时,银行可获得最大收益？

6.（本小题满分15分）请你设计一个如图1所示的仓库,它的下部形状是高为10m的正四棱柱(上、下底面都是正方形,且侧面都垂直于底面),上部形状是侧棱长都为30m的四棱锥,试问当四棱锥的高为多少时,仓库的容积最大?图图1DCABP7.（本小题满分15分）某种新型快艇在某海域匀速行驶中每小时的耗油量y（升）关于行驶速度x（千米/时）的函数解析式可以表示为：y=1144000x3-（1）当快艇以40千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？（2）当快艇以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少约为多少升？（精确到0.1升）8.（本小题满分15分）一艘轮船在航行中每小时的燃料费和它的速度的立方成正比，已知在速度为每小时10千米时的燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，问此轮船以何种速度航行时，能使行驶每千米的费用总和最小？9.(本小题满分15分)工厂生产某种电子元件，假设生产一件正品，可获利200元；生产一件次品，则损失100元.已知该厂制造电子元件的过程中，次品率P与日产量x的函数关系是P(1)将该产品的日盈利额T（元）表示为日产量x（件）的函数；(2)为获得最大利润，该厂的日产量应定为多少件？

参考答案一、选择题1.B解析：设圆柱的底面半径为r,由三角形相似的性质得圆柱的高为a－2r,则圆柱的最大侧面积为S=2πra-22.C解析：设底面边长为a，则高h所以体积V设y令y'=48a3-3a5=0，解得a=4当0＜a＜4时，y'＜0，函数y=12a∴当a=4时，函数y此时h二、填空题3.解析：设矩形与旋转轴平行的一边长为xcm,则另一边长为10-xcm圆柱的体积为V令V'x=π3x2当x∈0,因此当x=104.40解析：由题设知y'=x2-39x-40，

令y'＞0，解得x＞40，或x＜-1，

故函数y=13x3-392x三、解答题5.解：(1)由题意，存款量g(x)=kx2，银行应支付的利息h(x)=x·g(x)=(2)设银行可获得收益为y，则y=0.048·kx2-所以y′=0.096kx-3kx2，令y′=0，即0.096kx-3kx2=0，解得x=0.032(x=0又当x∈(0，0.032)时，y′＞0；当x∈(0.032，0.048)时，y′＜0，故当x=0.032时，y在(0，0.048)内取得极大值，即最大值，即银行存款利率为3.2%时，银行可获得最大收益.6.解:设四棱锥的高为h,底面边长为x,则在又在所以仓库的容积V所以V由V当0因此,当h=10故当四棱锥的高为10m时,仓库的容积最大.7.解：(1)当x=40时，快艇从甲地到乙地行驶了12040=3(小时)耗油量为1144000×403-1360×40+3×3=10（升）.

答：当快艇以40千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油10升.

(2)当速度为x千米/时时，快艇从甲地到乙地行驶了h令h'(x)=0，得x=60.

当x∈（0，60）时，h'(x)＜0，h(x)是减函数；

当x∈（60，120]时，h'(x)＞答：当快艇以60千米/时的速度行驶时，耗油最少，最少约为8.7升.8.解：设轮船速度为x千米/时（x＞0），每小时的燃料费用为Q元，则Q=kx3.

由6=k×103可得k=3500，所以Q=3y'=6500x-96x2.令y′=0得x=20.

当x∈（0，20）时，y′＜0，此时函数单调递减；

当x∈（20，+∞）时，y′＞0，此时函数单调递增，

∴当x=20时，y9.解：(1)当日产量为x（件）时，次品数为Px=3x已知生产一件正品可获利200元，生产一件次品则