广东省广州市天河区2025-2026学年高二上学期期末调研考试数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页广东省广州市天河区2025-2026学年高二上学期期末调研考试数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知点A(1,3)，B(2,3)，则直线AB的倾斜角α=(

)A.0∘ B.45∘ C.2.已知数列an是等比数列，若a1+a3A.−12 B.12 C.−13.已知直线l平分圆(x−2)2+(y−1)2=16，且与直线3x−2y+1=0A.3x−2y−4=0 B.2x−3y−1=0 C.2x+3y+7=0 D.2x+3y−7=04.如图，在三棱锥A−BCD中，E是CD的中点，点F在AE上，且EF=2FA.设AB=a，AC=b，AD=c，则直线BFA.a+13b+13c 5.已知数列an的首项a1=1，且点n,ann∈N∗都在一条斜率为2A.4999 B.9899 C.501016.如图，正方形ABCD和正方形ABEF的边长都是2，且二面角D−AB−F的大小是60∘，则DE=(

)

A.22 B.10 C.7.直线y=53x与双曲线y2a2−x26=1(a>0)相交于A，A.85 B.83 C.28.已知实数x，y满足(x+3)2+y2=4A.1 B.11 C.21 D.31二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知圆C1:x2+yA.m<4

B.直线4x−3y−6=0与圆C1相切

C.当m=3时，圆C1与圆C2外切

D.当m=1时，圆C110.设O为坐标原点，直线y=3(x−1)过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F，且与C交于A，B两点(其中AA.p=2 B.|AB|=163

C.|AF|=3|BF| D.11.在空间直角坐标系O−xyz中，已知点Q(2,1,3)，向量u=(1,2,−2)，直线l过点Q且以u为方向向量，平面α过点Q且以u为法向量，则(

)A.当动点M(x,y,z)在直线l上时，有x−2=y−12=z−32

B.当动点M(x,y,z)在平面α上时，有x+2y−2z+2=0

C.当动点M(x,y,z)在直线l上时，OM的最小值为1223

D.当动点三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知椭圆x216+y212=1的两个焦点为F1，F2，点P13.过点(−1,0)作直线l，若l与圆(x−1)2+y2=3有公共点，则直线l的斜率14.某生产企业今年年初有资金600万元，由于引进了先进生产设备，资金年平均增长率可达到50%，每年年底扣除下一年的消费基金250万元后，剩余资金投入再生产作为第二年的年初资金．设该生产企业从今年起每年年初的资金数依次为a1，a2，a3，…(单位：万元)，则数列an的通项公式为an四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=AD=4，AA1=2，点E，F，G分别在棱A1A，A1B1，(1)求BD1和(2)求证：平面EFG//平面PQR．16.(本小题15分)已知数列an的前n项和为Sn，且首项a1(1)求数列an(2)若bn=n2，令cn=an17.(本小题15分)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F(2,0)，斜率为−1的直线l与(1)求椭圆C的方程；(2)若点P满足FP+FA+FB18.(本小题17分)如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F．(1)求证：PB⊥平面EFD；(2)求平面PBC与平面PBD的夹角的大小；(3)若点M为三棱锥B−EFD的外接球的球心，求直线PC与平面MEF所成角的正弦值．19.(本小题17分)在平面直角坐标系xOy中，点E到点(0,1)的距离等于点E到直线y=−1的距离，记动点E的轨迹为C．(1)求C的方程；(2)若点P是x轴下方(不含x轴)一点，C上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上．(ⅰ)设AB中点为M，求证：PM⊥x轴；(ⅱ)若P是半圆x2+y2=1(y<0)参考答案1.A

2.B

3.D

4.D

5.C

6.A

7.C

8.C

9.ACD

10.ABC

11.BCD

12.π213.−14.100⋅1.515.解：(1)根据题意，以D为原点，以DA,DC,DD1所在直线为则B4,4,0所以BD所以cosB所以BD1和EF所成角的余弦值为(2)证明：连接B1D1,BD，取A1因为A1GA因为CQCD=CR因为DB//D1B又QR⊂平面PQR，而GF不在平面PQR内，所以GF//平面PQR．因为A1E=AE=A而AS//C1T又PQ⊂平面PQR，而EF不在平面PQR内，所以EF//平面PQR．又EF∩GF=F,EF,GF⊂平面EFG，所以平面EFG//平面PQR．

16.解：(1)由an+1=2S两式相减可得an+1−an=2Sn又a1=2，a2所以数列an是首项为2，公比为3的等比数列，故a(2)由(1)，cn∴Tn∴3Tn①−②得，−2T所以Tn

17.解：(1)设A(x1将两式相减，整理得(x因线段AB的中点为M(2,1)，则有x1+x2=4y1代入上式，可得4a2−2b2=0联立①②，解得a=22,b=2，故椭圆C(2)因线段AB的中点为M(2,1)，则FM=故由FP+FA+设点P(m,n)，则(m−2,n)=−2(0,1)，解得m=2,n=−2，即P(2,−2)，则|FP又|FA|=同理|FB|=故|FA

18.解：(1)由题意，DA,DC,DP两两互相垂直，以D为原点，DA,DC,DP所在直线分别为x轴､y轴､z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设DC=1.

连接AC，交BD于点G，连接EG．依题意得A1,0,0则PB=1,1,−1，则PB⋅所以PB⊥DE，由已知EF⊥PB，且EF∩DE=E，EF,DE⊂平面EFD，所以PB⊥平面EFD．(2)连接AC交BD于G，则AC⊥BD，由于PD⊥底面ABCD，AC⊂底面ABCD，则PD⊥AC，由于BD,PD⊂平面PBD，BD∩PD=D，则AC⊥平面PBD，AC=(−1,1,0)，PC设平面PBC的法向量n=(x,y,z)则n⋅PB取一组解为x=0,y=z=1，则n=(0,1,1)则cosAC则平面PBC与平面PBD的夹角为π3(3)由(1)得PB⊥平面EFD，由于DF⊂平面EFD，则DF⊥BF，由于E是PC的中点，则E(0,1则BE=(−1,−则BE⋅DE=−1×0+三棱锥B−EFD的外接球的球心M在DB中点，即M(1设PF=λPB=(λ,λ,−λ)由于DF⊥PB，则DF⋅PB=3λ−1=0则F(1则MF=(−16设平面MEF的法向量n1则n1⋅令z1=1，则x1设直线PC与平面MEF所成角为α，则sinα=

19.解：(1)因点E到(0,1)的距离等于点E到直线y=−1的距离，故点E的轨迹为以(0,1)为焦点，以直线y=−1为准线的抛物线，