江西吉安市2025-2026学年高二上学期期末教学质量检测数学试题（原卷+解析）

江西吉安市2025-2026学年高二上学期期末教学质量检测数学试题（测试时间：120分钟卷面总分：150分）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将答题卡交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.倾斜角为135°，在y轴上的截距为﹣1的直线方程是（）A.x﹣y+1＝0 B.x﹣y﹣1＝0 C.x+y﹣1＝0 D.x+y+1＝02.圆心为且过点的圆的标准方程为（）A. B.C. D.3.二项式的展开式中第四项的系数是（）A.15 B.20 C.-160 D.2404.设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（）A.4 B.8 C.16 D.205.如图，三棱锥中，，且，则（）A. B.C. D.6.从5人中选出4人分别到上海、香港、台北、澳门四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这5人中甲、乙两人不去上海游览，则不同的选择方案共有（）A.120种 B.96种 C.72种 D.48种7.已知过原点直线与圆相交于两点，则的最小值为（）A.8 B. C.10 D.8.已知点为椭圆上第一象限的一点，左、右焦点为的平分线与轴交于点，过点作直线PM的垂线，垂足为H，O为坐标原点，若，则面积为（）A B.8 C. D.12二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知空间向量，则下列选项中正确的是（）A.当时， B.当时，C.当时， D.当时，10.若，则下列结论中正确的是（）A. B.C. D.11.天文学家卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现：在同一平面内，到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹是卡西尼卵形线．已知两定点，动点满足，设点的轨迹为曲线，下列说法中正确的有（）A.的横坐标取值范围是 B.不存在点，使得C.最小值为4 D.的面积最大值为2三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若双曲线的一条渐近线方程为，则的离心率为__________.13.直线与直线，若，则__________.14.阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为.阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，直线是两平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为__________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.某社区文化节需安排4个不同节目（古筝演奏、相声、吉他弹唱、民族舞），按表演先后顺序排定4个时段，每个时段表演一个节目，且节目不重复．请根据以下不同条件，分别计算符合要求节目安排方案总数：（1）民族舞节目不能安排在第一个表演时段；（2）古筝演奏节目与相声节目必须相邻.16.已知双曲线的离心率，且过点.（1）求双曲线的标准方程；（2）已知为双曲线的左焦点，为双曲线上一点，且线段PF的中垂线倾斜角为，求的值（为坐标原点）.17.已知圆心为的圆经过点，半径为4，且圆心位于第二象限，（1）求的标准方程；（2）过点的直线交圆于另一点，连接，，若扇形的面积为，求直线的方程．18.如图，在四棱锥中，，.（1）证明：平面ABCD；（2）若点都在半径为的球的表面上，（i）求PD的长度；（ii）棱PB上是否存在一点，使得二面角的余弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.19.已知点为椭圆上的两点，点为椭圆外一点.（1）求椭圆的标准方程；（2）过点作椭圆两条切线，切点分别为，其中点在轴下方，连接.（i）求两点坐标；（ii）过点作椭圆的一条割线，交椭圆于两点（是四个不同的点），再过点作一条与直线平行的直线，该直线交直线于点，点满足，求证：直线DG恒过定点.江西吉安市2025-2026学年高二上学期期末教学质量检测数学试题（测试时间：120分钟卷面总分：150分）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将答题卡交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.倾斜角为135°，在y轴上的截距为﹣1的直线方程是（）A.x﹣y+1＝0 B.x﹣y﹣1＝0 C.x+y﹣1＝0 D.x+y+1＝0【答案】D【解析】【分析】先求出直线的斜率，再利用在y轴上的截距是﹣1，用斜截式写出直线方程．【详解】∵直线倾斜角是135°，∴直线的斜率等于﹣1，∵在y轴上的截距是﹣1，由直线方程的斜截式得：y＝﹣1×x﹣1，即y＝﹣x﹣1，故选：D．2.圆心为且过点的圆的标准方程为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由条件求得圆的半径，进而可求解.【详解】由题意可得圆的半径，所以圆的标准方程为，故选：C3.二项式的展开式中第四项的系数是（）A.15 B.20 C.-160 D.240【答案】C【解析】【分析】由通项公式，即可求解.【详解】由，当时，第四项系数，故选：C4.设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（）A.4 B.8 C.16 D.20【答案】B【解析】【分析】由条件得到，设，结合椭圆的定义及勾股定理即可求解.【详解】因为椭圆，所以，又因为，所以，即，设，则且，得到，所以.故选：B5.如图，三棱锥中，，且，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由，再结合即可求解.【详解】.故选：D6.从5人中选出4人分别到上海、香港、台北、澳门四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这5人中甲、乙两人不去上海游览，则不同的选择方案共有（）A.120种 B.96种 C.72种 D.48种【答案】C【解析】【分析】先确定去上海游览的人，再确定剩下三个城市游览的人，即可求解.【详解】分两步：首先从除甲乙之外的3人中选1人去上海游览，共有种，其次从剩余4人中选3人到其他三个城市游览，共有种，共有种，故选：C7.已知过原点的直线与圆相交于两点，则的最小值为（）A.8 B. C.10 D.【答案】A【解析】【分析】由原点在已知圆内部，确定当直线时，弦长最小，进而可求解.【详解】由，即原点已知圆内部，由于直线过原点，要使最小，只需直线，而，所以最小.故选：A8.已知点为椭圆上第一象限的一点，左、右焦点为的平分线与轴交于点，过点作直线PM的垂线，垂足为H，O为坐标原点，若，则面积为（）A. B.8 C. D.12【答案】C【解析】【分析】延长，交的延长线于点，确定为等腰三角形，进而得到，设，再由椭圆定义求得，进而可求解.【详解】如图所示，延长，交的延长线于点，因为PH为的平分线，，故为等腰三角形，即为的中点，因为为的中点，所以OH为的中位线，故，设，由椭圆定义知，，故，解得，故在中，边上高为.故面积为.故选：C二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知空间向量，则下列选项中正确的是（）A.当时， B.当时，C.当时， D.当时，【答案】ABD【解析】【分析】A选项，根据平行得到比例关系，进而求出；B选项，根据垂直得到向量数量积为0，进而可求出；选项，利用模长公式可求出；选项，先求出两向量夹角余弦，再由同角三角函数关系得到正弦值．【详解】，则，可得对；B：，则，可得对；C：，所以，可得或，C错；D：，则，故，则对故选：ABD10.若，则下列结论中正确的是（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】【分析】对于A，令，即可判断，对于BC，由，由系数计算公式和令进行判断，对于D，分别令和，得到和，进而可判断.【详解】对于A，取，得，A错；对于B,展开式中项的系数为，B对；对于C，令，可得二项式，展开式中各项系数均为正，即，又，C错；对于D，取，得，取，得，联立解得，因此，D对.故选：BD11.天文学家卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现：在同一平面内，到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹是卡西尼卵形线．已知两定点，动点满足，设点的轨迹为曲线，下列说法中正确的有（）A.的横坐标取值范围是 B.不存在点，使得C.最小值为4 D.的面积最大值为2【答案】ACD【解析】【分析】利用轨迹方程的代数关系来证明相关选项，对于A，利用纵坐标放缩去求横坐标范围；对于B，利用方程组消元看是否有解即可得；对于C，借助基本不等式计算即可得；对于D，利用定义求面积最大值即可得.【详解】由，可得，即，即，整理得；对于A，由，则，故，即，解得，即的横坐标取值范围是，故A对；对于B，若存在点，使得，则有，又，则，即，解得，所以存在点，使得，故B错误；对于C，，当且仅当时等号成立，故C对；对于D，，则面积最大值为2，由上知存在的最大值点，故D正确.故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若双曲线的一条渐近线方程为，则的离心率为__________.【答案】2【解析】分析】利用双曲线渐近线定义计算即可得.【详解】依题意，则双曲线的渐近线为，又双曲线一条渐近线方程为，所以，故，所以双曲线的离心率为.故答案为：2.13.直线与直线，若，则__________.【答案】3【解析】【分析】根据两直线平行，列出有关的等式，即可求出实数的值，再验证直线的关系.【详解】由，则，化简得，可得或，当时，直线的方程为，此时不是直线，故舍去，所以故答案为：.14.阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为.阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，直线是两平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为__________.【答案】【解析】【分析】根据向量法计算直线与平面所成角的正弦值；【详解】设直线的方向向量为，由材料可知平面的一个法向量，平面的一个法向量，平面的一个法向量，因为直线是两平面与的交线，则有，即且，不妨取所以，.则直线与平面所成角的正弦值为.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.某社区文化节需安排4个不同节目（古筝演奏、相声、吉他弹唱、民族舞），按表演先后顺序排定4个时段，每个时段表演一个节目，且节目不重复．请根据以下不同条件，分别计算符合要求的节目安排方案总数：（1）民族舞节目不能安排在第一个表演时段；（2）古筝演奏节目与相声节目必须相邻.【答案】（1）18（2）12【解析】【分析】（1）先从古筝演奏、相声、吉他弹唱选一个安排第一个表演，再对剩下3个全排列即可求解；（2）将古筝演奏和相声看作一个整体，再和吉他弹唱、民族舞全排列即可求解.【小问1详解】先安排第一个表演时段，有古筝演奏、相声、吉他弹唱3种选择；剩下3个时段，对剩下3个节目全排列，有种，所以总数为种；【小问2详解】将古筝演奏和相声看作一个“整体”，内部有种排列方式；再把这个“整体”和吉他弹唱、民族舞进行全排列，有种排法，所以总数为种.16.已知双曲线的离心率，且过点.（1）求双曲线的标准方程；（2）已知为双曲线的左焦点，为双曲线上一点，且线段PF的中垂线倾斜角为，求的值（为坐标原点）.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由离心率得到，再将代入双曲线方程得到，联立求解即可；（2）法一：由直线垂直关系确定斜率，得到其直线方程，再联立双曲线方程求得坐标，即可求解；法二：设右焦点为，根据双曲线定义结合余弦定理得，在中，再结合余弦定理即可求解.【小问1详解】∵双曲线过点，代入得解得.∴双曲线方程为【小问2详解】解法一∵线段PF的中垂线倾斜角为，∴中垂线斜率为.∵中垂线与垂直，∴直线的斜率为.又直线过点，∴直线的方程为.联立方程组，解得点的坐标为.为坐标原点，.解法二∵线段PF的中垂线倾斜角为，且中垂线与PF垂直，设中垂线与交于点，与轴交于点，则，又，所以即直线PF的倾斜角为，与渐近线的倾斜角相等，即直线PF与渐近线平行.∴点在双曲线左支上.设右焦点为，根据双曲线定义可得．设，则.在中，由余弦定理得：，解得，即.在中，由余弦定理得：17.已知圆心为的圆经过点，半径为4，且圆心位于第二象限，（1）求的标准方程；（2）过点的直线交圆于另一点，连接，，若扇形的面积为，求直线的方程．【答案】（1）（2）或.【解析】【分析】（1）设圆心，再根据圆半径及过点，列出相应方程组，即可求解；（2）由扇形面积可求得圆心角，即可求出圆心到直线距离，再结合直线与圆相交的弦长公式即可求解.【小问1详解】设圆心，因圆心在第二象限，故，圆的标准方程为.将代入方程，得：解得或（舍去）所以圆的标准方程为：.【小问2详解】扇形面积公式为，已知，代入得：，解得，即圆心角.所以圆心到直线的距离.①当直线斜率不存在时，直线轴，不合题意，舍去.②当直线斜率存在时，设斜率为，则直线的方程为，即.则，解得.所以直线的方程为或.18.如图，在四棱锥中，，.（1）证明：平面ABCD；（2）若点都在半径为的球的表面上，（i）求PD的长度；（ii）棱PB上是否存在一点，使得二面角的余弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）答案见解析；（2）（i）（ii）棱PB上存在满足题意的点，此时.【解析】【分析】（1）连接BD，过点作于点，通过勾股定理得到，进而得到平面BDP，得到，再结合即可求证；（2）（i）以点为原点，DC，DP所在直线分别为轴，轴，在平面ABCD上作过点且垂直于CD的直线为轴，设，得到球心为.结合半径列出等式求解即可；（ii），求得平面法向量，代入夹角公式即可求解.【小问1详解】连接BD，过点作于点，则.在Rt中，.在Rt中，..，即，且平面平面BDP，平面BDP.，又，且AD与BC相交，平面平面ABCD.平面【小问2详解】（i）如图，以点为原点，DC，DP所在直线分别为轴，轴，在平面ABCD上作过点且垂直于CD的直线为轴，建立空间直角坐标系，则.为等腰梯形，且外接圆圆心为CD的中点，记为.根据球心的性质可知，球心在过点且垂直于底面的垂线上.设，则球心为.由球的半径，得，解得，故.从而.（ii）由（i）可知，.设，则.设平面的一个法向量，则令，则.故可取.设平面的一个法向