智能控制系统与工程课件 3.2模糊控制的数学基础

1112.1模糊控制概述

语言逻辑上等效为以下两条规则因为保持第一和第二条规则同时有效，所以MIMO规则结论中的“与”逻辑在MISO规则中就表达出来了。为了实现这两个模糊系统，应该选择一个系统的输出是，另一个系统的输出是。因为在实现这两个模糊系统时，保证这两条规则同时有效，所以MIMO结论中的“与”逻辑对于MISO情况也就表达出来了。假设规则库中共有标号为1,2,……,R的R条规则，且规则库中的规则是独特的，即没有两条规则的条件和结论是完全一样的。为了描述简便，用符号表示MISO形式的第i条规则。2222.1模糊控制概述

注意：如果规则中使用了所有的条件项，且对于所有可能存在的条件组合都有相应的规则，那么规则库中就可能有条规则。例如如果，对于每个论域有个隶属函数，那么就可能有条规则。显然，在这种情况下，规则的数目随模糊控制器的输入数或者隶属函数数目的增加呈指数规律增加。3332.1模糊控制概述2.1.4模糊集合、模糊规则和模糊推理

在实际模糊控制器设计中，需要考虑选择模糊控制器的输入和输出、隶属函数、模糊化过程和解模糊方法，确定推理策略和设计规则库。

下面简明介绍模糊集合及其基本概念。4442.1模糊控制概述1.模糊集合经典集合是有明确界限的集合，例如：经典集合，6是个清晰明确的边界条件，如果x大于6，则x属于集合A；否则，x不属于集合A。模糊集合和经典集合相比，正如名字所示，是没有明确界限的集合。也就是说，从不属于集合A到属于集合A这种过渡是渐进的，并且这种平滑的过渡过程是用隶属函数来定义的。隶属函数为模糊集合用语言建模提供了很大的灵活性，例如：水热，温度高。1965年Zadeh在模糊集合季报[2]上指出：这种不明确定义的集合“在人类思维，特别是在模型识别、信息交流以及提取等领域有着很重要的作用”。这种模糊性不来自于事物发生的随机性，而是来自于思维和概念本质的不确定性和不精确性。5552.1模糊控制概述定义2.1：模糊集合和隶属函数若X是论域，则关于X的模糊集合A表示为：（2-1-1）

称为x对A的隶属函数，简写为MF，可以完成X到闭区间的任意一个映射。显然，模糊集合的定义只是经典集合的一个简单扩展。模糊集合用隶属函数来表征，取值范围为，即可取的任意值。当的值域为时，模糊集合A蜕化成一个经典集合，为特征函数。6662.1模糊控制概述通常，X可以是离散的或连续的论域，分别举例如下。(a)“可能选修的课程代码”(b)“50岁左右”图2-2-2X分别是离散或连续论域的情况7772.1模糊控制概述例2-2-1：是一组学生要选修的课程代码，模糊集合A=“可能选修的课程代码”，则A可表示为(图2-2-2(a))：

1.X为离散论域时的隶属函数8882.1模糊控制概述1.X为连续论域时的隶属函数例2-1-2：是一组人类年龄的可能值，集合B=“50岁左右”，则B可表示为（图2-1-2(b)）：

其中

集合A的另一种描述：

（2-1-2）9992.1模糊控制概述注意，和不表示求和与积分，而是表示论域X上的元素x与隶属度总的对应关系。同样,“/”不表示除，仅仅是一个分隔符。采用这种定义，例2-2-1和例2-2-2可分别表示为从例2-2-1和例2-2-2可看出，构造一个模糊集合主要考虑两点：合适论域的辨识和适当隶属函数的确定。注意，选择隶属函数具有一定的主观性，也就是说，对不同的人，对于同一个概念（例如说：冷）隶属函数的确定可能是不一样的。这种主观性来自于抽象概念的不确定本质，而与随机性没有任何关系。因此，模糊集合的主观性和非随机性是模糊集合研究与随机理论的根本区别，随机理论是研究随机现象的客观处理。相应普通的一系列基本运算：并、交、补，在Zadeh论文[2]中也给出了模糊集合的相似运算定义。1010102.1模糊控制概述定义2.2：包含（或者子集）当且仅当对所有x均成立，模糊集合B包含模糊集合A（或A是B的一个子集；或A小于等于B）成立，表示为(2-1-3)图2-2-3模糊集合的操作：(a)模糊集合A和B；(b)；(c)；(d)112.1模糊控制概述定义2.3：并（或）模糊集合C是模糊集合A与B的并,记为或，C的隶属函数为（2-1-4）正如Zadeh[2]指出的，关于并的一个最直接的定义就是包含A、B的最小模糊集合。可类似定义模糊集合的交运算。定义2.4：交模糊集合C是模糊集合A和B的交，记为或,C的隶属函数为：（2-1-5）显然，与并运算一样，A、B的交是包含A、B的一个最大模糊集合。122.1模糊控制概述定义2.5：补模糊集合A的补，即（2-2-6）图2-2-3演示了这三种基本运算：1）模糊集合2）3）4）模糊集合的算子AND和OR在文献里又分别被定义为T-范数和T-协范数算子[3]，除了min和max，这些算子没有一个能满足分配律：

132.1模糊控制概述不过，用min和max分析模糊推理系统比较麻烦。用式（2-1-7）实现AND和OR操作是一种较好的方法。(2-1-7)142.1模糊控制概述定义2.6：模糊笛卡尔乘积以上讨论的交集和并集是定义在同一论域上的。模糊笛卡尔乘积用于量化许多论域上的操作。如果分别是定义在论域上的模糊集合，它们的笛卡尔乘积表示为，其隶属函数定义为

注意：从根本上讲，按照标准笛卡尔乘积的解释，“*”实现了乘积的第一项中某个元素和第二项中某个元素的“与”操作。因为模糊规则库中条件的每一项是来自不同的论域，笛卡尔乘积中的“与”实际上表示了规则条件的“与”。下面将给出几类用来定义隶属函数的常见参数化函数，这些参数化函数在自适应模糊推理系统中起着重要的作用。152.1模糊控制概述定义2.7：三角分布如图2-1-4(a)所示的三角分布函数是由确定的，这三点是顶点在x轴上的坐标：

（2-1-8）定义2.8：梯形分布梯形分布函数是由确定的（图2-1-4（b））

（2-1-9）显然，三角分布是梯形分布的一个特例。162.1模糊控制概述图2-2-4各种形式的隶属函数(a)三角形(b)梯形；(c)高斯型；(d)钟型由于公式简单计算有效，三角分布和梯形分布应用广泛，特别适合用于在线执行。然而，由于隶属函数是由直线段组成的，对于拐点无法平滑表示。下面介绍几种其它类型的平滑非线性函数定义的隶属函数。定义2.9：高斯分布高斯分布函数由决定：

（2-1-10）其中c是高斯分布的中心，确定高斯分布的宽度（图2-1-4(c)）172.1模糊控制概述定义2.10：广义钟型分布钟型分布函数由参数确定

（2-1-11）其中参数b通常为负。注意这种隶属函数是概率论中柯西（Cauchy）分布的直接推广。参数集合的恰当选取可得到期望的广义钟型分布。明确地说，可以通过调整c和a来改变分布的中心和宽度，用b来控制交叉点的斜度，如图（图2-1-5）所示。图2-1-5广义钟型函数参数的物理意义182.1模糊控制概述定义2.11：S分布

（2-1-12）其中参数a控制交叉点x=c的斜度。参数a的符号决定了函数的左、右开口。此函数可以很适合表示“很大”或者“很小”的概念，因此作为人工神经网络的激活函数应用很广。对于模拟模糊推理系统行为的神经网络，我们首先面临的问题是如何通过S函数来综合一个近似的隶属函数。有两种方法：1取两个S函数的乘积。2取两个S函数的绝对差。注意这里介绍的隶属函数并不是所有类型的隶属函数。对于特定的应用场合，可以根据需要创造特定的隶属函数。特别要指出的是倘若一组参数赋予隶属函数适当的意义，那么任何连续分布函数都可以作为隶属函数。如果模糊集合的隶属函数满足（2-1-13）式 （2-1-13）则称模糊集合为单一（Singleton）模糊集合，该过程为单一模糊化。

192.1模糊控制概述2.模糊if-then规则假设一条模糊if-then规则采用如下形式：如果x是A那么y是B(2-1-14)其中A和B分别是论域X和Y的语言变量，“x是A”是条件，“y是B”是结论。在使用模糊if-then规则进行建模和分析系统之前，首先要明确“如果x是A那么y是B”描述的意思，此描述可简写为。实质上，它描述了两个变量ｘ和ｙ之间的关系。这意味着模糊if-then规则可用空间上的二元模糊关系Ｒ定义。注意二元关系R是经典笛卡尔（Cartesian）乘积的扩展，的每个元素是和隶属函数有关的。也可以说，二元关系R可以看作论域上的模糊集合，并且这个模糊集合用二维隶属函数来描述。一般来说，有两种方法解释模糊规则。如果把解释为“A伴随B”，则

其中是模糊AND（或T-范数）算子，表示模糊关系R。另一方面，如果解释为“A引发（entails）B”，那么它就可写成如下四个不同的公式：202.1模糊控制概述图2-1-6模糊蕴含的两种表示方法(a)A伴随B(b)A引发（entails）B实质蕴涵：命题演算：扩展的命题演算：扩展的modusponens：其中，是T-范数算子。212.1模糊控制概述2.1.3模糊集合、模糊规则和模糊推理模糊推理就是从一套模糊规则和一个或者多个条件得出结论的推理程序。首先讨论一下推理的合成规则，它是模糊推理的基本原理。假设有一条描述x和y之间关系的给定曲线。当给定时，从可推得，如图2-1-7（a）所示。上述推理过程允许a是一个区间，是一个区间值的函数，如图2-1-7（b）所示。为了找到相应于区间的区间，首先要构造a的一个柱形扩展（也就是把a的域从X扩展到），然后用区间值曲线找到交集I，把I映射到y轴就得到区间。

图2-1-7从和得到(a)a和b是点，是一条曲线；(b)a和b是区间，是区间值函数22再进一步推理，假设A是X的模糊集合，F是上的模糊关系，如图2-1-8（a）和（b）所示。为了找到结论模糊集合B，再以A为底构造柱形扩展C(A)，也就是把A的域从X扩展到以得到C(A)。C(A)和F的交集（图2-1-8（c））就形成了类似图2-1-7（b）中交集I的域。通过把映射到y轴，在y轴上推得y为模糊集合B，如图2-1-8（d）所示。令、、和分别是A、、B和F的隶属函数，其中和的关系为，则把映射到y轴，可得到

此公式实现了最大-最小（）合成，B可表示为

其中表示合成算子。如果选择用乘积来表示模糊的交运算AND，用最大表示模糊的并运算OR，那么就得到最大-乘积（max-product）合成，且等于。2.1模糊控制概述232.1模糊控制概述图2-1-8推理的合成规则应用推理的合成规则，可以把推理过程公式化，这就称为依据模糊If-Then规则的模糊推理。传统的二值逻辑中推理的基本规则是modusponens，即从真理A和蕴含可推出命题B是真理。例如：假设A代表西红柿红了，B代表西红柿熟了。如果A成立，那么Ｂ也成立[4]。这个概念可以描述如下：242.1模糊控制概述然而，在很多人类推理中，采用modusponens作为一种近似方法。例如，如果我们有同样的蕴含规则“如果西红柿红了，那么西红柿熟了”，并且知道“西红柿红得有多或者有少”，那么就可以推得“西红柿快熟了或者没有熟”。可以表达如下：其中接近A，接近B。当A、B、和分别是适当论域的模糊集合时，以上的推理过程就称之为模糊推理或者近似推理。应用前面介绍的推理合成规则，可以公式化模糊推理过程如下：25定义2.1.2：基于最大-最小（Max-Min）合成规则的模糊推理令A、和B分别是X、X和Y的模糊集合。假设模糊蕴含是上模糊关系Ｒ的描述，那么由“x是”和模糊规则“如果x是A那么y是B”得到的模糊集合定义为（2-1-15）或者（2-1-16）注意式(2-1-16)是模糊推理的通式，而式(2-1-15)是模糊推理的一个特例，这里最大和最小分别是模糊“交”和“或”算子。假设模糊蕴含定义为适当的二值模糊关系，用扩展的modusponens的推理过程来得出结论。2.1模糊控制概述262.1模糊控制概述I.具有一个条件的单一规则对于一个具有一个条件的单一规则，可以应用公式（2-1-15），进一步简化为

换句话说，首先找到匹配度w作为的最大值（如图2-1-9，条件的阴影部分），然后让结论B’的隶属函数等于B的隶属函数剪切w后的隶属函数，如图2-1-9结论中阴影部分所示。

图2-1-9具有一个条件的单一规则的模糊推理272.1模糊控制概述上面条件2中的模糊规则可写成一个比较简单的形式：。直观来讲，可用三重模糊关系R表示这个模糊规则，其隶属函数为

结果可表示为：因此

（2-1-17）

图2-1-10多个条件的近似推理282.1模糊控制概述其中是A和之间的匹配度，是B和之间的匹配度。称之为激活强度或者模糊规则的实施度。图2-1-10是一个图形的解释说明，其中结论的隶属函数就是C的隶属函数被激活强度w截取后的那部分,。按照这种方法，可直接扩展到多于两个条件的规则。292.1模糊控制概述具有多条件的多规则通常可解释为相应模糊规则的模糊关系的并。例如，假设事实和规则如下：

用图（2-1-11）所示的推理过程来得到结论的输出模糊集合。

图2-1-11具有多条件的多规则模糊推理30为了验证这个推理过程，令，。因为最大-最小（Max-Min）合成算子о满足算子的分配律，那么式（2--18）成立：

（2-1-18）其中和分别是由规则1和规则2得出的模糊集合。图（2-1-11）演示了多条件多规则的模糊推理操作。当假设给定模糊规则形式为“如果x是A或者y是B那么z是C”时，对于给定条件激活强度是条件部分的最大匹配度。当且仅当采用最大-最小（Max-Min）合成算子时，模糊规则等价于“如果x是A那么z是C”和“如果y是B那么z是C”的联合。2.1模糊控制概述462.1模糊控制概述2.1.5解模糊解模糊有许多方法，而且提出一个新方法也不难。从本质上讲，每种方法都提供一种要么基于蕴含模糊集合要么基于总的蕴含模糊集合的确定一个精确输出的方法。1.蕴含模糊集合解模糊这类解模糊技术应用比较广泛。下面介绍其中常用的几种。重心法（COG）用每个蕴含模糊集合的面积中心和面积来计算精确输出，即

（2-1-19）其中R是规则数，是第i条规则的与蕴含模糊集合相关的的隶属函数面积的中心，表示曲线下的面积。注意因为对于找出其封闭形式的描述是容易的，所以COG法计算容易。注意重心法要求每个蕴含模糊集合下的面积必须是可计算的，这样每个输出隶属函数下的面积才是有限的（这就是为什么输出隶属函数在论域的最外侧不能“饱和”的原因）。也要注意模糊系统要适当定义使得对于所有和，满足。如果对于模糊系统输入，每种可能的情况下总有一条规则激活，则结论模糊集合的面积总是不为零，那么此值将不为零。

322.1模糊控制概述中心-平均法（CA）用每个输出隶属函数的中心和代表每个蕴含模糊集合结论的最大确定度来确定精确输出，即

（2-1-20）其中“sup”表示“最大上限”(也就是把最大值看作最小上限)。因此，可以简单地把看作的最大值（例如，对于，当用相乘表示蕴含推理（implication）时，，如图2-1-12所示），是模糊集合的隶属函数面积的中心，和第i条规则的蕴含模糊集合有关。注意：对于所有的，模糊系统定义必须满足

也要注意，的计算常常是很容易的，因为如果对于最小一个，满足（这是结论隶属函数的标准定义方式），那么对于许多推理策略，应用公式（2-1-21），(2-1-21)

332.1模糊控制概述得到（2-1-22）此值在匹配过程中已经计算出来了。此外，解模糊的公式如下：

（2-1-23）对于所有的，必须保证。注意这表明输出模糊集合隶属函数的形状对这种解模糊方法的解模糊结果没有影响，因此，对于输出模糊集合可以简单地在适当点单一模糊化。

图2-1-12用乘积表示蕴含时的模糊集合2.总的蕴含模糊集合解模糊下面介绍两种典型的总的蕴含模糊集合解模糊的方法：342.1模糊控制概述I.最大判据选择精