2026年大学强基计划自主招生数学试卷试题二（含答案详解）

第第页2026年高中数学强基计划模拟卷（考试时间：180分钟）一、填空题1．在中，的最小值为.2．已知，则．3．函数的值域是．4．求．5．已知，则该方程所有实根个数与所有实根乘积的比值为.6．的所有极值点依次为的，则．7．在平面直角坐标系内，，，若的面积不超过3，则满足条件的整点M个数为．8．已知数列满足，则最接近的整数为.二、解答题9．设，满足．(1)证明：若，则当时，．(2)若存在满足，证明．

10．如图，是的外接圆，是弧（不含）上一点，为弧的中点.为线段上一点，过作的平行线交于点，过作的平行线交于点，过作的平行线交弧于点.已知上的点满足被平分.证明：.

11．设的定义域为，且对，，及，有(1)（），，及，证明：.(2)设，证明：.一、填空题1．在中，的最小值为.【答案】【分析】根据余弦定理结合基本不等式计算结合换元法计算得出最小值.【详解】由余弦定理及均值不等式，，所以.于是由正弦定理，原式.令，则.当且仅当，即时等号成立，故原式的最小值为.故答案为：3.2．已知，则．【答案】，【分析】利用和差化积公式化简求解即可，注意集合的互异性.【详解】∵∴由和差化积公式得：∴∴∴或当时，或，，此时，不满足集合的互异性，故舍去，当时，，，∴，，满足题意∴，故答案为：，.3．函数的值域是．【答案】【分析】将函数变形为，则表示抛物线上的点到点和x轴的距离之和，由几何意义即可得到答案．【详解】将变形可得，设，则的轨迹方程为，设，则表示抛物线上的点到点A和x轴的距离之和，过点作轴于，过点作轴于，交抛物线于点，故用所以.故答案为：.4．求．【答案】【分析】利用复数加法的几何意义求解.【详解】注意到，而我们易得，所以．故答案为：．5．已知，则该方程所有实根个数与所有实根乘积的比值为.【答案】12【分析】采用三角换元，令，代入题干中的式子解得或或，即可求出答案.【详解】令.则，

即，即，由于，所以或或或.解得或或或（舍）.因而其全部解为或或.由题意知，所求值为：故答案为：12.6．的所有极值点依次为的，则．【答案】【分析】先证明的所有极值点恰为其导函数的零点，然后研究在上的零点的性质，即可得到结果.【详解】由于，而当时，所以的极值点都不小于.同时，由于当时，有，即.假设，则，得.但，矛盾，所以，故.这表明，的全体极值点就是的全体零点.由于题目所求的是，而在有限区间上只有有限个零点，故我们可以只考虑在上的零点.此时，若，则由，知，从而由，知.而对有，，其符号总是恒定的，所以在上单调.结合，，知.这表明，当时，的零点均落入某个，且在每个上恰有一个零点.设上的零点为，则.而，，故.而，故.同理有.所以.这就得到，所以.故答案为：.7．在平面直角坐标系内，，，若的面积不超过3，则满足条件的整点M个数为．【答案】60【分析】设，由题意可得直线OA的方程为，表示出的面积，设，，则代入化简讨论即可.【详解】设，直线OA的方程为，即，，设，则，，代入并化简得，当时，三点不能组成三角形，舍去；当时，，，有5个整点；当时，，，有5个整点；当时，，，有5个整点；当时，，，有5个整点；当时，，，有5个整点；当时，，，有5个整点；根据对称性，当时，也分别有5个整点．∴共有60个整点．故答案为：60【点睛】关键点点睛：此题考查点到直线的距离公式的应用，解题的关键是根据题意表示出的面积，由的面积不超过3，列不等式讨论，考查分类讨论的思想和计算能力，属于较难题.8．已知数列满足，则最接近的整数为.【答案】4【分析】令，将原递推化简为可得是以为首项，公比为的等比数列.进而得到，再根据的范围确定的范围即可【详解】令，则且，原递推即为，整理后即为，由得，即，故是以为首项，公比为的等比数列.所以.所以，另一方面，，所以，综上所述，，所以与之最接近的整数为4.故答案为：4二、解答题9．设，满足．(1)证明：若，则当时，．(2)若存在满足，证明．【答案】(1)证明过程见解析(2)证明过程见解析【分析】（1）构造，求导后得到其单调性，再构造，，得到，从而证明出结论；（2）在（1）的基础上得到结论.【详解】（1）令，则，由于，，故，即，又，，，故，由于在上单调递减，故，所以恒成立，所以在上单调递增，设，，则，令，，则在上恒成立，故在上单调递减，故，故，所以在上单调递减，由于，，故，即，故，即；（2）存在满足，即在上有根，由（1）可得与等号成立的条件均为故若存在满足，则有.【点睛】构造函数证明不等式或比较大小，是高考常考题目，需要将不等式变形为同种结构或常见的不等式，如或，再构造出适当的函数进行求解.10．如图，是的外接圆，是弧（不含）上一点，为弧的中点.为线段上一点，过作的平行线交于点，过作的平行线交于点，过作的平行线交弧于点.已知上的点满足被平分.证明：.【答案】证明见解析【详解】设是弧的中点，，分别与交于点，.由知，，，共圆.由知，，，共圆，即，，，，五点共圆.注意，同理可知与相似.因此，即.由平分可知：因此.即是的平分线，结合可知是的垂直平分线，故.11．设的定义域为，且对，，及，有(1)（），，及，证明：.(2)设，证明：.【答案】(1)证明过程见解析.(2)证明过程见解析.【分析】（1）结合题目条件，用数学归纳法证明.（2）令，先根据得出，；再根据题目条件得出整理可得；同理得出；最后根据不等式的传递性即可得证.【详解】（1）证明：用数学归纳法证明：由题意可知：对，，及，有，故当时，不等式成立.假设不等式对，时成立，即（），