2026年黑龙江大庆市高三高考二模数学试卷试题（含答案详解）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页大庆市2026届高三年级第二次教学质量检测数学2026.01注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名､班级､考场号/座位号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名､准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上.2.选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚.3.请按照题号在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效.4.保持卷面及答题卡清洁，不折叠，不破损，不准使用涂改液､修正带､刮纸刀.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知复数，则（

）A．2 B． C．1 D．2．“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．已知，则（

）A． B． C． D．4．已知向量，若，则实数（

）A． B． C． D．5．已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，点在角的终边上，则（

）A． B． C． D．6．已知等差数列的前项和为，且，则使得的的最小值为（

）A．4049 B．4050 C．4051 D．40527．已知函数是定义在上的奇函数，是偶函数，当时，，则（

）A．4 B．2 C．0 D．8．已知双曲线的左､右焦点分别是，过点的直线与双曲线的右支交于两点，若，则双曲线离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．下列命题正确的是（

）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则10．函数的部分图象如图所示，若是的两个零点，则下列说法正确的是（

）A．B．的图象关于直线对称C．的最小值为D．若在区间上至少有10个零点，则实数的最小值为11．已知正方体的棱长为3，则下列说法正确的是（

）A．平面B．三棱锥的外接球的表面积为C．若该正方体表面上的动点满足，则动点的轨迹长度是D．若该正方体的内切球表面上的动点满足平面，则线段长度的最小值为三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．若抛物线的准线方程为，则.13．已知，若直线与曲线相切，则.14．已知正项数列的前项和为，且.若在和中插入个相同的数，构成一个新数列，即，记数列的前项和为，则.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15．在中，角的对边分别为，且.(1)求；(2)若，且的面积为，求的周长.16．已知数列满足.(1)证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式；(2)记，若数列的前项和为，求证：.17．如图，在三棱锥中，底面.已知是的中点，且.

(1)证明：平面；(2)若与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值.18．已知椭圆的右焦点为，点在椭圆上，且轴.过点作椭圆的切线，交轴于点，过点的直线交椭圆于两点.(1)求椭圆的方程；(2)若为椭圆的中心，求面积的最大值；(3)过点作轴的垂线与直线交于点，求证：线段的中点在定直线上.19．已知函数有两个不同的零点，分别记为，且.(1)求实数的取值范围；(2)若，不等式恒成立，求实数的取值范围；(3)有两组正实数，且.证明：.答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页1．B【分析】由模长公式求解即可.【详解】复数满足，则.故选：B.2．A【分析】根据指数函数的单调性结合充分、必要条件的概念进行判断.【详解】因为函数在上单调递增，所以，所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A3．A【分析】化简集合，根据交集的定义求解.【详解】因为的定义域为，所以，所以.故选：A.4．D【分析】利用向量的坐标运算先计算，再由向量的数量积的坐标运算即可求解.【详解】因为，所以.因为，所以，所以，解得.故选：D.5．B【分析】利用三角函数的定义求出，再根据诱导公式和倍角公式化简即可.【详解】由题意可知，，所以.故选：B6．C【分析】先由已知不等式结合等差数列的性质得到，再利用等差数列的求和公式和下标的性质判断可得.【详解】由得，因为，所以，所以由和得，所以，，故使得的的最小值为4051.故选：C7．B【分析】利用奇偶性和对称性可证明周期性，从而利用周期性来求值，即可求出结果.【详解】因为是偶函数，所以，所以，即，又因为是定义在上的奇函数，所以，即，所以，所以函数以4为周期,即，所以.故选：B8．D【分析】根据题意，利用双曲线的定义，求得，再由双曲线的性质，得到，得出，结合离心率的定义，得出关于离心率的不等式，即可求解.【详解】由双曲线的定义，可得，，两式相加得，因为，所以，又因为，所以，当轴时，此时最小，此时，所以，因为，可得，整理得，两边除以，可得，又因为，解得，所以双曲线的离心率取值范围是.故选：D

9．BC【分析】对A，取可判断；对B、C，由不等式性质可判断；对D，取可判断.【详解】对A，当时，不成立，故A错误；对B，若，则，由不等式的性质，故B正确；对C，若，则，C正确；对D，若，不妨取，则，D错误.故选：BC.10．ACD【分析】根据函数图像先求的解析式，再利用三角函数的性质逐一验证即可求解.【详解】由图象知，，则，根据周期公式，可得，故A正确；又因为，解得，代入得，因为，所以，所以，令可得对称轴方程，当时，故B错误，因为是的两个零点，令，则，所以或，解得，或，根据题意，取，所以，当时，，故C正确；由C知在上的10个零点依次为：.由在区间上至少有10个零点，则.所以的最小值为，故D正确；故选：ACD.11．ABD【分析】利用线面平行的判定定理判断A的真假；根据三棱锥的外接球与正方体的外接球相同，求外接球的表面积；明确点的轨迹，可求动点的轨迹长度，判断C的真假；转化为平面上圆外一点与圆上的点的距离问题，判断D的真假.【详解】如图：

对于A：在正方体中，，平面平面，所以平面，故A正确；对于B：三棱锥与正方体有相同的外接球，所以外接球的半径，所以，故B正确；对于C：当平面时，因为平面平面，所以，因为，所以，所以点的运动轨迹是以为圆心，半径为的圆的，其长度是；同理，当点为正方形或内部及边界上的动点时，点的轨迹长度均为；当点为正方形内部及边界上的动点时，若，则；若，则，所以点的轨迹是以为圆心，半径为的圆的，其长度是；同理，当点为正方形或内部及边界上的动点时，点的轨迹长度均为，所以动点的轨迹长度为.故C不正确；对于D：在正方体中，平面平面，因为点满足平面，所以点在平面上.又因为点在正方体的内切球表面上，所以点的轨迹为正三角形的内切圆，记圆心为.

则的最小值为，故D正确.故选：ABD12．4【分析】根据准线方程，求出值，即可得答案.【详解】因为准线方程为，故，所以.故答案为：4.13．【分析】求导，根据导数的意义及切点在切线和曲线上列方程组求解可得.【详解】由得，设直线与曲线相切于点，则，解得，代入，可得.故答案为：.14．2646【分析】由题意，结合，可得数列是首项和公差均为1的等差数列，从而求得，所以.进而求得.根据数列的特征可求出.【详解】因为，所以前项和.所以当时，因为，所以，可得，所以数列是首项和公差均为1的等差数列，所以，即.当时，，又满足上式，所以.新数列中从到共有项.当时，；当时，.所以.故答案为：2646.15．(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理边化角，再利用三角形内角和定理，即可求解；（2）利用余弦定理和三角形的面积公式，即可求解，从而求出周长.【详解】（1）由正弦定理得：，在三角形中，所以，即，因为，所以，因为，所以（2），所以，由余弦定理得，所以，则，所以的周长为.16．(1)证明见解析，(2)证明见解析【分析】（1）根据等比数列的定义求证等比数列，再利用通项公式求解；（2）求出数列的通项公式，再根据裂项相消求出，结合其单调性即可证明.【详解】（1）因为，所以，又，所以，因为，所以，结合以上递推关系可知，，则，所以数列是以为首项，2为公比的等比数列，所以，所以数列的通项公式为；（2）由（1）知，由得，所以因为得，数列为单调递增数列，所以，所以.17．(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据线面垂直的判定定理可证；（2）由与平面所成角的正弦值为，且平面，得为与平面所成的角.根据三角形相似，可求出.以A为原点，过A作垂直于的直线轴，以所在直线为轴，轴，建立空间直角坐标系，根据平面与平面夹角的向量求法可求得平面与平面夹角的余弦值.【详解】（1）因为底面平面，所以.又平面，所以平面.又平面，所以.又为的中点，所以.因为平面，所以平面.又平面，所以.又平面，所以平面.（2）由（1）知，平面，垂足为.所以为与平面所成的角.因为底面平面，所以，所以.由，所以.所以，所以.由（1）知，，而，所以.所以，所以，所以.

以A为原点，过A作垂直于的直线轴，以所在直线为轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系：则，因为为中点，所以.且.设平面的一个法向量为，则，取，则.平面，所以平面的一个法向量可取.设平面与平面的夹角为，则，故平面与平面夹角的余弦值为.18．(1)(2)(3)证明见解析【分析】（1）将点坐标代入椭圆方程，结合半焦距求出即可得椭圆方程；（2）求出切线方程，然后可得点坐标，联立直线和椭圆方程，利用弦长公式和点到直线的距离表示出的面积，然后可得最大值；（3）通过直线方程求交点坐标，结合中点坐标公式和韦达定理化简可证.【详解】（1）由题意可知，解得，所以椭圆的方程为.（2）易知过点且与椭圆相切的直线斜率存在，因此可设该直线方程为.

联立直线与椭圆，整理得，令，整理得，解得.所以过点的切线方程为：，再令，得.所以点的坐标为.由题知，经过点的直线的斜率不为0，设直线方程为联立直线与椭圆，整理得令解得因为点到直线的距离，所以令，则，当且仅当时取到最大值为；（3）设线段的中点为，由（2）可知所以，直线的方程为，则.于是，.所以因为，所以，即因此点在直线上，即线段中点在定直线上.19．(1)(2)(3)证明见解析【分析】（1）由参变分离得有两个不同的零点，求导分析单调性，结合函数图像即可求解；（2）由题知，不等式转化为，令，则，进而得，令，求导再利用导数确定最值即可；（3）设，再证：即可.【详解】（1）函数有两个不同的零点，所以，即有两个不同的解，令，由得，当时，，所以在上单调递增，当时，，所以在上单调递减，所以，当时，；当时，所以.注：函数的图像如下，（2）因