2026年高二数学寒假自学课（人教A）专题02 空间向量的应用（解析版）

专题02空间向量的应用

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串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢

重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺

考点巩固：必考题型讲透练透，能力提升

复习提升：真题感知+提升专练，全面突破

知识点1：空间向量表示直线、平面

1、直线的方向向量

空间直线的方向用一个与该直线平行的非零向量来表示，该向量称为这条直线的一个方向向量.直线在空间

中的位置，由它经过的空间一点及它的一个方向向量完全确定.

2、平面的法向量

如果表示向量的有向线段所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作，如果，那

么向量叫做平�面的法向量．���⊥��⊥�

��

注意：

①法向量一定是非零向量；

②一个平面的所有法向量都互相平行；

③向量是平面的法向量，向量是与平面平行或在平面内，则有．

3、平面�的法向量的求法��⋅�=0

第一步：写出平面内两个不平行的向量，，，，，，

�=(�1�1�1)�=(�2�2�2)na0

第二步：设平面的法向量为，根据法向量与平面内直线垂直建立关于x、y、z的方程；

nb0

�=�,�,�

第三步：解方程组，取其中的一个解，即得法向量．（一般令一个值求出两外两个即可）

注意：

①法向量一定是非零向量；

②一个平面的所有法向量都互相平行；

③向量是平面的法向量，向量是与平面平行或在平面内，则有．

知识�点2：判定直线、平�面间的位置关系�⋅�=0

1、直线与直线的位置关系：不重合的两条直线a，b的方向向量分别为．

①若a∥b，即a=λb，则a∥b．�,�

②若a⊥b，即a·b=0，则a⊥b

2、直线与平面的位置关系：直线的方向向量为a，平面α的法向量为n，且．

①若a∥n，即a=λn，则��⊥�

②若a⊥n，即a·n=0，则�⊥�．

3、平面与平面的位置关系：平�面∥α�的法向量为n1，平面β的法向量为n2．

①若n1∥n2，即n1=λn2，则α∥β

②若n1⊥n2，即n1·n2=0，则α⊥β

知识点3：用空间向量方法求空间角

1、求异面直线夹角

两条异面直线所成角的求法：设直线a，b的方向向量为，其夹角为θ，则＝＝（其中φ

�⋅�

为异面直线a，b所成的角）．�,�𝑐��|𝑐��|��

范围：

°°

2、求线(0面,9角0]

设直线l的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，a与n的角为，则有

．��𝑠��=

�⋅�

范𝑐围��：=��

°°

3、求二[0面,9角0的]平面角

若分别为面，的法向量，则二面角的平面角为的夹角或它们的补角。

�⋅�

范围�,�：��𝑐��,�=�⋅��,�

知识(0点°,1480：°]空间向量法求距离问题

1、异面直线间的距离

设两条异面直线的公垂线的方向向量为，这时分别在上任取两点，则向量在上的正射影长就是

两条异面直线�的,�距离．则�即两异面�直,�线间的距�,离�，�

�|��⋅�|

2、点到平面的�距,�离�=|��⋅|�||=|�|

A为平面外一点（如图），n为平面的法向量，过A作平面的斜线AB及垂线AH．

A为平面α外一点（如图），为平面α的法向量，过A作平面α的斜线AB及垂线AH．

�

|��⋅�||��⋅�|

|��|=|��|⋅𝑠��=|��|⋅|𝑐�<��,�>|=|��|��⋅�⇒�=|�|

高妙技法

了解直线的方向向量与平面法向量的定义。

1．（25-26高二上·宁夏·月考）已知空间两点A0,1,0，B2,2,0，与AB同向的单位向量是（）

255255

A．,,0B．,,0

5555

255255

C．,,0D．,,0

5555

【答案】B

【分析】由共线向量和单位向量定义求解.

【详解】根据题意，AB2,1,0,

AB255

则与向量AB方向相同的单位向量是,,0.

AB55

故选：B

2．（25-26高二上·广东惠州·期中）已知点A1,0,1,Ba,a1,a1,若平面ABC的一个法向量为

n1,1,2,则AB（）

A．6B．32C．3D．33

【答案】B

【分析】根据法向量n与AB垂直求解即可.

【详解】由点A1,0,1,Ba,a1,a1，可得ABa1,a1,a2.

因为平面ABC的一个法向量为n1,1,2，

所以ABn0，即1a11a12a20，解得a2.

所以AB3,3,0，AB32320232.

故选：B.

3．（25-26高二上·山东济宁·期中）阅读材料：空间直角坐标系Oxyz中，过点Px0,y0,z0且一个法向量

为na,b,c的平面的方程为axx0byy0czz00，阅读上面材料，解决下面问题：直线l是

两平面xy20与2xz10的交线，则下列向量可以为直线l的方向向量的是（）

A．3,1,2B．1,1,2C．2,1,3D．2,1,4

【答案】B

【分析】根据题意求平面的法向量，再由垂直关系即可求直线l的方向向量．

【详解】由题意有：平面xy20的法向量为n1,1,0，

平面2xz10的法向量为m2,0,1，

设直线l的方向向量为ax,y,z，

anxy0

所以，令y1，得a1,1,2，

am2xz0

而ACD中的向量与该向量均不共线，

故选：B

4．（25-26高二上·北京西城·期中）空间直角坐标系中，已知A1,0,0，B0,1,0，C0,0,a，则“a1”是

“n1,1,a为平面ABC的法向量”的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据平面的法向量定义，利用充分条件和必要条件的判断方法即可推得．

【详解】因为A1,0,0，B0,1,0，C0,0,a，

所以AB(1,1,0),AC(1,0,a).

当a1时，AB(1,1,0),AC(1,0,1)，n1,1,1

ABn(1)111010,ACn(1)101110，n1,1,1，

所以n1,1,1是平面ABC的一个法向量；

当n1,1,a是平面ABC的一个法向量时，

ABn11110a0

，解得a1.

ACn1101aa0

所以“a1”是“n1,1,a为平面ABC的法向量”的充分不必要条件.

故选：A.

高妙技法

掌握线线平行-线面平面-面面平行三者之间的关系，用向量的方法来证明线的平行关系。

掌握线线垂直-线面垂直-面面垂直三者之间的关系，用向量的方法来证明线的垂直关系。

1．（25-26高二上·浙江嘉兴·月考）在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AB2BB12，P为B1C1的中点.

(1)取A1D1中点M，AB中点N，求证：MN平面APC.

(2)求证：平面APC平面BDD1B1

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面APC的法向量再应用向量相等即可证明；

（2）先应用线面垂直判定定理证明AC平面BDD1B1，再应用面面垂直判定定理证明.

【详解】（1）建立如图所示的空间直角坐标系，

则A2,0,0，C0,2,0，B2,2,0，P1,2,1，M1,0,1，N2,1,0，

所以AC2,2,0，AP1,2,1.

nAP0x02y0z00

设平面APC的法向量为nx0,y0,z0，则.

nAC02x02y00

令x01，解得y01，z01.n1,1,1.

又MN1,1,1n，

所以MN平面APC.

（2）因为ACBD，又因为BB1平面ABCD，AC平面ABCD，

所以ACBB1,BB1BDB,BB1,BD平面BDD1B1，

所以AC平面BDD1B1，AC平面APC，

所以平面APC平面BDD1B1.

2．（25-26高二上·山东济宁·期中）棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E为DD1的中点，F为BD中

点，G为AA1的中点．

(1)证明：EF//平面ABC1D1；

(2)证明：平面BDC1平面BDG．

【答案】(1)证明见解析；

(2)证明见解析.

【分析】（1）构建合适的空间直角坐标系，标注出相关点坐标，法一：求出平面ABC1D1的法向量n，再证

EFn，即可证；法二：根据坐标得到EF//BD1，再由线面平行的判定证明结论.

（2）首先分别求出平面BDC1、平面BDG的法向量，再证法向量垂直，即可证结论.

【详解】（1）以D为原点，分别以DA,DC,DD1为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，

则D0,0,0,E0,0,1,F1,1,0,A2,0,0,B(2,2,0),D10,0,2,C10,2,2,G(2,0,1)，

法一：EF1,1,1,AB0,2,0,AD12,0,2，

nAB2y0

设平面的一个法向量为，由，

ABC1D1nx,y,z

nAD12x2z0

取x1，得n1,0,1，所以EFn1110110，故EFn，

又EF平面ABC1D1，所以EF//平面ABC1D1；

法二：，所以，故，

EF1,1,1,BD12,2,2BD12EFEF//BD1

又EF平面ABC1D1，BD1平面ABC1D1，所以EF//平面ABC1D1；

（2）由（1）知DB2,2,0,DG2,0,1,DC10,2,2，

设平面BDG的一个法向量为m1a,b,c，

m1DB2a2b0

由，令a1，得m11,1,2，

m1DG2ac0

设平面BDC1的一个法向量为m2e,f,g，

m2DB2e2f0

由，令e1，得m21,1,1，

m2DC12f2g0

由，得^，故平面平面

m1m21111210m1m2BDC1BDG.

3.（25-26高二上·四川内江·月考）如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，其棱长为2；

(1)求三棱锥D1ACB1外接球的体积；

，

(2)M，N分别是A1D1A1B1的中点，过BD的平面//平面AMN，求平面截正方体所得截面的面积；

1

(3)若CHCD，G是线段BD上的一点，若AG//平面BDH，试判断点G在线段BD上的位置，并说明理

4111

由

【答案】(1)43π

9

(2)

2

(3)点G是线段BD1上靠近B的三等分点

【分析】（1）将锥体的外接球问题转化为正方体的外接球问题，求出球的半径，代入球的体积公式即可求

解；

（2）先作出平面截正方体的截面，再根据截面的形状和性质，求截面的面积即可；

（3）建立空间直角坐标系，设BGtBD1,0t1得G22t,22t,2t，求出平面BDH的法向量，进而利

1

用AGm0求出t，即可判断点的位置.

3

【详解】（1）因为三棱锥D1ACB1的顶点也是正方体的顶点，所以正方体的外接球就是所求的外接球，

1222

设球半径为R，由题意，正方体ABCDABCD的棱长为2，则R2223，所以三棱锥

11112

4

DACB外接球的体积为πR343π.

113

（2）根据题意，取B1C1的中点E，C1D1的中点F，连接EF,BE,DF,B1D1，

11

则EF∥B1D1,B1D1∥BD，所以EF∥BD，且EFBDBD，

2112

故BDFE在同一平面内，

连接ME，因为M,E分别为A1D1,B1C1的中点，

所以ME∥A1B1∥AB，且MEAB，

所以四边形ABEM是平行四边形，

所以AM∥BE，又因为BE平面BDFE，AM平面BDFE，

所以AM平面BDFE，

同理AN平面BDFE，

因为AMANA,AM,AN平面AMN，

所以平面AMN∥平面BDFE，

即平面截该正方体所得截面为梯形BDFE；

又由梯形BDFE中，BEDF415，

1

即平面截该正方体所得截面为等腰梯形，又EFBD2，

2

2

2

所以等腰梯形的高为22232，

5

22

222329

所以等腰梯形的面积为，

222

9

即平面截正方体所得截面的面积为.

2

（3）如图，建立空间直角坐标系，

则D0,0,0,A2,0,0,B2,2,0,C0,2,0,C10,2,2,D10,0,2，

11131

因为CHCD10,,，所以H0,,，

42222

31

所以DB2,2,0,DH0,,，

22

设平面BDH的法向量为mx,y,z，

mDB2x2y0

则31，令x1，可得m1,1,3，

mDHyz0

22

设BGtBD1,0t1，则BG2t,2t,2t，所以G22t,22t,2t，

所以AG2t,22t,2t，

若AG//平面BDH，则AGm2t122t12t30，

11

化简得6t20，解得t，所以BGBD，

331

所以点G是线段BD1上靠近B的三等分点时，满足AG//平面BDH.

4．（25-26高二上·新疆喀什·期中）已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，以D为原点，分别以DA，DC，

y

DD1为x，，z轴建立空间直角坐标系．

(1)写出点A1，B，C1的坐标；

(2)求平面A1BC1的一个法向量；

(3)证明：直线AD1//平面A1BC1．

【答案】(1)A12,0,2；B2,2,0；C10,2,2

(2)1,1,1（答案不唯一）

(3)证明见解析.

【分析】（1）根据题意建立空间直角坐标系，写出坐标即可.

（2）根据法向量与平面垂直进行求解即可.

（3）根据平面法向量与直线的方向向量的关系进行证明即可.

y

【详解】（1）根据题意，以D为原点，分别以DA，DC，DD1为x，，z轴建立空间直角坐标系，如图，

且正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，所以A12,0,2，B2,2,0，C10,2,2.

（2）因为A12,0,2，B2,2,0，C10,2,2，

所以A1B0,2,2，A1C12,2,0，设平面A1BC1的法向量为nx,y,z，

nA1B02y2z0

所以，得，

2x2y0

nA1C10

令x1，所以yz1，所以平面A1BC1的一个法向量为1,1,1.

（3）由（1）可知D10,0,2，A2,0,0，所以AD12,0,2，由（2）可知，平面A1BC1的法向量为n1,1,1，

所以AD1n0，所以AD1n，因为AD1平面A1BC1，所以直线AD1//平面A1BC1.

高妙技法

求异面直线夹角常用的方法有几何法跟建系法跟向量法，若空间直线容易平移构建平面直线夹角时，可

以考虑用几何法，常出现在小题中，若题目建系方便可以考虑用建系方式，一般用在大题中，建系容易

计算量较大，向量法则在特殊情况下适用。

1．（25-26高二上·山东·月考）如图､在等边三角形ABC中AB4，点D,E分别在边AB，边AC上，且AD1，

ADE90,将三角形ADE沿DE折起，将点A翻折至点P处，使得平面PDE平面BCED，则直线PB与

CE所成角的正切值为（）

3103131031

A．B．C．D．

203203

【答案】B

【分析】建系，利用线线角的向量求法求解.

【详解】过点C向线段DE的延长线作垂线，垂足为F，因为AD1,ADE90，DAE60，

所以DE3,AE2，所以CE2，因为AECE,ADECFE,AEDCEF，

所以ADECFE，所以CF1,DF23，

因为ADE90，所以DEAB，所以DEDP,DEDB，

因为平面PDE平面BCED，平面PDE平面BCEDDE，

PDDE，PD平面PDE，所以PD平面BCED，

以D为原点，分别以DB,DE,DP所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系，

则P0,0,1,B3,0,0,E0,3,0,C1,23,0，

所以PB3,0,1,CE1,3,0，

PB·CE3310

设直线PB与CE所成角为，则cos，

PBCE10220

310

29310sin2031

所以sin1cos1，tan，

4020cos3103

20

故选：B.

2．（25-26高二上·重庆·期中）在直三棱柱ABCA1B1C1中，BCA90，D，F分别是A1C1，A1B1的中

点，BCCA2，CC11，则BD与AF所成角的余弦值是（）

2236

A．B．C．D．

3333

【答案】B

【分析】选择恰当的基底，求得向量AF与BD夹角的余弦值，其绝对值即为BD与AF所成角的余弦值.

【详解】直三棱柱ABCA1B1C1中，CC1平面ABC.又BCA90，所以CC1,CA,CB两两垂直.

1

BDBCCCCDCACBCC.

1121

11111

AFAA1A1B1CC1ABCC1CBCACACBCC1.

22222

2

222

所以11，

BDCACBCC1CACBCC16

24

2

1121212

AFCACBCC1CC1CBCA3.

2244

11112122

AF·BDCACBCC1·CACBCC1CACBCC12.

22242

AF·BD22

cosAF,BD.

AFBD363

2

所以BD与AF所成角的余弦值是.

3

故选：B.

3．（25-26高二上·北京·月考）如图，四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，ADCD,AD//BC，

PF1

PAADCD2,BC3．E为PD的中点，点F在PC上，且．

PC3

(1)求点C到平面AEF的距离；

PG

(2)在棱PB上，是否存在点G，使得A,G,E,F四点共面?若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．

PB

(3)设平面ABCD与平面AEF的交线为l，求直线l与直线PD所成角大小．

43

【答案】(1)

3

PG2

(2)存在，

PB3

(3)60

【分析】（1）建系，利用点面距的坐标计算公式可得答案；

（2）利用AG与平面AEF的法向量垂直可得答案；

（3）利用直线l分别与平面ABCD和平面AEF的法向量垂直，可得到直线l的方向向量，然后利用两直线

夹角的坐标公式可得答案.

【详解】（1）过A作AD的垂线交BC于点M，

因为PA平面ABCD，所以PAAM,PAAD，

如图建立空间直角坐标系Axyz，则A0,0,0,B2,1,0,C2,2,0,D0,2,0,P0,0,2，

因为E为PD的中点，所以E0,1,1，所以AE0,1,1,PC2,2,2,AP0,0,2，

1222224

所以PFPC,,,AFAPPF,,，

3333333

yz0

nAE0

设平面AEF的法向量为nx,y,z，则，224，

nAF0xyz0

333

令z1，则y1,x1，于是n1,1,1，

易知向量为AC2,2,0，设点C到平面AEF的距离为d，

ACn43

所以d．

n3

43

所以点C到平面AEF的距离为，

3

（2）设PGPB2,1,22,,2，所以AG2,,22．

因为A,G,E,F四点共面，

所以AGn,AGn222230，

2PG2

所以，从而．

3PB3

PG2

所以在棱PB上，存在点G，使得A,G,E,F四点共面，此时．

PB3

（3）PD0,2,2，z轴垂直平面ABCD，可得平面ABCD的一个法向量e0,0,1，

设直线l的方向向量为mx1,y1,z1，

平面ABCD与平面AEF的交线为l，

mnx1,y1,z11,1,1x1y1z10

所以，

mex1,y1,z10,0,1z10

x11

令x11得：y11

z10

直线l的一个方向向量为m1,1,0，

PDm1

因为cosPD,m，

PDm2

所以异面直线PD与l成角为60.

π

4．（25-26高三上·黑龙江·月考）如图，在三棱锥PABC中，PA底面ABC，ABAC，BAC，

2

π

二面角PBCA的大小为，D为BC的中点.

3

(1)证明：BC平面PAD；

(2)若BC2，求异面直线PD与AC所成角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

2

(2)

4

【分析】（1）证法一：由等腰三角形的几何性质得出ADBC，由PA底面ABC结合线面垂直的性质得

出PABC，再利用线面垂直的判定定理可证得结论成立；

证法二：由等腰三角形的几何性质得出ADBC，推导出PAPC，可得出PDBC，再利用线面垂直的

判定定理可证得结论成立；

π

（2）解法一：由（1）结合二面角的定义可知PDA即为二面角PBCA的平面角，即PDA，求出

3

AB、AC、AP的长，以A为坐标原点，AB、AC、AP所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，

利用空间向量法可求得异面直线PD与AC所成角的余弦值；

解法二：取AB的中点M，连接PM和DM，由（1）结合二面角的定义可知PDA即为二面角PBCA的

π

平面角，即PDA，求出AB、AC、AP的长，由异面直线所成角的定义可知PDM为异面直线PD与

3

AC所成的角，再结合余弦定理求解即可；

解法三：故以A为坐标原点，AB、AC、AP所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，设PAaa0，

利用空间向量法结合已知条件求出a的值，再利用空间向量法可求得异面直线PD与AC所成角的余弦值.

π

【详解】（1）证法一：因为ABAC，BAC，D为BC的中点，所以ADBC，

2

因为PA底面ABC，BC平面ABC，所以PABC，

又因为ADPAA，PA、AD平面PAD，所以BC平面PAD.

π

证法二：因为ABAC，BAC，D为BC的中点，所以ADBC，

2

因为PA底面ABC，BC平面ABC，所以PABC，

所以PAAB，PAAC，

所以PBPA2AB2PA2AC2PC，

又因为D为BC的中点，所以PDBC.

又因为ADPDD，AD、PD平面PAD，所以BC平面PAD.

π

（2）解法一：因为ADBC，PDBC，所以PDA即为二面角PBCA的平面角，所以PDA，

3

π

因为BC2，ABAC，BAC，D为BC的中点，

2

1

所以BCAB2AC22AB2，所以ACAB2，ADBC1，

2

π

因为PA平面ABC，AD平面ABC，所以PAAD，所以PAADtan3.

3

π

因为PA底面ABC，BAC，

2

故以A为坐标原点，AB、AC、AP所在直线分别为x、y、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

22

则A0,0,0、P0,0,3、C0,2,0、D,,0，

22

22

则AC0,2,0，PD,,3，

22

ACPD12

所以cosAC,PD，

ACPD224

2

所以异面直线PD与AC所成角的余弦值为.

4

解法二：取AB的中点M，连接PM和DM，

π

因为ADBC，PDBC，所以PDA即为二面角PBCA的平面角，所以PDA，

3

π

因为BC2，ABAC，BAC，D为BC的中点，

2

1

所以BCAB2AC22AB2，所以ACAB2，ADBC1，

2

π

因为PA平面ABC，AD平面ABC，所以PAAD，所以PAADtan3.

3

所以PDPA2AD2312，

因为D为BC的中点，M为AB的中点，所以DM为ABC的中位线，

12

所以DM//AC，DMAC，所以PDM为异面直线PD与AC所成的角.

22

因为PA平面ABC，AB平面ABC，所以PAAB，

2

2

由勾股定理得22214，

PMPAAM3

22

在△PMD中，由余弦定理可得

22

214

22

PD2DM2PM22212

cosPDM.

2PDDM2224

22

2

2

所以异面直线PD与AC所成角的余弦值为.

4

π

解法三：因为PA底面ABC，BAC，

2

故以A为坐标原点，AB、AC、AP所在直线分别为x、y、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

π

因为BC2，ABAC，BAC，D为BC的中点，

2

所以BCAB2AC22AB2，所以ACAB2，

所以ABAC2.

22

设PAaa0，则A0,0,0、B2,0,0、C0,2,0、D,,0，P0,0,a，

22

则PB2,0,a，BC2,2,0，

PBn12xaz0

设平面PBC的一个法向量为n1x,y,z，则，

BCn12x2y0

ya

令xa，则，z2，所以n1a,a,2.

易知平面ABC的一个法向量为n20,0,1，

πn1n221

又二面角的大小为，所以cosn,n，解得（负值舍去）

PBCA122a3.

3n1n22a212

22

所以AC0,2,0，PD,,3，

22

ACPD122

所以cosAC,PD，所以异面直线PD与AC所成角的余弦值为.

ACPD2244

高妙技法

在用空间向量求线面角的时候，是由直线的方向向量与平面的法向量计算它们夹角的余弦值，要弄清这

个夹角与我们所求的线面角还需要转换。

1．（25-26高二上·重庆·期中）已知四棱锥PABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，PA底面ABCD，

且PA2,M是棱PD的中点，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.

(1)证明：直线AM平面PCD；

(2)求直线BM与平面PCB所成角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析

3

(2)

6

【分析】（1）利用空间向量法来证明线向量与法向量共线，即可得线面垂直；

（2）利用空间向量法来求线面角的正弦值即可.

【详解】（1）因为四棱锥PABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，PA底面ABCD，

所以如图建系，

可得A0,0,0,M1,0,1,P0,0,2,C2,2,0,D2,0,0,B0,2,0，

则AM1,0,1,PC2,2,2,PD2,0,2，

设平面PCD法向量n1x,y,z，

n1PC2x2y2z0

，令x1，则y0,z1，所以n11,0,1，

n1PD2x2z0

则可得，所以，故直线平面；

AMn1AM//n1AMPCD

（2）由题BM1,2,1,PB0,2,2，PC2,2,2，

设BM与平面PCB夹角为，设平面