教考衔接4三角函数的求值问题

教考衔接4三角函数的求值问题 【高考考情】三角函数的运算求值问题是高考常考内容,考题多源自于教材例题或习题,主要考查利用两角和差公式对三角函数式化简求值,考查运算求解能力和逻辑思维能力.◆教材典题·慧聚题号源自教材题源(1)人教A版必修第一册P255·第15题(1)题源(2)人教A版必修第一册P255·第15题(2)题源(1)已知cos(α+β)=15,cos(α-β)=35,求tanαtanβ【解析】由题意得,cos可得,cosαcosβ=25,sinαsinβ=1则tanαtanβ=sinαsinβcosα题源(2)已知cosα+cosβ=12,sinαsinβ=13,求cos(α-β)的值【解析】由题意得,(即co③+④得,2+2cos(α-β)=1336则cos(α-β)=-5972[选题说明]本题(1)由cos(α+β),cos(α-β)求出sinαsinβ和cosαcosβ的值,再计算tanαtanβ,体现“消去”的方法.本题(2)采用两边平方和相加,体现“整合”的方法.◆教材典题·慧聚题号源自教材题源(3)人教A版必修第一册P256·第24题(1)题源(4)人教A版必修第一册P255·第17题题源(3)(一题多法)已知sinβ+cosβ=15,β∈(0,π),求tanβ的值题源(4)(一题多法)已知sinα-cosα=15,0≤α≤π,求sin(2α-π4)【解析】(3)法一:(直接法)由sinβ+cosβ=15可得sinβ=45,cosβ=15-sinβ=-于是tanβ=-4法二:(1的代换)sinβ+cosβ=15sin2β+2sinβcosβ+cos2β=125又sin2β+cos2β=1,代入得12sin2β+25sinβcosβ+12cos2β=0,显然cosβ≠0,两边同除以cos2β,得12tan2β+25tanβ+12=0,解得tanβ=-43或tanβ=-3又sinβ+cosβ=15,β∈(0,π),从而|sinβ|>|cosβ|,所以|tanβ|>1,所以tanβ=-4法三:(引入辅助角)由sinβ+cosβ=15sin(β+π4)=210,又β◆创新拓宽·变式[变式1]若sinα+sinβ=22,cosα-cosβ=1则 ()A.cos(α+β)=-58 B.cos(α+β)=C.cos(α-β)=-58 D.cos(α-β)=【解析】选B.由sinα+sinβ=22,cosαcosβ=12,得(sinα+sinβ)2=sin2α+sin2+2sinαsinβ=12①(cosα-cosβ)2=cos2α+cos2β-2cosαcosβ=14②.①②相加得sin2α+sin2β2sinαsinβ+cos2α+cos2β-2cosαcosβ=34,2-2(cosαcosβ-sinαsinβ2-2cos(α+β)=34,解得cos(α+β)=5[变式2]已知sin(α+β)=12,sin(α-β)=1若tanα=mtanβ,则m的值为()A.3 B.4 C.5 D.6【解析】选C.由sin(α+β)=12,sin(α-β)=1所以sinαcosβ=512,cosαsinβ=1所以tanα=5tanβ,所以m=5.所以β+π4∈(π4,5而0<sin(β+π4)=210<22,结合正弦函数图象可得β+π4∈(所以cos(β+π4)=-7从而tan(β+π4)=-1所以tanβ=tan(β+π4)法四:(利用三角函数定义)设P(x,y)是角β的终边与单位圆的交点,由三角函数定义及已知条件得y+x=15(y>0),从而得x=-35,y=4tanβ=yx=-4(4)法一:由sinα-cosα=15sinα=45,cosα=sinα-15=3sin2α=2425,cos2α=-725,所以sin(2α-πsin2αcosπ4-cos2αsinπ4=法二:由sinα-cosα=15得(sinα-cosα)2=125,sin2α=24所以cos22α=49625.又由sinα-cosα=15得sin(α-π4)=210<22,因为αα-π4∈-π4,3π4,所以α-π4∈(0,π4),即α∈(π4,π2),所以2α∈(π2,π),cos2α=-又由sinα-cosα=15得sin(α-π4)=210<22,因为αα-π4∈-π4,3π4,所以α-即α∈(π4,π2),所以2α∈(π2,π),cos2所以sin(2α-π4)=31[选题说明]这是三角恒等变换中的两道普通的给值求值问题.通过一题多解与变式训练,挖掘其所蕴含的知识链、方法链.看似简单平常的练习题,实质上却隐含着丰富的内容,很多三角函数求值的问题就是以它为源头,通过变换逐步演绎深化而成.◆创新拓宽·变式[变式3](多选题)在△ABC中,sinA+cosA=15,下列说法正确的是()A.sinA-cosA=-75 B.cosA=-C.tanA=-34 D.A∈(π2【解析】选BD.由sinA+cosA=15sin2A+cos2A=1以及A∈(0,π),可得sinA=45,cosA=-35,从而tanA=-43,A∈(π2,π),[变式4]已知β是第四象限角,sinβ+3cosβ=1,则tanβ=________.

【解析】由sinβ+3可得5cos2β-3cosβ=0,解得cosβ=0或cosβ=35,而β是第四象限角,cosβ=35,从而sinβ=1-3cosβ=-45tanβ=-43答案:-4[变式5]若3sinα-sinβ=10,α+β=π2,sinα=________,cos2β=________.

【解析】因为α+β=π2,所以β=π2-α3sinα-sinβ=3sinα-sin(π2-α)=3sinαcosα=10sin(α-φ)=10,其中sinφ=1010,cosφ=31010.所以α-φ=πk∈Z,所以α=π2+φ+2kπ,k∈Z,所以sinαsin(π2+φ+2kπ)=cosφ=31010,k∈sinβ=3sinα-10=-1010,cos2β=1-2sin2β=1-15=4答案:31010◆高考真题·链接1.(2023·新高考Ⅰ卷)已知sin(α-β)=13,cosα·sinβ=16,则cos(2α+2β)=(A.79 B.19 C.-19 D【解析】选B.因为sin(α-β)=13,所以sinαcosβ-cosαsinβ=13,所以sinαcosβ=cosαsinβ=13+16=12,sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=12+所以cos(2α+2β)=1-2sin2(α+β)=1-2×49=12.(2024·新高考Ⅰ卷)已知cos(α+β)=m,tanαtanβ=2,则cos(α-β)=()A.-3m B.-m3 C.m3 D.【解析】选A.由cos(α+β)=m得cosαcosβ-sinαsinβ=m①.由tanαtanβ=2得sinαsinβcosαcosβ=2所以cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ=-3m.3.(2024·新高考Ⅱ卷)已知α为第一象限角,β为第三象限角,tanα+tanβ=4,tanαtanβ=2+1,则sin(α+β)=________.

【解析】由题知tan(α+β)=tanα+