第五章第27节平面向量的概念及其线性运算

第五章平面向量、复数第27节平面向量的概念及其线性运算考试要求考题分析1.理解平面向量的意义、几何表示及向量相等的含义.2.掌握平面向量加、减运算及运算规则,理解其几何意义.3.掌握平面向量数乘运算及运算规则,理解其几何意义,理解两个平面向量共线的含义.4.了解平面向量的线性运算性质及其几何意义.年份新高考Ⅰ卷新高考Ⅱ卷2022年T3-2023年--2024年--【主干梳理基础落实】【知识梳理】1.平面向量的有关概念(1)向量:既有大小又有方向的量;向量的大小叫做向量的长度(模);(2)零向量:长度为0的向量,记作0;(3)单位向量:长度等于1个单位长度的向量;(4)相等向量:长度相等且方向相同的向量;(5)相反向量:长度相等且方向相反的向量;(6)平行向量:方向相同或相反的非零向量,也叫做共线向量;规定:零向量与任意向量平行.[注意点]①零向量的方向是任意的;②与向量a平行的单位向量有两个,即向量a|a|和2.平面向量的线性运算(1)加法运算定义求两个向量和的运算运算法则(或几何意义)运算律交换律:a+b=b+a;结合律:(a+b)+c=a+(b+c)(2)减法运算定义求两个向量差的运算运算法则(或几何意义)运算律a-b=a+(-b)(3)数乘运算定义求实数λ与向量a的积的运算几何意义|λa|=|λ||a|,当λ>0时,λa与a的方向相同;当λ<0时,λa与a的方向相反;当λ=0时,λa=0运算律λ(μa)=(λμ)a;(λ+μ)a=λa+μa;λ(a+b)=λa+λb[注意点]对平面向量加法抓住“共起点”或“首尾相连”.对平面向量减法应抓住“共起点,连两终点,指向被减向量的终点”.3.共线向量定理非零向量a与向量b共线的充要条件是:存在唯一一个实数λ,使得b=λa.[注意点]只有当a≠0时,定理中的实数λ才存在且唯一.【常用结论】1.若P为线段AB的中点,O为平面内一点,则=12(+).2.若=λ+μ(λ,μ为常数),O不在直线AB上,则P,A,B三点共线的充要条件是λ+μ=1.3.若G为△ABC的重心,则有(1)++=0;(2)=13(+).4.对于任意两个向量a,b,都有||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|.【知能自测】类型回源教材澄清盲点结论应用题号2,3141.(易错辨析)正确的画“√”,错误的画“×”.(1)若a∥b,b∥c,则a∥c. (×)(2)若向量a与b同向,且|a|>|b|,则a>b. (×)(3)若向量与向量是共线向量,则A,B,C,D四点在一条直线上. (×)(4)起点不同,但方向相同且模相等的向量是相等向量. (√)2.(必修第二册P15练习T2变式)点C在线段AB上,且ACCB=53,则=______,=______.【解析】由已知画图如下,由图知=58,=-38.答案:58-3.(必修第二册P14例6变式)如图,在平行四边形ABCD中,E为DC边的中点,且=a,=b,则=___________.

【解析】=++12=-a+b+12a=b-12a.答案:b-124.若a,b满足|a|=5,|b|=8,则|a+b|的最大值为___________,最小值为___________.

【解析】由||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|,得|a+b|的最大值为13,最小值为3.答案:133【考点探究核心突破】考点一平面向量的基本概念【例1】(1)设a,b是非零向量,则“aa=bb”是“a=b”的 (A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选B.由aa=bb表示分别在a,b方向上的单位向量相等,则a,b同向,但不能确定它们的模是否相等,即不能推出a=b;由a=b表示a,b同向且模相等,则aa所以“aa=bb”是“a=b”(2)(多选题)如图,D,E,F分别是△ABC各边的中点,则下列结论正确的是 ()A.=B.与共线C.与是相反向量D.=12||【解析】选ABC.由已知条件可知,与方向相同,长度相等,故=,选项A正确;与,方向相反是共线向量,选项B正确;与方向相反,长度相等,故与是相反向量,选项C正确;=12,选项D错误.【思维升华】平面向量有关概念的关注点(1)共线向量即为平行向量;(2)向量的平行不具有传递性,只有非零向量平行具有传递性;(3)两个非零向量的共线包含同向共线与反向共线,与向量长度、起点无关;(4)与向量a同向的单位向量是aa【对点训练】已知四边形ABCD,下列说法正确的是 ()A.若=,则四边形ABCD为平行四边形B.若||=||,则四边形ABCD为矩形C.若∥,且||=||,则四边形ABCD为矩形D.若||=||,且∥,则四边形ABCD为梯形【解析】选A.A选项,若=,则=且∥,则四边形ABCD为平行四边形,正确;B选项,对角线相等的四边形不一定是矩形,错误;C选项,若∥,且||=||,则四边形ABCD可以是等腰梯形,也可以是矩形,错误;D选项,若||=||,且∥,则四边形ABCD可以是平行四边形,也可以是等腰梯形,错误.【加练备选】1.(多选题)下列说法中正确的是 ()A.单位向量都相等B.任一向量与它的相反向量不相等C.若|a|=|b|,则a与b的长度相等,与方向无关D.若a与b是相反向量,则|a|=|b|【解析】选CD.对于A,单位向量方向不同时并不相等,A错误;对于B,0的相反向量为0,B错误;对于C,|a|=|b|,则a与b的长度相等,与方向无关,C正确;对于D,相反向量是长度相等,方向相反的向量,D正确.2.在如图所示的向量a,b,c,d,e中(小正方形的边长为1),判断是否存在下列关系的向量:①是共线向量的有______________;

②方向相反的向量有______________;

③模相等的向量有___________.

【解析】①a∥d,e∥b,故a和d,e和b是共线向量;②a和d,b和e是方向相反的向量;③由勾股定理可得,模相等的向量有a,c,d.答案:①a和d,e和b②a和d,b和e③a,c,d考点二平面向量的线性运算角度1平面向量的线性运算【例2】(1)(2024·南通模拟)在梯形ABCD中,AB∥CD,且AB=2CD,点M是BC的中点,则= ()A.23-12 B.12+23C.+12 D.34+12【解析】选D.依题意可得=12+12=12+12(+)=12+14+12=34+12.(2)(2025·来宾模拟)设a,b,c为非零向量,若p=a|a|+b|b|+c|c|A.0 B.1 C.2 D.3【解析】选D.a|a|,b|b|,c|c则|p|=|a|a|+b|b|+c|c||≤3,当且仅当作=a|a|,=b|b|,=c|c|,当∠AOB=∠BOC=∠COA以OA,OB为邻边作平行四边形OAEB,则该四边形为菱形,且∠AOE=π3所以△AOE为等边三角形,且||=1,又因为∠AOC=2π3,||=1,由图可知,+=0,即|p|=|++|=0,所以0≤|p|≤3,所以|p|的最大值为3,最小值为0,则|p|的最大值与最小值的差为3-0=3.【思维升华】平面向量的线性运算的求解策略(1)常用的法则是平行四边形法则和三角形法则,一般共起点的向量求和用平行四边形法则,求差用三角形法则;首尾相连的向量求和用三角形法则.(2)将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中,充分利用三角形中位线、平行四边形的性质、三角形相似等平面几何知识,找出图形中的相等向量、共线向量,把未知向量转化为已知向量.【对点训练】1.(2025·衡水模拟)如图,平行四边形ABCD中,AE=2EB,DF=FC,若=m,=n,则= ()A.12m+32n B.32mC.-12m+32n D.12m【解析】选D.因为四边形ABCD为平行四边形,且AE=2EB,DF=FC,所以=+=+12,即2=2+①,又=+=+13,即3=3+②,由①+②得2+3=,又=m,=n,所以=12m-32n.2.若向量a≠0,b≠0,且|a|=|b|=|a-b|,则向量a与向量a+b所在直线的夹角是______________.

【解析】设=a,=b,以OA,OB为邻边作▱OACB,如图所示,则a+b=,a-b=.因为|a|=|b|=|a-b|,所以||=||=||,所以△OAB是等边三角形,所以∠BOA=π3,四边形OACB为菱形.在菱形OACB中,对角线OC平分∠BOA,所以向量a与向量a+b所在直线的夹角是π6.答案:π角度2根据向量线性运算求参数【例3】已知在▱ABCD中,点E为CD的中点,=m,=n(mn≠0),若∥,则nm=___________.

【解析】依题意设=λ,则=+=-m+n=λ(+)=λ(-12),即-m+n=-12λ+λ,所以-m=-12λ,n=λ,故nm=2.答案:2【思维升华】与向量的线性运算有关的参数问题解题策略一般是通过向量的运算将向量表示出来,然后通过比较或建立方程组即可求得相关参数的值.[提醒]有时还需要利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质,把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解.【对点训练】(2024·南昌模拟)在△ABC中,已知=3,P为线段AD的中点,若=λ+μ,则1λ+1μ=___________.

【解析】根据题意,在△ABC中,已知=3,则=14,由于P为线段AD的中点,则=+=+12=+12(-)=12+12=12+18,又=λ+μ,,不共线,故λ=12,μ=18,所以1λ+1μ=2+8=10.答案:10【加练备选】如图,在△OAB中,P为线段AB上一点,=x+y,且=4,则 ()A.x=13,y=23 B.x=23,C.x=34,y=14 D.x=14,【解析】选C.由=4可得=34,所以=+=+34=+34(-)=34+14,所以x=34,y=14.考点三向量共线定理及其应用【例4】(1)(一题多法)设e1,e2是两个不共线的向量,已知=2e1-ke2,=e1+3e2,=2e1-e2,若A,B,D三点共线,则k的值为 ()A.-8 B.8 C.6 D.-6【解析】选B.法一(方程组法):由已知得=-=e1+3e2-(2e1-e2)=-e1+4e2,因为A,B,D三点共线,所以存在唯一实数λ使=λ,所以2e1-ke2=λ(-e1+4e2)=-λe1+4λe2,所以2=-λ-k法二(比例法):由已知得=-=e1+3e2-(2e1-e2)=-e1+4e2,因为三点A,B,D共线,所以∥,所以2-1=-k4,解得k(2)(2024·扬州模拟)在△ABC中,=2,M为线段AD的中点,过M的直线分别与线段AB,AC交于P,Q,且=23,=λ,则λ= ()A.16 B.13 C.12 【解析】选B.如图,因为=2,则-=2(-),即=23+13(*),又M为线段AD的中点,即=2,=23,=λ,代入(*)得,2=+13λ,即=12+16λ,因为P,M,Q三点共线,故12+16λ=1,解得λ=13.【思维升华】利用共线向量定理解题的方法(1)a∥b⇔a=λb(b≠0)是判断两个向量共线的主要依据.若a=λb(b≠0),则a与b共线,且当λ>0时,a与b同向;当λ<0时,a与b反向.(2)若a与b不共线且λa=μb,则λ=μ=0.(3)要证明A,B,C三点共线,只需证明与共线,即证=λ(λ∈R).若已知A,B,C三点共线,则必有与共线,从而存在实数λ,使得=λ.(4)=λ+μ(λ,μ为实数),若A,B,C三点共线,则λ+μ=1.[提醒]若点P在直线AB上,由三点共线一般要设=λ或者设=λ+(1-λ),再结合条件解题.【对点训练】已知O是△ABC内的一点,2+3+m=0,若△AOB的面积与△ABC的面积的比值为47,则实数m的值为___________.

【解析】由题知2+3=-m,则25+35=-m5,设-m5=,则=25+35,因为25+35=1,所以A,B,D三点共线,则与反向共线,所以m>0,所以=m5,所以=mm+5,因为S△AOBS△ABC=,所以mm+5=47,解得m答案:20微进阶等和线1.有关结论:若A,P,B三点共线,则=λ+μ,其中λ+μ=1.2.结论的推广:平面内一个基底,及任一向量,=λ+μ(λ,μ∈R),如图,若点P在直线AB上或在平行于AB的直线上,则λ+μ=k(定值),反之也成立,我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为等和线.(1)当等和线恰为直线AB时,k=1;(2)当等和线在点O和直线AB之间时,k∈(0,1);(3)当直线AB在点O和等和线之间时,k∈(1,+∞);(4)当等和线过点O时,k=0;(5)若两等和线关于点O对称,则定值k互为相反数;(6)|k|的变化与点O到等和线的距离成正比.[典例](1)(一题多法)在△ABC中,M为边BC上任意一点,N为AM的中点,=λ+μ,则λ+μ的值为 ()A.12 B.13 C.14 【解析】选A.法一(常规方法):设=t,则=12=12(+)=12+t2=12+t2(-)=12-t2+t2,所以λ=12-t2,μ=t2,所以λ+μ=12.法二(等和线法):如图,BC为定值是1的等和线,过N作BC的平行线,设λ+μ=k,则k=.由图易知,=12,即λ+μ=k=12(2)(一题多法)给定两个长度为1的平面向量和,它们的夹角为2π3.如图所示,点C在以O为圆心的AB上运动.若=x+y,其中x,y∈R,则x+y的最大值为______________.

【解析】法一:以O为坐标原点,OA所在的直线为x