第四章专题强化课三圆周运动的临界极值问题

专题强化课三圆周运动的临界极值问题链接高考本专题在高考中常以选择题或计算题的形式出现,具有一定的综合性方法规律关键能力三种能力:理解能力、逻辑推理能力、分析综合能力考点一水平面内圆周运动的临界问题【核心要点】模型规律向心力公式Fn=mv2r=mω2r=m向心力来源做匀速圆周运动的物体所受的合力完全提供向心力过程分析向心力由静摩擦力提供向心力由静摩擦力和绳的拉力提供【典例剖析】【典例1】(多选)(2025·合肥模拟)如图甲所示,两个完全相同的物块A和B(均可视为质点)放在水平圆盘上,它们分居圆心两侧,用不可伸长的轻绳相连。两物块质量均为1kg,与圆心距离分别为RA和RB,其中RA<RB且RA=1m。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力,当圆盘以不同角速度ω绕轴OO'匀速转动时,绳中弹力FT与ω2的变化关系如图乙所示,重力加速度g取10m/s2。下列说法正确的是()A.物块与圆盘间的动摩擦因数为μ=0.5B.物块B与圆心距离为RB=2mC.当角速度为1rad/s时,圆盘对A的静摩擦力指向圆心D.当角速度为2rad/s时,A【解析】选B、D。角速度较小时,物块各自受到的静摩擦力f充当向心力,绳中无拉力。根据牛顿第二定律得f=mω2R,因为RA<RB,所以物块B与圆盘间的静摩擦力先达到最大值,随着角速度增大,轻绳出现拉力,拉力FT和最大静摩擦力的合力充当向心力。对物块B分析FT+μmg=mω2RB,则FT=mω2RB-μmg,根据图像中斜率和截距的数据可得mRB=k=10.5kg·m2,-μmg=b=-1N,解得RB=2m,μ=0.1,A错误,B正确;当ω=1rad/s时,由上述方程得绳子中拉力大小FT=1N,再对A分析,由牛顿第二定律得FT+f=mω2RA,解得f=0,C错误;当A恰好要相对圆盘发生滑动时,其摩擦力为最大值且方向沿半径向外,对A分析有FT-μmg=mω'2RA,此时对B分析有FT+μmg=mω'2RB,联立解得ω'=强化训练[强化训练](2024·三明模拟)如图,两瓷罐P、Q(可视为质点)放在水平圆桌转盘上,质量分别为m、2m,与转轴OO'的距离分别为R、2R,与转盘间的动摩擦因数均为μ。若转盘从静止开始缓慢地加速转动,P、Q与转盘均保持相对静止,用ω表示转盘的角速度,则()A.当ω增大时,P比Q先开始滑动B.P、Q未滑动前所受的摩擦力大小相等C.P开始滑动时,临界角速度为ω=μgD.Q开始滑动时,临界角速度为ω=μg【解析】选C。P、Q未滑动前所受的摩擦力分别为fP=mω2R,fQ=2m·ω2·2R=4mω2R,P、Q未滑动前所受的摩擦力大小不相等,B错误;根据牛顿第二定律得μmg=mω2R,解得ω=μgR,P、Q开始滑动时的角速度分别为ωP=μgR,ωQ=μg2R,当ω增大到μg2R时,Q先开始滑动考点二竖直面内圆周运动的临界问题【核心要点】1.竖直面内圆周运动“轻绳模型”模型最高点无支撑力学方程mg+FT=mv过程分析小球过最高点的速度从gr不断增大由mg=mv2r得2.竖直面内圆周运动“轻杆模型”模型最高点有支撑力学方程mg±FN=mv过程分析小球过最高点的速度从0不断增大小球恰能做圆周运动的临界速度v临=0【典例剖析】角度1轻绳模型【典例2】(2024·抚州模拟)如图所示,杂技演员表演“水流星”节目。一根长为L的细绳两端系着盛水的杯子(绳长远大于杯子的大小),演员握住绳中间,随着演员的抡动,杯子在竖直平面内做圆周运动,杯子运动中水始终不会从杯子中洒出,重力加速度为g,每个杯子质量为m1,里面水的质量为m2。则:(1)杯子运动到最高点的角速度ω至少是多少?(2)杯子在最低点的角速度ω'=10gL时,关键点拨解答本题的关键是找准研究对象。【解析】(1)对最高点杯中的水研究,杯子运动到最高点水不会从杯子中洒出的角速度ω取最小值时,水的重力大小恰好等于水做圆周运动的向心力,由牛顿第二定律则有m2g=m2ω2r且r=L解出ω=2(2)对最低点的杯子(包括里面的水)研究,由牛顿第二定律则有F-(m1+m2)g=(m1+m2)ω'2r解得F=6(m1+m2)g答案:(1)2gL(2)6(m1+m2角度2轻杆模型【典例3】教材习题改编(必修二第六章复习与提高B组T4)如图所示,长L的轻杆两端分别固定着小球A、B,杆中心O有水平方向的固定转轴,杆绕转轴在竖直平面内做角速度为ω的匀速圆周运动。小球A的质量为m,重力加速度为g。(1)小球A运动到水平位置时,求杆对球A的作用力大小F1;(2)小球A运动到最高点时,求杆对球A的作用力大小F2;(3)若轻杆角速度为2ω,小球A运动到最低点时,杆对转轴的作用力刚好为零,求小球B的质量mB。关键点拨解答本题的关键是分析“三个位置”的受力。【解析】(1)小球A运动到水平位置时,杆对球的竖直方向分力Fy=mg杆对球的水平方向分力Fx=mω2L杆对球A的作用力大小F1=F解得F1=m(2)小球A运动到最高点时,根据牛顿第二定律mg±F2=mω2L解得F2=|mω2L杆对球A的作用力大小为|mω2L(3)小球A运动到最低点时,根据牛顿第二定律F3-mg=m·(2ω)2·L由于杆对转轴的作用力刚好为零,则小球B对杆的力与小球A对杆的力等大反向,对小球B有F3+mBg=mB·(2ω)2·L解得mB=2ω答案:(1)m(2)|mω2L2-mg|考点三斜面内圆周运动的临界问题【核心要点】模型向心力公式Fn=mv2r=mω2r=m过程分析圆盘以恒定的角速度转动,物块从最高点运动至最低点物块在最高点,所受摩擦力可能向上,可能向下,也可能为0;物块在最低点所受摩擦力一定向上。若f向上,有mgsinθ-f=mω2r若f向下,有mgsinθ+f=mω2r若f=0,有mgsinθ=mω2r在最低点有f-mgsinθ=mω2r【典例剖析】【典例4】(2024·安康模拟)如图所示,一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定转轴以恒定角速度ω匀速转动,盘面上离转轴2m处有一小物体(可视为质点)与圆盘始终保持相对静止。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力,盘面与水平面间的夹角为30°,g取10m/s2,则()A.若ω越大,则小物体在最高点处受到的摩擦力一定越大B.小物体受到的摩擦力不可能背离圆心C.若小物体与盘面间的动摩擦因数为32,则ω的最大值是5D.若小物体与盘面间的动摩擦因数为32,则ω的最大值是2.关键点拨解答本题要做到“两个明确”:【解析】选C。小物体在最高点时,由牛顿第二定律得mgsin30°+f=mω2r,解得ω=mgsin30°+fmr。当f=0时,ω=gsin30°r=10×0.52rad/sf<0,即摩擦力方向背离圆心,ω越大,则小物体受到的摩擦力越小;当ω>52