2025高考数学一轮复习- 用样本的数字特征估计总体-专项训练【含解析】

课时过关检测（六十五）

用样本的数字特征估计总体【原卷版】

1.数据123,4,5,6的60%分位数为（）

A.3B.3.5

C.3.6D.4

2.若数据xi，物…，x”的平均数为x,方差为P则2XI+3,ZY2+3,…，功+3的

平均数和方差分别为（）

A.1和？B.2；+3和4$2

C.2x+3和/D.2；+3和4$+12$+9

3.为了反映各行业对仓储物流业务需求变化的情况，以及重要商品库存变化的动向,

中国物流与采购联合会和中储发展股份的限公司通过联合调查，制定了中国仓储指数.由

2019年I月至2020年7月的调查数据得出的中国仓储指数，绘制出如下折线图.

根据该折线图，下列结论正确的是（）

A.2019年各月的仓储指数最大值是在3月份

B.2020年1月至7月的仓储指数的中位数为55

C.2020年I月与4月的仓储指数的平均数为52

D.2019年1月至4月的仓储指数相对于2020年1月至4月，波动性更大

4.已知样本甲：xi，及，乃，…，.与样本乙:V，>'2»”，…，为，满足y=2x?+l（i

=1,2,n）,则下列叙述中一定正确的是（）

A.样本乙的极差等干样本中的极差

B.样本乙的众数大于样本甲的众数

C.若某个为为样本甲的中位数，则方是样本乙的中位数

D.若某个即为样本甲的平均数，则y•是样本乙的平均数

5.已知样本xi，物…，x”的平均数为x，样本V，”，…，％的平均数为

若样本X1，X2，…，xn,>,）.丫2，…，的平均数Z=ov+[1—a）y,其中OVaV：,则〃，m（n,

加£N”）的大小关系为（）

A.n=mB.m

C.n<mD.n>m

6.（多选）甲、乙两班举行电脑汉字录入比赛，参赛学生每分钟录入汉字的个数经统计

计算后填入下表：

班级参加人数中位数方差平均数

甲55149191135

乙55151110135

下列结论中，正确的是（）

A.甲、乙两班学生成绩的平均水平相同

B.乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数（每分钟输入汉字数2150个为优秀）

C.甲班的成绩波动情况比乙班的成绩波动大

D.甲班成绩的众数小于乙班成绩的众数

7.（多选）某篮球爱好者在一次篮球训练中，需进行五轮投篮，每轮投篮5次.统计各

轮投进球的个数，获知其前四轮投中的个数分别为2,3,44则第五轮结束后，下列数字特征

有可能发生的是（）

A.平均数为3,极差是3

B.中位数是3,极差是3

C.平均数为3,方差是0.8

D.中位数是3,方差是0.56

8.已知一组数据按从小到大的顺序排列，得到一1,0,4,X,7J4,中位数为5,则这组数

据的平均数为，方差为.

9.某经销商从外地一水殖厂购进一批小龙虾，并随机抽取40只进行统计，按重量分类

统计结果如图：

⑴估计这批小龙虾重量的第10百分位数与第90百分位数;

⑵该经销商将这批小龙虾分成三个等级，如表：

等级三等品二等品一等品

重量/克(5,25)[25,45)[45,55]

试估计这批小龙虾划为几等品比较合理？

10.（多选）2020年2月8日，在韩国首尔举行的四大洲花样滑冰锦标赛双人自由滑比赛

中，中国组合隋文静/韩聪以总分217.51分拿下四大洲赛冠军，这也是他们第六次获得四

大洲冠军.中国另一对组合彭程/金杨以213.29分摘得银牌.花样滑冰锦标赛有9位评委

进行评分，首先这9位评委给出某对选手的原始分数，评定该队选手的成绩时从9个原始评

分中去掉一个最高分、一个最低分，得到7个有效评分，则7个有效评分与9个原始评分相

比，可能变化的数字特征是（）

A.中位数B.平均数

C.方差D.极差

11.（多选）随着人民生活水平的提高，对城市空气质量的关注度也逐步增大，如图是某

城市1月至8月的空气质量检测情况，图中一、二、三、四级是空气质量等级，一级空气质

量最好，一级和二级都是质量合格天气，下面四种说法王确的是（）

A.1月至8月空气质量合格天数超过20天的月份芍5个

B.第二季度与第一季度相比，空气质量合格天数的比重下降了

C.8月是空气质量最好的一个月

D.6月的空气质量最差

12.某快递网点收取快递费用的标准是重量不超过Ikg的包裹收费10元，重量超过Ikg

的包裹，除收费10元之外，超过1kg的部分，每超出1kg（不足1kg,按1kg计算）需要再

收费5元.该公司近60天每天揽件数量的频率分布直方图如图所示（同一组数据用该区间的

中点值作代表）.

（1）求这60天每天包裹数量的平均数和中位数；

（2）该快递网点负责人从收取的每件快递的费用中抽取5元作为工作人员的工资和网点

的利润，剩余的作为其他费用.已知该网点有工作人员3人，每人每天工资100元，以样本

估计总体，试估计该网点每天的利润有多少元？

A.3B.3.5

C.3.6D.4

解析：D由6X60%=3.6,所以数据1,2,345,6的60%分位数是第四个数，故选D.

2.若数据xi，也，…，X”的平均数为x,方差为则2AR+3,2X2+3,…，2x^+3的

平均数和方差分别为（）

A.x和fB.2x+3和452

C.21+3和『D.2（+3和4s2+i2s+9

解析：B原数据乘以2加上3得到一组新数据，则由平均数、方差的性质可知得到的

新数据的平均数和方差分别是27+3和4?.

3.为了反映各行业对仓储物流业务需求变化的情况，以及重要商品库存变化的动向，

中国物流与采购联合会和中储发展股份有限公司通过联合调查，制定了中国仓储指数.由

2019年1月至2（）20年7月的调查数据得出的中国仓储指数，绘制出如下折线图.

根据该折线图，下列结论正确的是（）

A.2019年各月的仓储指数最大值是在3月份

B.2020年1月至7月的仓储指数的中位数为55

C.2020年1月与4月的仓储指数的平均数为52

D.2019年I月至4月的仓储指数相对于2020年1月至4月，波动性更大

解析：D2019年各月的仓储指数最大值是在II月份，所以A错误；由题图可知，2020

年1月至7月的仓储指数的中位数约为53,所以B错误；2020年1月与4月的仓储指数的

平均数约为笔至=53,所以C错误；由题图可知，2019年1月至4月的仓储指数比2020

年1月至4月的仓储指数波动更大，故选D.

4.已知样本甲：Xi，X2,X3，…，X”与样本乙：yi，丁2，”，…，加，满足57=2^+1（/

=1,2,〃），则下列叙述中一定正确的是（）

A.样本乙的极差等于样本甲的极差

B.样本乙的众数大于样本甲的众数

C.若某个为为样本甲的中位数，则y•是样本乙的中位数

D.若某个为为样本甲的平均数，则y是样本乙的平均数

解析：C•・•），,•=〃+1,..•%关于即单调递增，甲样本极差为此—汨，乙样本极差为

一巾=2（第一N）=2（X“-xi）（焉+为凶+后），两个数据大小关系不定，，样本乙的极差不一定等

于样本甲的极差，A错误；样本乙的众数不一定大于样点甲的众数，B错误；若为为样本甲

的平均数，y•不一定是样本乙的平均数，D错误；若为为样本甲的中位数时，则凶一定是样

本乙的中位数，C正确.

5.已知样本为，工2，…，x〃的平均数为x,样本川，以，…，加的平均数为

若样本人i,人2,…，人“，八”，…，y”的平均数一〃）,，其中OVaV*则〃，，〃（〃，

m£N"）的大小关系为（）

A.n=mB.

C.n<mD.n>in

解析：C由题意得z=[3+〃?y）=:]”）二•'•«=-r-,VO<C<T,

n-rm'〃十机\n-rinj-〃十〃i2

.*.O<-r—又〃，〃?£N‘，2n</?+/72,n<m.故选C.

〃+〃？<TZ,

6.（多选）甲、乙两班举行电脑汉字录入比赛，参赛学牛.每分钟录入汉字的个数经统计

计算后填入下表：

班级参加人数中位数方差平均数

甲55149191135

乙55151110135

下列结论中，正确的是（）

A.甲、乙两班学生成绩的平均水平相同

B.乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数（每分钟输入汉字数2150个为优秀）

C.甲班的成绩波动情况比乙班的成绩波动大

D.甲班成绩的众数小于乙班成绩的众数

解析：ABC甲、乙两班成绩的平均数都是135,故两班成绩的平均水平相同，，A正

确；《=191>IIO=s"：.甲班成绩不如乙班稳定，即日班成绩波动较大，...C正确；甲、

乙两班人数相同，但甲班成绩的中位数为149,乙班成绩的中位数为151,从而易知乙班每

分钟输入汉字数2150个的人数要多于甲班，二.B正确；句题表看不出两班学生成绩的众数，

:.D错误.

7.（多选）某篮球爱好者在一次篮球训练中，需进行五轮投篮，每轮投篮5次.统计各

轮投进球的个数，获知其前四轮投中的个数分别为2,344,则第五轮结束后，下列数字特征

有可能发生的是（）

A.平均数为3,极差是3

B.中位数是3,极差是3

C.平均数为3,方差是0.8

D.中位数是3,方差是0.56

解析：BCD2+3+4+4=13,①若平均数为3,则第五轮投中的个数为2,所以极差

为4-2=2,方差为1X[Q—3)2X2+(3—3产+(4—3)2X2]=0.8,即选项A错误，C正确；

②若中位数为3,则第五轮投中的个数为0或I或2或3,

当投中的个数为0时，极差为4,平均数为2.6,方差为1X[(0—2.6)2+(2-2.6)2+

(3-2.6)2+(4-2.6)2X2：=2.24；

当投中的个数为1时，极差为3,平均数为2.8,方差为]义[(1-2.8)2+(2-2.8)2+

(3-2.8)2+(4-2.8)2x2：=1.36；

当投中的个数为2时，极差为2,方差为0.8；

当投中的个数为3时，极差为2,平均数为3.2,方差为gx[(2-3.2/+(3—3.2)2x2

+(4-3.2)2X2]=0.56,即选项B和D均正确.故选B、C、D.

8.已知一组数据按从小到大的顺序排列，得到一1,0,4,x,7J4,中位数为5,则这组数

据的平均数为，方差为.

4+x

解析：•••一1,0,4,x,7,14的中位数为5,...丁=5,•.•工=6,・.•这组数据的平均数是

T+0+4+6+7+14=5,这组数据的方差是5X(36+25+1+1+4+81)=74

6T

答案：5y

9.某经销商从外地一水殖厂购进一批小龙虾，并随机抽取40只进行统计，按重曷分类

统计结果如图：

5,15)[15,25)[25,35)[35,45)[45,55]重量/克

(1)估计这批小龙虾重量的第10百分位数与第90百分位数；

⑵该经销商将这批小龙虾分成三个等级，如表：

等级三等品二等品一等品

重量/克[5,25)[25,45)[45,55]

试估计这批小龙虾划为儿等品比较合理？

解：（1）因为40X10%=4,所以第10百分位数为第4项与第5项的平均数，在［5,15）

范围内约为注9=10.

因为40X90%=36,所以第90百分位数为第36项与第37项的平均数，在［35,55：范围

内，约为-3—=45,

所以估计这批小龙虾重量的第10百分位数为1（）,第90百分位数为45.

（2）由（1）知，这批小龙虾重量集中在［10,45］范围内，所以划为二等品比较合理.

10.（多选）2020年2月8日，在韩国首尔举行的四大洲花样滑冰锦标赛双人自由滑比赛

中，中国组合隋文静/韩聪以总分217.51分拿下四大洲赛冠军，这也是他们第六次获得四

大洲冠军.中国另一对组合彭程/金杨以213.29分摘得银牌.花样滑冰锦标赛有9位评委

进行评分，首先这9位评委给出某对选手的原始分数，评定该队选手的成绩时从9个原始评

分中去掉一个最高分、一个最低分，得到7个有效评分，则7个有效评分与9个原始评分相

比，可能变化的数字特征是（）

A.中位数B.平均数

C.方差D.极差

解析：BCD因为7个有效评分是9个原始评分中去掉一个最高分、一个最低分，所

以中位数不变，平均数、方差、极差可能发生变化，所以可能变化的数字特征是平均数、方

差、极差，故选B、C、D.

11.（多选）随着人民生活水平的提高，对城市空气质量的关注度也逐步增大，如图是某

城市1月至8月的空气质量检测情况，图中一、二、三、四级是空气质量等级，一级空气质

量最好，一级和二级都是质量合格天气，下面四种说法正确的是（）

级

级

级

级

A.I月至8月空气质量合格天数超过70天的月份有5个

B.第二季度与第一季度相比，空气质量合格天数的比重下降了

C.8月是空气质量最好的一个月

D.6月的空气质量最差

解析：ABCI月至8月空气质量合格天数超过20天的月份有：I月，2月，6月，7

月，8月，共5个，所以A是正确的；第一季度合格天数的比重为答碧胃-0.7363,

第二季度合格天数的比重为；；产0.6264,所以第二季度与第一季度相比，空气质

量合格的天数的比重下降了，所以B是正确的；8月空气质量合格天气达到30天，是空气

质量最好的一个月，所以C是正确的；5月空气质量合格天气只有13天，5月份的空气质

量最差，所以D是错误的，故选A、B、C.

12.某快递网点收取快递费用的标准是重量不超过1kg的包裹收费10元，重量超过1kg

的包裹，除收费10元之外，超过1kg的部分，每超出1kg（不足Ikg,按1kg计算）需要再

收费5元.该公司近60天每天揽件数量的频率分布直方图如图所示（同一组数据用该区间的

中点值作代表）.

频率/组距

0.002

0.001

100200300400500包裹件数/件

（I）求这60天每天包裹数最的平均数和中位数；

（2）该快递网点负责人从收取的每件快递的费用中抽取5元作为工作人员的工资和网点

的利润，剩余的作为其他费用.已知该网点有工作人员3人，每人每天工资100元，以样本

估计总体，试估计该网点每天的利润有多少元？

解：（1）每天包裹数量的平均数为0.1X50+0.1X150+0.5X250+0.2X350+0.1X450

=260（件），

因为［0,200）的频率为0.2,［200,300）的频率为0.5,

中位数为200+纬詈X100=260（件），

所以该网点每天包裹的平均数和中位数都为260件.

（2）由（1）可知平均每天的揽件数为260件，

利润为260X5—3X100=1000（元），

所以该网点平均每天的利润有1000元.

13.记样本xi,乃，…，X,”的平均数为x,样本沈，…，y”的平均数为y（xWy）.若

样本X|,X2，…，X,"，》，＞2，…，）力的平均数为z=；［+3），，则£的值为（）

A.3B.4

C.；D.T

解析：D由题意知xi4-X2+4-xnl=mx,yi+”+…+））=〃y,z=

I31

V-加

(xi+也-I----F+(yi+y2H----H.%)/〃x+〃y-+--所以-

-X九-

44十

/〃+〃，〃+〃+74,

31

所

-以--

43

14.某校有高中生2（）00人，其中男女生比例约为5：4,为了获得该校全体高中生的身

高信息，采取了以下两种方案：方案一：采用比例分配的分层随机抽样方法，抽收了样本量

为〃的样本，得到如图所示的频数分布表和频率分布直方图.方案二：采用分层随机抽样方

法，抽取了男、女生样本量均为25的样本，计算得到男生样本的均值为170,方差为16,

女生样本的均值为160,方差为20.

身高（单[145,[155,[165,[175,[185,

位：cm）155)165)175)185)195]

频数mPq64

频率/组距

0.040

0.036

0.032

0.028

0.024

0.020

0.016

0.012

0.008

0.004

^45155165175185195身高/cm

（1）根据图表信息，求明q并补充完整频率分布直方图，估计该校岛中生的身高均值:

（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值为代表）

⑵计算方案二中总样本的均值及方差;

⑶计算两种方案总样本均值的差，并说明用方案二总样本的均值作为总体均值的估计

合适吗？